Tích Vô Hướng Của Hai Vectơ - O₂ Education

Toán 10: Tích vô hướng của hai vectơ

1. Tích vô hướng của hai vectơ là gì?

1.1. Định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ

Cho hai véc-tơ $ \vec{a}$ và $\vec{b}$ đều khác $ \vec{0}$. Tích vô hướng của hai véc-tơ $ \vec{a}$ và $\vec{b}$, kí hiệu là $ \vec{a}\cdot \vec{b}$ là một số, được xác định bởi $$ \vec{a}\cdot \vec{b} = \left|\vec{a}\right |\cdot \left|\vec{b} \right|\cdot \cos (\vec{a},\vec{b}) .$$

Quy ước, nếu $ \vec{a}=\vec{0}$ hoặc $ \vec{b}=\vec{0}$ thì $ \vec{a}\cdot \vec{b} =0.$

Xem lại cách xác định góc giữa hai véc-tơ: Góc giữa hai vectơ trong mặt phẳng.

Hai véc-tơ vuông góc với nhau khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng bằng $0$.

Tích vô hướng chính là công trong Vật lý. Cho một lực có độ lớn $F$ tác động lên vật làm vật di chuyển được quãng đường $s=OO’$. Lực $F$ hợp với hướng chuyển động $OO’$ một góc là $\phi$ thì công mà lực $F$ sinh ra có độ lớn là $$A=F.s.\cos\phi.$$

1.2. Tính chất của tích vô hướng

Với ba véc-tơ $ \vec{a},\vec{b},\vec{c}$ bất kỳ và một số thực $ k$, ta luôn có

• $ \vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}$ (tính chất giao hoán);
• $ \vec{a}(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot\vec{c}$ (tính chất phân phối);
• $ (k\vec{a})\cdot\vec{b}=k(\vec{a}\cdot\vec{b})$.

1.3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ với hệ trục $ (O;\vec{i},\vec{j})$ cho hai véc-tơ $ \vec{a}=(x;y)$ và $ \vec{b}=(x’;y’)$ thì ta có $$ \vec{a}\cdot\vec{b}=xx’+yy’. $$

Hai véc-tơ $ \vec{a}=(x;y)$ và $ \vec{b}=(x’;y’)$ khi và chỉ khi $xx’+yy’=0$.

1.4. Ứng dụng của tích vô hướng 2 vecto

• Độ dài của $ \vec{a}(x;y)$ được tính bởi công thức $$ |\vec{a}|=\sqrt{x^2+y^2}.$$
• Góc giữa hai vectơ $ \vec{a}=(x;y)$ và $ \vec{b}=(x’;y’)$ có $$ \cos\left(\vec{a},\vec{b}\right)=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}=\frac{xx’+yy’}{\sqrt{x^2+y^2}\cdot\sqrt{x’^2+y’^2}}.$$
• Khoảng cách giữa hai điểm $ A(x_A;y_A)$ và $ B(x_B;y_B)$ được tính bởi công thức $$ AB=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2}.$$

1.5. Công thức hình chiếu

• Nếu hai điểm $ A’,B’ $ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $ A,B $ lên đường thẳng $ CD, $ thì ta luôn có \[ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{A’B’}\cdot\overrightarrow{CD} \]
• Ngược lại, nếu hai điểm $ C’,D’ $ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $ C,D $ lên đường thẳng $ AB $ thì \[ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{C’D’} \]

2. Các dạng toán tích vô hướng của hai vectơ

2.1. Tính tích vô hướng bằng định nghĩa

Ví dụ 1. Cho tam giác $ABC$ đều, cạnh bằng $ a $ và đường cao $ AH $. Tính các tích vô hướng:

• $ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$;
• $(2\overrightarrow{AB})\cdot(3\overrightarrow{HC})$;
• $ (\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})(2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}). $

Ví dụ 2. Cho tam giác đều $ ABC $ có cạnh bằng $ 3a. $ Lấy hai điểm $ M,N $ thuộc đoạn $ AC $ sao cho $ AM=MN=NC $. Tính các tích vô hướng:

• $ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$;
• $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{CB}$;
• $\overrightarrow{BM}\cdot\overrightarrow{BN} $.

