Phương Trình Vi Phân Tuyến Tính Cấp 1, Bernoulli, Ricatti (dành Cho SV)

Có thể bạn quan tâm

1. Định nghĩa:

Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 là phương trình có dạng:

$y' = -p(x).y+q(x)$ (1) (hay $y'+p(x).y=q(x)$ )

trong đó p(x), q(x) là những hàm số liên tục, cho trước.

Nếu q(x) ≡ 0, thì (1) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất.

Nếu q(x) ≠0, thì (1) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 không thuần nhất.

2. Cách giải:

2.1 Cách 1: Phương pháp thừa số tích phân:

Nhân 2 vế của (1) với thừa số $e^{\int p(x) \, dx }$

Ta được:

$y'.e^{\int p(x) \, dx} + p(x).e^{\int p(x) \, dx}.y=q(x)e^{\int p(x) \, dx}$ (*)

ta chú ý vế trái của phương trình sẽ thấy biểu thức ở vế trái chính là đạo hàm của tích số $y.e^{\int p(x) \, dx}$ . Vậy ta viết lại phương trình (*) như sau:

$\left( y.e^{\int p(x) \, dx} \right)^{'} = q(x).e^{\int p(x) \, dx}$

Lấy tích phân hai vế ta được:

$y.e^{\int p(x) \, dx} = \int q(x).e^{\int p(x) \, dx} \, dx + C$ .

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (1) có dạng:

$y=e^{-{\int p(x) \, dx}}. \left[ \int q(x).e^{\int p(x) \, dx} \, dx + C \right]$

Lưu ý: hàm p(x) là hệ số của y trong trường hợp hệ số của y’ bằng 1.

Ví dụ: Giải phương trình $y' + 2x.y = 4x$

Nhân 2 vế của phương trình với thừa số $e^{\int 2x \, dx} = e^{x^2}$ .

Ta đươc: $y'.e^{x^2} + 2xe^{x^2}.y = 4x.e^{x^2}$

Hay:

${ \dfrac{d}{dx}} \left( y.e^{x^2} \right) = 4x.e^{x^2}$

Lấy tích phân 2 vế ta được:

$y.e^{x^2} = 4{\int x.e^{x^2} \, dx} + C = 2e^{x^2} + C$

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là: $y = 2 + C.e^{-x^2}$

2.2 Cách 2: Phương pháp Bernoulli (pp tìm nghiệm dưới dạng tích)

Từ cách thứ nhất, ta nhận thấy nghiệm của phương trình có dạng tích của hai hàm số. Vì vậy, ta sẽ tìm nghiệm của phương trình dưới dạng tích: $y = u(x).v(x)$

Ta có: $y' = u'.v + v'.u$

Thế vào phương trình ta có: $(u'.v+v'.u)+p(x).(u.v) = q(x)$

Hay: $(u'+p(x).u)v + v'.u = q(x)$ (*)

Phương trình (*) có tới 4 thông số chưa biết là u, v, u’ , v’ nên không thể giải tìm u, v bất kỳ. Để tìm u, v thỏa mãn phương trình (*), ta cần chọn u, v sao cho triệt tiêu đi 1 hàm chưa biết.

Muốn vậy, ta chọn u(x) sao cho $u' + p(x).u = 0$ (**)

Ta dễ dàng tìm được hàm u(x) thỏa (**) vì (**) chính là phương trình tách biến. Khi đó:

${ \dfrac{du}{u}}=-p(x)dx \Rightarrow u(x)=C.e^{- \int p(x) \, dx}$

Chọn C = 1 ta có: $u(x) = e^{- \int p(x) \, dx}$

Như vậy ta tìm được hàm u(x) nên từ (*) ta sẽ có:

$v' = { \dfrac{q(x)}{u(x)}} = q(x).e^{\int p(x) \, dx} \Rightarrow v = \int q(x).e^{\int p(x) \, dx} \, dx + C_1$

Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình (1) là:

$y = e^{- \int p(x) \, dx} \left[ \int q(x)e^{\int p(x) \, dx} + C_1 \right]$

2.3 Cách 3: Phương pháp Larrange (pp biến thiên hằng số)

Từ cách 2 ta thấy nghiệm phương trình có dạng $y = u(x).v(x)$ với u(x) là nghiệm phương trình (**) – đây là phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 1.

