Bài 3: Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Song Song - Tìm đáp án

1. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng

Cho đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\,.\) Căn cứ vào số điểm chung của đường thẳng và mặt phẳng ta có ba trường hợp sau:

a. Đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) không có điểm chung, tức là:

\(a \cap \left( P \right) = \emptyset \,\, \Leftrightarrow \,\,a\parallel \left( P \right).\)

b. Đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) chỉ có một điểm chung, tức là:

\(a \cap \left( P \right) = A\,\, \Leftrightarrow \,\,a\) cắt \(\left( P \right)\) tại \(A\,.\)

c. Đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) có hai điểm chung, tức là:

\(a \cap \left( P \right) = \left\{ {A,\,\,B} \right\}\,\, \Leftrightarrow \,\,a \subset \left( P \right)\,.\)

2. Điều kiện để một đường thẳng song song với một mặt phẳng

Định lí 1: Nếu đường thẳng \(a\) không nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\) và song song với một đường thẳng nào đó trong \(\left( P \right)\) thì \(a\) song song với \(\left( P \right)\,.\)

Tức là, \(a \not\subset \left( P \right)\) thì nếu:

\(a\parallel d \subset \left( P \right) \Rightarrow a\parallel \left( P \right).\)

3. Tính chất

Định lí 2: Nếu đường thẳng \(a\) song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\) thì mọi mặt phẳng \(\left( Q \right)\) chứa \(a\) mà cắt \(\left( P \right)\) thì sẽ cắt theo một giao tuyến song song với \(a\,.\)

Tức là, nếu \(\left\{ \begin{array}{l}a\parallel \left( P \right)\\a \subset \left( Q \right)\,\,\,\,\left[ {\left( Q \right) \cap \left( P \right) = d} \right]\end{array} \right. \Rightarrow \,\,a\parallel d.\)

Hệ quả 1: Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì nó song song với một đường thẳng nào đó trong mặt phẳng.

Hệ quả 2: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến (nếu có) của chúng song song với đường thẳng đó.

Tức là: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( P \right) \cap \left( Q \right) = d\\\left( P \right)\parallel a\\\left( Q \right)\parallel a\end{array} \right. \Rightarrow \,\,d\parallel a.\)

Hệ quả 3: Nếu \(a\) và \(b\) là hai đường thẳng chéo nhau thì qua \(a\) có một và chỉ một mặt phẳng song song với \(b\,.\)

4. Bài tập Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng

Phương pháp:

Để chứng minh đường thẳng \(d\) songsong với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) ta chứng minh \(d\) song song với một đường thẳng \(d'\) nằm trong \(\left( \alpha \right)\).

Ví dụ:

Cho hai hình bình hành \(ABCD\) và \(ABEF\) không cùng nằm trong một mặt phẳng có tâm lần lượt là \(O\) và \(O'\).

a) Chứng minh \(OO'\) song song với các mặt phẳng \(\left( {ADF} \right)\) và \(\left( {BCE} \right)\).

b) Gọi \(M,N\) lần lượt là hai điểm trên các cạnh \(AE,BD\) sao cho \(AM = \frac{1}{3}AE,BN = \frac{1}{3}BD\). Chứng minh \(MN\) song song với \(\left( {CDEF} \right)\).

Hướng dẫn:

a) Ta có \(OO'\) là đường trung bình của tam giác \(BDF\) ứng với cạnh \(DF\) nên \(OO'\parallel DF\), \(DF \subset \left( {ADF} \right)\)

\( \Rightarrow OO'\parallel \left( {ADF} \right)\).

Tương tự, \(OO'\) là đường trung bình của tam giác \(ACE\) ứng với cạnh \(CE\) nên \(OO'\parallel CE\), \(CE \subset \left( {CBE} \right) \Rightarrow OO'\parallel \left( {BCE} \right)\).

b) Trong \(\left( {ABCD} \right)\), gọi \(I = AN \cap CD\)

Do \(AB\parallel CD\) nên \(\frac{{AN}}{{AI}} = \frac{{BN}}{{BD}} \Rightarrow \frac{{AN}}{{AI}} = \frac{1}{3}\).

Lại có \(\frac{{AM}}{{AE}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{AN}}{{AI}} = \frac{{AM}}{{AE}}\)\( \Rightarrow MN\parallel IE\).

Mà \(I \in CD \Rightarrow IE \subset \left( {CDEF} \right) \)

\(\Rightarrow MN\parallel \left( {CDEF} \right)\).

5. Bài tập Dựng thiết diện song song với đường thẳng

Phương pháp:

Sử dụng định nghĩa và các tính chất hoặc biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến.

Trong phần này ta sẽ xét thiết diện của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua một điểm song song với hai đường thẳng chéo nhau hoặc \(\left( \alpha \right)\) chứa một đường thẳng và song song với một đường thẳng; để xác định thiết diện loại này ta sử dụng tính chất: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( \alpha \right)\parallel d\\d \subset \left( \beta \right)\\M \in \left( \alpha \right) \cap \left( \beta \right)\end{array} \right. \)

\(\Rightarrow \left( \alpha \right) \cap \left( \beta \right) = d'\parallel d,M \in d'\)

Ví dụ:

Cho hình chóp \(S.ABCD\), \(M\) và \(N\) là hai điểm thuộc cạnh \(AB\) và \(CD\), \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng qua \(MN\) và song song với \(SA\).

a) Xác định thiết diện của hình chóp \(S.ABCD\) khi cắt bởi\(\left( \alpha \right)\).

b) Tìm điều kiện của \(MN\) để thiết diện là một hình thang.