Hướng dẫn.

• Ta có: $ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\cdot AC\cos\widehat{BAC}=3a\cdot 3a\cdot\cos60^\circ=\frac{9a^2}{2}.$
• Dựng $ \overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AC} $ thì $\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB}\right)=\left(\overrightarrow{CE},\overrightarrow{CB}\right)=\widehat{BCE}=120^\circ. $ Từ đó tính được, $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{CB}=-\frac{9a^2}{2}$.
• Để tính tích vô hướng còn lại, ta phân tích các véctơ sử dụng quy tắc ba điểm như sau: \begin{align*}\overrightarrow{BM}\cdot\overrightarrow{BN}&=\left(\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AB}\right)\left(\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AB}\right)\\ &=\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{AB}^2 \end{align*} Thay số vào các tích vô hướng trên, được đáp số $ \frac{13a^2}{2} $.

Khi tính các tích vô hướng ta thường có hai hướng, tính trực tiếp bằng định nghĩa, hoặc phân tích thành các véctơ có mối liên hệ đặc biệt với nhau (vuông góc, cùng hướng hoặc ngược hướng với nhau). Hãy xem ví dụ sau để rõ hơn về ý tưởng này.

Ví dụ 3. Cho hình vuông $ ABCD $ cạnh bằng $ a $ có $ M, N $ lần lượt là trung điểm của $ BC $ và $ CD $. Tính các tích vô hướng:

• $ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AM}$;
• $\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{AN}. $

Hướng dẫn.

• Ta có $ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}\right)=\overrightarrow{AB}^2+\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BM}=a^2. $
• Tương tự, cũng có $ \overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{AN}=\left( \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}\right)\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN}\right)=…=a^2. $

Ví dụ 4. Cho hình vuông $ ABCD $ cạnh bằng $ a $ và $ M $ là một điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp hình vuông. Tính các tích vô hướng:

• $ \left( \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD} \right) \cdot\left(\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BC} \right) $;
• $ \left( 2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD} \right) \cdot \left( 2\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB} \right) $;
• $ \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\cdot\overrightarrow{MD} $.

Ví dụ 5. Cho hai điểm $ A,B $ cố định và $ k $ là hằng số. Tìm tập hợp các điểm $ M $ thỏa mãn $$ \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=k. $$

Hướng dẫn. Gọi $ I $ là trung điểm $ AB $, ta có: \begin{align} \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}&= \left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right) \left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)\\ &= \left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right) \left(\overrightarrow{MI}-\overrightarrow{IA}\right)\\ &=MI^2-IA^2 \end{align} Do đó, $ MI^2=k+IA^2 $, nên có các khả năng:

• Nếu $ k+IA^2 <0 $, tập hợp điểm $ M $ là tập rỗng.
• Nếu $ k+IA^2=0 $, tập hợp điểm $ M $ là điểm $ I $.
• Nếu $ k+IA^2 >0 $, tập hợp điểm $ M $ là một đường tròn tâm $ I, $ bán kính $ R=\sqrt{k+IA^2} $.

Như vậy, tùy thuộc vào số $ k $ mà tập hợp điểm $ M $ là các tập khác nhau như trên.

Ví dụ 6. Cho hai véctơ $ \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB} $, gọi $ B’ $ là hình chiếu vuông góc của điểm $ B $ lên đường thẳng $ OA $. Chứng minh rằng $ \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}= \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB’}$.

