Bài 2. Tích Vô Hướng Của Hai Vectơ - SureTEST
Có thể bạn quan tâm
1. Định nghĩa
Cho hai vectơ $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $ đều khác vectơ $\overrightarrow 0 $. Tích vô hướng của $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $ là một số, kí hiệu là $\overrightarrow a $.$\overrightarrow b $, được xác định bởi công thức sau:
$\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)$
Trường hợp ít nhất một trong hai vectơ $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $ bằng vectơ $\overrightarrow 0 $ ta quy ước $\overrightarrow a $.$\overrightarrow b $= 0.
Chú ý
Với $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $ khác vectơ $\overrightarrow 0 $ ta có $\overrightarrow a .\overrightarrow b = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow a \bot \overrightarrow b $.
Khi $\overrightarrow a $ = $\overrightarrow b $ tích vô hướng $\overrightarrow a $.$\overrightarrow a $ được kí hiệu là ${\overrightarrow a ^2}$ và số này được gọi là bình phương vô hướng của vectơ $\overrightarrow a $.
Ta có ${\overrightarrow a ^2} = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow a } \right|\cos {0^0} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2}$.
2. Các tính chất của tích vô hướng
Người ta chứng minh được các tính chất sau đây của tích vô hướng:
Với ba vectơ $\overrightarrow a $, $\overrightarrow b $,$\overrightarrow c $ bất kì và mọi số k ta có:
$\overrightarrow a $.$\overrightarrow b $ = $\overrightarrow b $.$\overrightarrow a $ (tính chất giao hoán);
$\overrightarrow a .\left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right) = \overrightarrow a .\overrightarrow b + \overrightarrow a .\overrightarrow c $ (tính chất phân phối) ;
$\begin{gathered} \left( {k\overrightarrow a } \right)\overrightarrow b = k\left( {\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right) = \overrightarrow a \left( {k\overrightarrow b } \right) \hfill \\ {\overrightarrow a ^2} \geqslant 0,{\overrightarrow a ^2} = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow a = \overrightarrow 0 \hfill \\ \end{gathered} $
Nhận xét
Từ các tính chất của tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra:
$\begin{gathered} {\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)^2} = {\overrightarrow a ^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b + {\overrightarrow b ^2}; \hfill \\ {\left( {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right)^2} = {\overrightarrow a ^2} - 2\overrightarrow a .\overrightarrow b + {\overrightarrow b ^2}; \hfill \\ \left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)\left( {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right) = {\overrightarrow a ^2} - {\overrightarrow b ^2}. \hfill \\ \end{gathered} $
3. Biểu thức toạ độ của tích vô hướng
Trên mặt phẳng toạ độ $\left( {O;\overrightarrow i ;\overrightarrow j } \right)$, cho hai vectơ $\overrightarrow a = \left( {{a_1};{a_2}} \right);\overrightarrow b = \left( {{b_1};{b_2}} \right)$. Khi đó tích vô hướng $\overrightarrow a $.$\overrightarrow b $ là:
$\overrightarrow a .\overrightarrow b = {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2}$
Nhận xét
Hai vectơ $\overrightarrow a = \left( {{a_1};{a_2}} \right);\overrightarrow b = \left( {{b_1};{b_2}} \right)$ đều khác vectơ $\overrightarrow 0 $ vuông góc với nhau khi và chỉ khi:
${a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} = 0$.
4. Ứng dụng
a) Độ dài của vectơ
Độ dài của vectơ $\overrightarrow a = \left( {{a_1};{a_2}} \right)$ được tính theo công thức:
$\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {a_1^2 + a_2^2} $.
b) Góc giữa hai vectơ
Từ định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra nếu $\overrightarrow a = \left( {{a_1};{a_2}} \right);\overrightarrow b = \left( {{b_1};{b_2}} \right)$ đều khác $\overrightarrow 0 $ thì ta có:
$\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2}}}{{\sqrt {a_1^2 + a_2^2} \sqrt {b_1^2 + b_2^2} }}$.
c) Khoảng cách giữa hai điểm
Khoảng cách giữa hai điểm $A\left( {{x_A};{y_A}} \right)$ và $B\left( {{x_B};{y_B}} \right)$ được tính theo công thức sau:
$AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2}} $.
Từ khóa » Tích Vô Hướng Của Hai Vectơ Bằng 0 Khi
-
TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
-
Lý Thuyết Tích Vô Hướng Của Hai Vectơ | SGK Toán Lớp 10
-
Tích Vô Hướng Của Hai Vectơ - Công Thức Học Tập
-
Tích Vô Hướng Của Hai Vectơ - O₂ Education
-
Cho Hai Vectơ A Và B đều Khác Vecto 0. Khi Nào Thì Tích Vô Hướng ...
-
Công Thức Tính Tích Vô Hướng Của Hai Vecto Trong Không Gian Cực Hay
-
Tích Vô Hướng Của Hai Vectơ: Lý Thuyết Và Bài Các Dạng Bài Tập ...
-
Tích Vô Hướng, Tích Có Hướng Của Hai Vectơ - Ứng Dụng
-
Tích Vô Hướng Của Hai Vectơ Và Bài Tập Có Lời Giải Từ A - Z
-
Lý Thuyết Tích Vô Hướng Của Hai Véc Tơ Toán 10
-
Lý Thuyết Về Tích Vô Hướng Của 2 Vectơ Và Các Dạng Bài Tập
-
Tích Vô Hướng Của Hai Vectơ: Một Số Dạng Bài Tập Và Ứng Dụng
-
Giải Toán 10 Bài 2. Tích Vô Hướng Cảu Hai Vectơ
-
Tích Vô Hướng Của Hai Vectơ – Sách Bài Tập Toán 10 – Bài Tập Hình Học