Phương Trình Vi Phân Cấp 1 - 123doc

Có thể bạn quan tâm

Hệ phương trình vi phân Phương trình vi phân cấp 1 – Khái niệm chung Bài toán 1: Tìm tất cả các đường cong y=fx sao cho trên mỗi đoạn [1,x], diện Ta gọi đây là phương trình vi phân cấp

Trang 1

CHƯƠNG V : PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

I Phương trình vi phân cấp 1

II Phương trình vi phân cấp cao

III Hệ phương trình vi phân

Phương trình vi phân cấp 1 – Khái niệm chung

Bài toán 1: Tìm tất

cả các đường cong

y=f(x) sao cho trên

mỗi đoạn [1,x], diện

Ta gọi đây là phương trình vi phân cấp 1(phương

trình chứa đạo hàm cấp 1 là y’)

y  y xy

Trang 2

Phương trình vi phân cấp 1– Khái niệm chung

Bài toán 2: Một vật khối lượng m rơi tự do với lực cản

của không khí tỉ lệ với vận tốc rơi Tìm mối liên hệ giữa

thời gian rơi t& quãng đường đi được của vật s(t)

Gọi v(t) là vận tốc rơi của vật thì v t ( ) ds ( 1 )

Ta gọi đây là ptvp cấp 2 (chứa đạo hàm cấp 2 là s”)

Phương trình vi phân cấp 1– Khái niệm chung

Định nghĩa 1: Phương trình vi phân là phương trình

chứa đạo hàm hoặc vi phân của 1 hoặc vài hàm

cần tìm

Định nghĩa 2: Cấp của phương trình vi phân là cấp

cao nhất của đạo hàm có trong phương trình

Trang 3

Phương trình vi phân cấp 1– Khái niệm chung

Định nghĩa 3: Nghiệm của phương trình vi phân

trên khoảng (a,b) là một hàm số y=y(x) sao cho khi

thay vào phương trình ta được một đồng nhất thức

trên (a,b) (đẳng thức luôn đúng với mọi x trên (a,b))

Dạng tổng quát của phương trình vi phân cấp n là

hoặc giải ra với y(n) là

Bài toán Cauchy: là bài toán tìm nghiệm của ptvp (1)

hoặc (2) thỏa điều kiện đầu y x ( )0  y0

Hay nói cách khác là tìm 1 đường cong tích phân

của ptvp (1) hoặc (2) đi qua điểm (x0,y0)

Với x=1, y=1 ta thay vào đẳng thức trên và được C=0

Vậy nghiệm của bài toán là y  3 x2

2 xdx  3 y dy  d x ( )  d y ( )

Trang 4

Phương trình vi phân cấp 1 – Khái niệm chung

Đường cong tích phân của ptvt trên với 3 trường hợp

Trong phạm vi môn học, bài toán Cauchy luôn có

nghiệm xác định trong 1 lân cận ( x0   , x0  )

Phương trình vi phân cấp 1 – Khái niệm chung

Nghiệm tổng quát: Hàm y=y(x,C) được gọi là nghiệm

tổng quát của ptvp cấp 1 trong miền D  R2 nếu

( , x y ) D : ! C y , y x C ( , )

toán Cauchy với điều kiện đầu y(x0) = y0 Nghĩa là:

Nghiệm bất kỳ nhận được từ nghiệm tổng quát bằng

cách cho hằng số C một giá trị cụ thể được gọi là

nghiệm riêng tức là mọi nghiệm của bài toán Cauchy

đều là nghiệm riêng

Trang 5

Phương trình vi phân cấp 1 – Khái niệm chung

Lưu ý 1: Không phải nghiệm nào của 1 ptvp cũng

nhận được từ nghiệm tổng quát (NTQ) bằng cách

cho hằng số C những giá trị cụ thể Những nghiệm

như vậy được gọi là nghiệm kì dị

Phương trình vi phân cấp 1 – Khái niệm chung

Lưu ý 2: Trong phạm vi môn học này, ta chỉ tìm

nghiệm của các ptvp một cách không đầy đủ, tức là

ta sẽ biến đổi các phương trình không chặt như ví

dụ trên Ta chỉ giải phương trình hệ quả chứ không

giải phương trình tương đương

Ví dụ: Khi biến đổi ptvp y   y

Ta không xét trường hợp y=0 hay y≠0

Ta giải thiếu nghiệm y=0 của pt vì ta không gpt

tương đương, tức là tìm nghiệm không đầy đủ

Trang 6