Hướng dẫn. Chúng ta xét hai trường hợp:

• Hai điểm $A$ và $ B’ $ nằm ở cùng một phía so với điểm $ O. $ Khi đó, $ \cos\widehat{AOB}=\cos\widehat{BOB’} $ nên: \begin{align} \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}&=OA\cdot OB\cdot\cos\widehat{AOB}\\ &=OA\cdot OB’\\ &=OA\cdot OB’\cdot\cos0^\circ\\ &=\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB’} \end{align}
• Hai điểm $A$ và $ B’ $ nằm hai phía so với điểm $ O. $ Khi đó, $ \cos\widehat{AOB}=-\cos\widehat{BOB’} $ nên: \begin{align} \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}&=OA\cdot OB\cdot\cos\widehat{AOB}\\ &=-OA\cdot OB\cdot\cos\widehat{AOB’}\\ &=-OA\cdot OB’\\ &=OA\cdot OB’\cdot\cos180^\circ\\ &=\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB’} \end{align}

Như vậy, trong cả hai trường hợp, ta đều có $ \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}= \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB’}$.

Ví dụ 7. Cho đường tròn tâm $ I, $ bán kính $ R $ và một điểm $ M $ bất kỳ. Một đường thẳng qua $ M $ cắt đường tròn tại hai điểm $ A,B $. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức $ P=\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} $ không đổi.

Hướng dẫn. Kẻ đường kính $ BB’ $ thì ta có $ A $ là hình chiếu của $ B’ $ lên $ MB $. Áp dụng công thức hình chiếu trong ví dụ trên, ta có: \begin{align} P&=\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}\\ &=\overrightarrow{MB}\cdot\overrightarrow{MB’}\\ &=\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB’}\right) \end{align} Nhưng $ \overrightarrow{IB}=-\overrightarrow{IB’}$, nên suy ra $$P= \left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)\left(\overrightarrow{MI}-\overrightarrow{IB}\right)=MI^2-IB^2=MI^2-R^2 $$, đây là một đại lượng không đổi.

Ví dụ 8. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $ A $ và $ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CB}=4, \overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BC}=9 $. Tính độ dài ba cạnh của tam giác.

Hướng dẫn.  Ta có $ A $ là hình chiếu vuông góc của $ C $ lên đường thẳng $ AB $, do đó: \[ 4=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}=AB^2 \] Suy ra $ AB=2. $ Tương tự có $ AC=3, $ và sử dụng Pytago được $ BC=\sqrt{13}. $

Ví dụ 9. Cho hình thang vuông $ ABCD $, đường cao $ AB = 2a $, đáy lớn $ BC = 3a $, đáy nhỏ $ AD = a $.

• Tính các tích vô hướng $ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD},\overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD} $.
• Gọi $ I $ là trung điểm của $ CD, $ tính góc $ \left(\overrightarrow{AI},\overrightarrow{BD}\right) $.

Hướng dẫn. Sử dụng công thức hình chiếu hoặc phân tích theo hai véctơ vuông góc với nhau là $ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}. $

Ví dụ 10. Cho hình vuông $ ABCD $ cạnh bằng $ a $ và điểm $ M $ thuộc cạnh $ AB $ sao cho $ AM=\frac{a}{3}. $ Tính giá trị lượng giác $ \cos\widehat{CMD} $.

2.2. Chứng minh đẳng thức bằng tích vô hướng

Ví dụ 1. Cho tam giác $ABC$ có trọng tâm $ G $ và $ M $ là một điểm nằm trên đường thẳng đi qua $ G $ đồng thời vuông góc với $ BC. $ Chứng minh rằng $$\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right)\cdot\overrightarrow{BC}=0. $$ Hướng dẫn. Ta có $ \left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right)\cdot\overrightarrow{BC}=3\overrightarrow{MG}\cdot\overrightarrow{BC}=0. $