Do vậy, giải phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 1 ta tìm được: $u(x) = C.e^{- \int p(x) \, dx}$

Mà công thức nghiệm tổng quát của phương trình (1) lại là: $y =e^{- \int p(x) \, dx}.v(x)$ chỉ sai khác so với u(x) ở chỗ thế hằng số C bằng hàm cần tìm v(x).

Do vậy, ta chỉ cần tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất, sau đó thay hằng số C bằng hàm cần tìm v(x) sẽ giải được bài toán. Vậy:

Bước 1: giải phương trình tuyến tính thuần nhất cấp 1 liên kết với phương trình (1):

$y' + p(x).y = 0$

Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất có dạng:

$y = C.e^{- \int p(x) \, dx}$

Bước 2: nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính không thuần nhất (1) có dạng:

$y = v(x).e^{- \int p(x) \, dx}$

Ta có: $y' = v'.e^{- \int p(x) \, dx} - v.p(x).e^{- \int p(x) \, dx}$

Thế vào phương trình ta có:

$v'e^{- \int p(x) \, dx} - v.p(x).e^{- \int p(x) \, dx} + p(x).v.e^{- \int p(x) \, dx}= q(x)$

Suy ra: $v' = q(x).e^{\int p(x) \, dx}$ . Từ đó tìm được v(x).

Nhận xét:

Trong 3 cách thì cách thứ 3 là cách mà ta không phải nhớ công thức như cách 1 và cách 2. Ngoài ra ở cách 3, trong bước 2 khi thế vào phương trình để tìm hàm v(x), ta luôn luôn khử được những gì liên quan đến v(x) và chỉ còn lại v’(x). Do đó, nếu khi thế vào mà ta không triệt tiêu được v(x) thì nghĩa là hoặc ta thế sai, hoặc ở bước 1 ta đã giải sai. Điều này sẽ giúp các bạn dễ dàng kiểm tra các bước giải của mình và kịp thời phát hiện sai sót

3. Các ví dụ:

Ví dụ 1: Giải phương trình: $y' + y.tgx = { \dfrac{1}{cosx}}$ (1)

Ta giải bằng phương pháp biến thiên hằng số. (Các phương pháp khác, các bạn thử tự giải và so sánh kết quả nhé)

Bước 1: Giải phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất liên kết với (1). Ta có:

$y' + y.tgx = 0 \Rightarrow \dfrac{dy}{y} = -tgxdx$

Hay: $ln|y| = ln|cosx|+ln|C| \Rightarrow y = C.cosx$

Bước 2: Nghiệm tổng quát của phương trình (1) có dạng: $y = v(x).cosx$

Ta có: $y' = v'.cosx - v.sinx$ . Thế vào phương trình (1) ta có:

$v'.cosx - v.sinx + v.cosx.tgx = { \dfrac{1}{cosx}} \Rightarrow v' = \dfrac{1}{cos^2x}$ .

(Rõ ràng ta triệt tiêu được những gì liên quan đến v(x)).