Hướng dẫn:

a) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}M \in \left( \alpha \right) \cap \left( {SAB} \right)\\\left( \alpha \right)\parallel SA\\SA \subset \left( {SAB} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left( {SAB} \right) \cap \left( \alpha \right) = MQ\parallel SA,Q \in SB\).

Trong \(\left( {ABCD} \right)\) gọi \(I = AC \cap MN\)

\(\left\{ \begin{array}{l}I \in MN \subset \left( \alpha \right)\\I \in AC \subset \left( {SAC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow I \in \left( \alpha \right) \cap \left( {SAC} \right)\)

Vậy \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}I \in \left( {SAC} \right) \cap \left( \alpha \right)\\\left( \alpha \right)\parallel SA\\SA \subset \left( {SAC} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left( {SAC} \right) \cap \left( \alpha \right) = IP\parallel SA,P \in SC\end{array}\)

Từ đó ta có \(\left( \alpha \right) \cap \left( {SBC} \right) = PQ,\left( \alpha \right) \cap \left( {SAD} \right) = NP\).

Thiết diện là tứ giác \(MNPQ\).

b) Tứ giác \(MNPQ\) là một hình thang khi \(MN\parallel PQ\) hoặc \(MQ\parallel NP\).

Trường hợp 1:

Nếu \(MQ\parallel NP\) thì ta có \(\left\{ \begin{array}{l}MQ\parallel NP\\MQ\parallel SA\end{array} \right. \Rightarrow SA\parallel NP\)

Mà \(NP \subset \left( {SCD} \right) \Rightarrow SA\parallel \left( {SCD} \right)\) (vô lí).

Trường hợp 2:

Nếu \(MN\parallel PQ\)thì ta có các mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right),\left( \alpha \right),\left( {SBC} \right)\) đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến là \(MN,BC,PQ\) nên \(MN\parallel BC\).

Đảo lại nếu \(MN\parallel BC\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}MN \subset \left( \alpha \right)\\BC \subset \left( {SBC} \right)\\PQ = \left( \alpha \right) \cap \left( {SBC} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow MN\parallel PQ\) nên tứ giác \(MNPQ\) là hình thang.

Vậy để tứ giác \(MNPQ\) là hình thang thì điều kiện là \(MN\parallel BC\).

6. Luyện tập

Bài 1:

Cho hình chóp \(S.ABCD\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(BC\); \({G_1},{G_2}\) tương ứng là trọng tâm các tam giác \(SAB,SBC\).

a) Chứng minh \(AC\parallel \left( {SMN} \right)\).

b) \({G_1}{G_2}\parallel \left( {SAC} \right)\).

c) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {B{G_1}{G_2}} \right)\).

Hướng dẫn:

a) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}MN\parallel AC\\AC \subset \left( {SAC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow MN\parallel \left( {SAC} \right)\).

b) \({G_1},{G_2}\) lần lượt là trọng tâm các tam giác \(SAB\) và \(SBC\) nên

\(\frac{{S{G_1}}}{{SM}} = \frac{{S{G_2}}}{{SN}} = \frac{2}{3} \Rightarrow {G_1}{G_2}\parallel MN\) mà \(MN\parallel AC \Rightarrow {G_1}{G_2}\parallel AC\).

Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}{G_1}{G_2}\parallel AC\\AC \subset \left( {SAC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow {G_1}{G_2}\parallel \left( {SAC} \right)\).

c) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}B \in \left( {ABC} \right) \cap \left( {B{G_1}{G_2}} \right)\\NM \subset \left( {ABC} \right)\\{G_1}{G_2} \subset \left( {BG1{G_2}} \right)\\MN\parallel {G_1}{G_2}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left( {ABC} \right) \cap \left( {B{G_1}{G_2}} \right) = d\parallel MN\parallel {G_1}{G_2},\)

\(B \in d\).

Bài 2:

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là một tứ giác lồi. Gọi \(O\) là giao điểm của hai đường chéo \(AC\) và \(BD\). Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng qua \(O\), song song với \(AB\) và \(SC\).

Hướng dẫn:

Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng qua \(O\) và song song với \(AB\) và \(SC\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}O \in \left( P \right) \cap \left( {SAC} \right)\\SC \subset \left( {SAC} \right)\\SC\parallel \left( P \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left( {SAC} \right) \cap \left( P \right) = OM\parallel SC,O \in SA\).

Tương tự

\(\left\{ \begin{array}{l}N \in \left( {SAB} \right) \cap \left( P \right)\\AB \subset \left( {SAB} \right)\\AB\parallel \left( P \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left( {SAB} \right) \cap \left( P \right) = MN\parallel AB,N \in SB\).

\(\begin{array}{l} \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {N \in \left( P \right) \cap \left( {SBC} \right)}\\ {SC \subset \left( {SBC} \right)}\\ {SC\parallel \left( P \right)} \end{array}} \right.\\ \Rightarrow \left( {SBC} \right) \cap \left( P \right) = NP\parallel SC,P \in BC \end{array}\)

Trong \(\left( {ABCD} \right)\)gọi \(Q = PO \cap AD\) thì thiết diện là tứ giác \(MNPQ\).