Ví dụ 2. Cho hình vuông $ ABCD $ tâm là $ O $, cạnh bằng $ a $. Chứng minh rằng với mọi điểm $ M $ ta luôn có: \[ MA^2+MB^2+MC^2+MD^2=4MO^2+2a^2 \] Hướng dẫn. Ta có: $$ MA^2=\overrightarrow{MA}^2=\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}\right)^2=MO^2+OA^2+2\overrightarrow{MO}\cdot\overrightarrow{OA}. $$ Làm tương tự đối với $ MB,MC,MD $ và cộng từng vế các đẳng thức này được: \begin{align} MA^2+MB^2+MC^2+MD^2&=4MO^2+4OA^2+2\overrightarrow{MO}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OD}\right)\\ &=4MO^2+2a^2 \end{align} Vì $ \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OD}=\vec{0}. $

2.3. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

Ví dụ 1. Chứng minh rằng với bốn điểm phân biệt $ A,B,C,D $ bất kì, ta luôn có, $ AB $ vuông góc với $ CD $ khi và chỉ khi \[ AC^2-AD^2=BC^2-BD^2 \] Hướng dẫn. Áp dụng công thức $ \vec{a}^2=|\vec{a}|^2 $, ta có: \begin{align*} AC^2-AD^2&=BC^2-BD^2\\ \Leftrightarrow \overrightarrow{AC}^2-\overrightarrow{AD}^2&=\overrightarrow{BC}^2-\overrightarrow{BD}^2\\ \Leftrightarrow \left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}\right)\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\right)&=\left(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BD}\right)\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BD}\right)\\ \Leftrightarrow \overrightarrow{DC}\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\right)&=\overrightarrow{DC}\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BD}\right)\\ \Leftrightarrow \overrightarrow{DC}\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BD}\right)&=0\\ \Leftrightarrow 2\overrightarrow{DC}\cdot\overrightarrow{AB}&=0 \end{align*} Điều này xảy ra, khi và chỉ khi hai đường thẳng $ AB $ và $ CD $ vuông góc với nhau.

Chú ý rằng, ở bước thứ ba, ta không được “chia” hai vế cho $ \overrightarrow{DC} $.

2.4. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Ví dụ 1. Cho tam giác $ ABC$ với $ A(-1 ;-1 ) , B(3 ;1) , C(6 ; 0)$. Tính chu vi tam giác $ABC$ và tìm số đo góc $ B$.

Ví dụ 2. Trong mặt phẳng tọa độ cho hai điểm $ A(-3,2),B(4,3). $ Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc trục $ Ox $ sao cho tam giác $ MAB $ vuông tại $ M. $

Hướng dẫn. $ M(3,0) $ hoặc $ M(-2,0) $

Ví dụ 3. Trong mặt phẳng tọa độ cho tam giác $ABC$ có $A(1;2),B(5;3)$ và $C(-2;-2)$.

• Tính chu vi tam giác $ABC$;
• Tính số đo các góc của tam giác $ABC$;
• Tìm tọa độ trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Ví dụ 4. [B03] Cho tam giác $ ABC $ vuông cân tại điểm $A$. Biết $ M(1,-1) $ là trung điểm cạnh $ BC $ và $ G(2/3,0) $ là trọng tâm tam giác $ ABC $. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác.

Hướng dẫn.

• Gọi $ A(x_A,y_A) $ thì $ \overrightarrow{AG}=2\overrightarrow{GM} \Leftrightarrow A(0,2).$
• Gọi $ B(x_B,y_B) $ thì vì $ M $ là trung điểm $ BC $ nên $ C(2-x_B,-2-y_B) $ do đó tính được $$ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}. $$
• Mặt khác, có tam giác $ ABC $ vuông cân tại $A$ khi và chỉ khi $$\begin{cases} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0 \\ AB=AC \end{cases}$$ Giải hệ này tìm được $B(4,0)$ hoặc $ B(-2,2) .$ Từ đó tìm được $ C(-2,2) $ hoặc $ C(4,0). $

Ví dụ 5. Trong mặt phẳng toạ độ $ Oxy, $ cho tam giác $ ABC $ có các đỉnh $ A(-1, 0), B (4, 0), C(0,m) $ với $ m\ne 0 $. Tìm tọa độ trọng tâm $ G $ của tam giác $ ABC $ theo $ m $. Xác định $ m $ để tam giác $ GAB $ vuông tại $ G. $

Hướng dẫn. Đáp số $ m=\pm3\sqrt{6} $.