Từ đó: $v(x) = tgx + C$

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (1) là:

$y = (tgx+C).cosx = C.cosx + sinx$

Ví dụ 2: Giải phương trình: $y'(x+y^2) = y$ (2)

Trước tiên, ta chuyển về dạng $y' = f(x,y)$ rồi nhận diện dạng phương trình. Ta có: $y' = \dfrac{y}{x+y^2}$ (*)

Rõ ràng, đây không phải là phương trình tách biến, phương trình đẳng cấp, pt đẳng cấp được cũng không phải là phương trình tuyến tính với y là hàm theo x. Ở đây, vế phải là phân số mà tử số chỉ có 1 số hạng. Do đó, ta coi x là hàm theo biến số y, khi đó nghịch đảo phương trình (*) ta sẽ có:

$x' = \dfrac{x+y^2}{y} = { \dfrac{1}{y}}.x + y$ Hay: $x' - { \dfrac{1}{y}}.x = y$ (2′)

Đây chính là phương trình tuyến tính cấp 1 với x là hàm theo biến y: $x'+p(y).x = q(y)$

Vậy: giải phương trình tuyến tính thuần nhất liên kết với (2′):

$x' - { \dfrac{1}{y}}.x = 0 \Rightarrow \dfrac{dx}{x} = \dfrac{dy}{y} \Rightarrow x = Cy$

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (2′) có dạng: $x = v(y).y$

Ta có: $x' = v'.y+v$ Thế vào pt (2′) ta có:

$v'.y+v+{ \dfrac{1}{y}}.v.y = y \Rightarrow v' = 1 \Rightarrow v = y + C$

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (2′) là:

$x = (y+C).y = y^2 + Cy$

4. Phương trình Bernoulli:

Phương trình Bernoulli là phương trình có dạng:

$y' + p(x).y = q(x).y^{\alpha} , ({\alpha} \ne 0 , {\alpha} \ne 1 )$ (4)

Cách giải:

Nhân 2 vế của pt (4) cho $(1-{\alpha}).y^{-{\alpha}}$ . Ta có:

$(1- \alpha)y^{- \alpha}y' + (1 - \alpha).p(x).y^{1 - \alpha} =(1 - \alpha) q(x)$ (4′)

Khi đó, ta đặt: $z = y^{1-{\alpha}}$ . Ta có: $z' = (1-\alpha)y'.y^{-\alpha}$

Thế vào phương trình (4′) ta có: $z' + (1-\alpha)p(x).z = (1-\alpha)q(x)$

Phương trình này chính là phương trình tuyến tính với z là hàm theo biến x. Bài toán được giải quyết!

Ví dụ: Giải phương trình: $y' = { \dfrac{y}{2x}} + { \dfrac{x^2}{2y}}$ (1)

Ta viết lại phương trình: $y' - { \dfrac{1}{2x}}.y = { \dfrac{x^2}{2}}.y^{-1}$

Đây là phương trình Bernoulli với $\alpha = -1$

Do đó, ta nhân hai vế của phương trình với $(1-(-1)).y^1= 2y$ ta có: $2yy' - { \dfrac{1}{x}}y^2 = x^2$ (*)

Ta đặt $z = y^2 \Rightarrow z' = 2yy'$ . Thế vào (*) ta có:

$z' - { \dfrac{1}{x}}.z = x^2$ (**) (phương trình tuyến tính với z là hàm theo biến x).

– Giải pt thuần nhất liên kết với (**) ta được: $z = C.x$

– Nghiệm tổng quát của pt(**) có dạng: $z = v(x).x$ .

Thế vào (**) ta tìm được: $v(x) = \dfrac{x^2}{2} + C$

Vậy nghiệm tổng quát của pt (**) là: $z = \dfrac{x^3}{2} + Cx$

Từ đó, nghiệm tổng quát của (1) là: $y^2 = \dfrac{x^3}{2} + Cx$

5. Phương trình Ricatti:

Là phương trình vi phân có dạng:

$y' + p(x).y + q(x).y^2 = f(x)$

Nhìn chung, nghiệm của phương trình không biểu diễn được ở dạng hàm sơ cấp. Tuy nhiên, nếu ta biết được 1 nghiệm riêng nào đó của phương trình, giả sử $y = y_1(x)$ thì bằng cách biến đổi: $y = y_1 + z$ ta sẽ đưa được pt về phương trình Bernoulli.