Ví dụ 6. Cho $ A(0,2),B(-\sqrt{3},-1). $ Tìm tọa độ trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ OAB. $

Hướng dẫn.

• Có $ H $ là trực tâm tam giác $OAB$ khi và chỉ khi $$\begin{cases} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{OH}=0\\ \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{OB}=0 \end{cases} $$ Giải hệ này tìm được đáp số $H(\sqrt{3},-1).$
• Ta có $ I $ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ OAB $ khi và chỉ khi $$IA=IB=IO$$ Giải hệ này tìm được đáp số $I(-\sqrt{3},1)$.

Ví dụ 7. Cho tứ giác $ABCD$ có $A( 2 ; 1) , B(0 ; -3 ), C(6 ; -6 ), D(8 ; -2 )$. Tính diện tích tứ giác $ABCD$.

Hướng dẫn. Chỉ ta tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật nên diện tích được tính bằng công thức $$S=\frac{1}{2} AB\cdot AD.$$

3. Bài tập tích vô hướng của hai vectơ

Bài 1. Cho hình vuông ABCD cạnh $a$. Tính $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$.

Bài 2. Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{A}=90^\circ;\widehat{B}=60^\circ$ và $AB=a$. Tính các tích vô hướng $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC};\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}$ và $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{CB}$.

Bài 3. Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại A có $AB=AC=a$. Tính $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC};\;\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}$.

Bài 4. Cho tam giác $ABC$ đều cạnh $a$. Tính $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{AB}$.

Bài 5. Trong mặt phẳng $ Oxy $ cho $A=(4;6),B(1;4)$ và $C(7;\frac{3}{2})$.

• Chứng minh tam giác $ABC$ vuông tại $ A $.
• Tính độ dài các cạnh $AB,AC,BC$.

Bài  6. Tính góc giữa hai vec tơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ trong các trường hợp sau

• $\overrightarrow{a}=(1;-2)$ và $\overrightarrow{b}=(-1;-3)$.
• $\overrightarrow{a}=(3;-4)$ và $\overrightarrow{b}=(4;3)$.
• $\overrightarrow{a}=(2;5)$ và $\overrightarrow{b}=(3;-7)$.

Bài 7. Cho hình vuông $ ABCD $. Gọi $ M,N $ lần lượt là trung điểm của $ BC,CD $. Chứng minh rằng $ AM $ vuông góc với $ BN. $

Bài 8. Cho hình thang vuông $ ABCD $ với đường cao $ AD=h $ và hai đáy $ AB=a,CD=b $.

• Tìm điều kiện của $ a,b $ và $ h $ để $ AC $ vuông góc với $ BD $.
• Gọi $ M $ là trung điểm của $ BC $. Tìm điều kiện của $ a $ và $ b $ để $ AM $ vuông góc với $ BD. $

Bài 9. Chứng minh rằng với bốn điểm $ A,B,C,D $ bất kỳ ta có \[ \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{BC}=\vec{0} \]Suy ra ba đường cao của tam giác đồng quy.

Bài 10. Cho tam giác $ABC$, trên các cạnh $ AB,CD $, ta dựng ra phía ngoài các tam giác $ ABE,ACF $ vuông cân tại $ A $. Gọi $ I $ là trung điểm của $ BC $. Chứng minh rằng $ AI $ vuông góc với $ EF $.

Bài 11. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $ O $. Gọi $ BH,CK $ là các đường cao của tam giác. Chứng minh rằng $ OA $ vuông góc với $ HK $.

Bài 12. Cho tam giác $ABC$ cân tại $ A $ với $ O $ là tâm đường tròn ngoại tiếp. Gọi $ D $ là trung điểm của $ AB $ và $ E $ là trọng tâm của tam giác $ ACD $. Chứng minh rằng $ OE $ vuông góc với $ CD $.

Bài 13. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $ O $ và một điểm $ H $. Chứng minh rằng $ H $ là trực tâm của tam giác $ ABC $ khi và chỉ khi $ \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OH} $.

Bài 14. Cho tứ giác lồi $ ABCD $ với $ O $ là giao điểm của hai đường chéo. Gọi $ H,K $ tương ứng là trực tâm của các tam giác $ OAB,OCD $. Gọi $ I,J $ tương ứng là trung điểm của $ BC,DA $. Chứng minh rằng $ HK $ vuông góc với $ IJ $.

Bài 15. Cho tứ giác nội tiếp $ ABCD $ với $ I $ là giao điểm của hai đường chéo. Gọi $ E,F $ lần lượt là trung điểm của $ AB,BC $. Chứng minh rằng $ IE $ vuông góc với $ CD $ khi và chỉ khi $ IF $ vuông góc với $ AD $.

Bài 16. Cho góc vuông $ xSy $ và đường tròn $ (O) $ cắt $ Sx $ tại $ A,B $ và $ Sy $ tại $ C,D $. Chứng minh rằng trung tuyến vẽ từ $ S $ của tam giác $ SAC $ vuông góc với $ BD $.

Bài 17. Trong mặt phẳng $ Oxy $ cho hai điểm $A(2;4)$ và $B(1;1)$. Tìm tọa độ điểm $ C $ sao cho tam giác $ABC$ là tam giác vuông cân tại $ B $.

Bài 18. Cho tam giác $ABC$ biết $A(1;-1),B(5;-3)$ và $C(2;0)$.

• Tính chu vi và nhận dạng tam giác $ABC$.
• Tìm tọa độ điểm M biết $\overrightarrow{CM}=2\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AC}$.
• Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Bài 19. Trong mặt phẳng $Oxy$ cho 4 điểm  $A,B,C,D$ với $A(-1;1) ,B(0;2) ,C(3;1)$ và $D(0;-2)$. Chứng minh rằng $ABCD$ là hình thang cân

Bài 20. Trong mặt phẳng $Oxy$ cho 4 điểm $A(3;4) ,B(4;1) ,C(2;- 3) ,D(-1;6)$. Chứng minh rằng $ABCD$ là tứ giác nội tiếp.

Bài 21. Cho hình vuông $ ABCD $. Gọi $ M,N $ lần lượt là trung điểm của $ BC,CD $. Chứng minh rằng $ AM $ vuông góc với $ BN. $

Bài 22. Cho hình thang vuông $ ABCD $ với đường cao $ AD=h $ và hai đáy $ AB=a,CD=b $.

• Tìm điều kiện của $ a,b $ và $ h $ để $ AC $ vuông góc với $ BD $.
• Gọi $ M $ là trung điểm của $ BC $. Tìm điều kiện của $ a $ và $ b $ để $ AM $ vuông góc với $ BD. $

Bài 23. Cho tam giác $ABC$. Với điểm $ M $ tùy ý, chứng minh rằng $$\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{MC}\cdot \overrightarrow{AB}=0$$

Bài 24. Cho $ O $ là trung điểm của đoạn thẳng $ AB $ và $ M $ là một điểm tùy ý. Chứng minh rằng $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=OM^2 – OA^2$.

Bài 25. Cho tam giác $ABC$ có ba đường trung tuyến là $ AD, BE, CF $. Chứng minh rằng $\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{BE}+\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CF}=0$.

Bài 26. Cho hình chữ nhật $ ABCD $ có $AB=a$ và $AD=a\sqrt{2}$. Gọi $ K $ là trung điểm của cạnh $ AD $. Chứng minh $BK\perp AC$.

Bài 27. Cho tam giác $ABC$ cân tại $ A $. Gọi $ H $ là trung điểm của cạnh $ BC $, $ D $ là hình chiếu vuông góc của $ H $ trên cạnh $ AC, M $ là trung điểm của đoạn $ HD $. Chứng minh $AM\perp BD$.

Bài 28. Cho tam giác $ABC$. Gọi $ H $ là trực tâm của tam giác và $ M $ là trung điểm của $ BC $. Chứng minh $\overrightarrow{MH}\cdot \overrightarrow{MA}=\frac{1}{4}BC^2$.

Bài 29. Cho tứ giác $ ABCD $ có hai đường chéo $ AC $ và $ BD $ vuông góc với nhau và cắt nhau tại $ M $. Gọi $ P $ là trung điểm của $ AD $. Chứng minh $$MP\perp BC \Leftrightarrow \overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{MD}$$

Bài 30. Chứng minh rằng với bốn điểm $ A,B,C,D $ bất kỳ ta có \[ \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{BC}=\vec{0}. \] Từ đó chứng minh ba đường cao của một tam giác đồng quy.

Bài 31. Cho tam giác $ABC$, trên các cạnh $ AB,CD $, ta dựng ra phía ngoài các tam giác $ ABE,ACF $ vuông cân tại $ A $. Gọi $ I $ là trung điểm của $ BC $. Chứng minh rằng $ AI $ vuông góc với $ EF $.

Bài 32. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $ O $. Gọi $ BH,CK $ là các đường cao của tam giác. Chứng minh rằng $ OA $ vuông góc với $ HK $.

Bài 33. Cho tam giác $ABC$ cân tại $ A $ với $ O $ là tâm đường tròn ngoại tiếp. Gọi $ D $ là trung điểm của $ AB $ và $ E $ là trọng tâm của tam giác $ ACD $. Chứng minh rằng $ OE $ vuông góc với $ CD $.

Bài 34. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $ O $ và một điểm $ H $. Chứng minh rằng $ H $ là trực tâm của tam giác $ ABC $ khi và chỉ khi $ \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OH} $.

Bài 35. Cho tứ giác lồi $ ABCD $ với $ O $ là giao điểm của hai đường chéo. Gọi $ H,K $ tương ứng là trực tâm của các tam giác $ OAB,OCD $. Gọi $ I,J $ tương ứng là trung điểm của $ BC,DA $. Chứng minh rằng $ HK $ vuông góc với $ IJ $.

Bài 36. Cho tứ giác nội tiếp $ ABCD $ với $ I $ là giao điểm của hai đường chéo. Gọi $ E,F $ lần lượt là trung điểm của $ AB,BC $. Chứng minh rằng $ IE $ vuông góc với $ CD $ khi và chỉ khi $ IF $ vuông góc với $ AD $.

Bài 37. Cho góc vuông $ xSy $ và đường tròn $ (O) $ cắt $ Sx $ tại $ A,B $ và $ Sy $ tại $ C,D $. Chứng minh rằng trung tuyến vẽ từ $ S $ của tam giác $ SAC $ vuông góc với $ BD $.

Bài 38. Cho tam giác không cân $ ABC $. Hỏi tam giác này phải thỏa mãn điều kiện gì để đường thẳng Euler của nó vuông góc với trung tuyến qua $ A $?

Bài 39. Qua trung điểm các cạnh của một tứ giác lồi kẻ các đường thẳng vuông góc với cạnh đối diện. Chứng minh rằng nếu ba trong số các đường đó đồng quy thì cả bốn đường thẳng đồng quy.

Bài 40. Trong mặt phẳng cho $ n $ điểm phân biệt $ A_1,A_2,…,A_n $, và $ n $ số thực khác không $ \lambda_1,\lambda_2,…,\lambda_n $ sao cho $ A_iA_j^2=\lambda_i+\lambda_j $. Chứng minh rằng $ n \leqslant 4 $ và nếu $ n=4 $ thì $ \frac{1}{\lambda_1}+\frac{1}{\lambda_2}+\frac{1}{\lambda_3}+\frac{1}{\lambda_4}=0 $.

Xem thêm Bài tập tích vô hướng của hai vectơ