Bài 4: Phương Trình Logarit - Phương Pháp đặt ẩn Phụ

I. Lý Thuyết Thường đặt ẩn phụ là + Biểu thức xuất hiện nhiều lần + Biểu thức xuất hiện phức tạp

Kiểu 1: Đặt 1 ẩn đưa về phương trình theo 1 ẩn mới Kiểu 2: Đặt 1 ẩn nhưng không làm mất ẩn ban đầu. Khi đó: + Xem ẩn ban đầu là tham số + Đưa về phương trình tích Kiểu 3: Đặt nhiều ẩn Khi đó: + Đưa về phương trình tích + Xem 1 ẩn là tham số + Biểu thức đồng bậc → đưa về phương trình theo 1 ẩn mới. II. Bài tập VD1: Giải phương trình \(log_3^2x+3log_{\frac{1}{3}}x+2=0\) Giải ĐK: x > 0 \(Pt\Leftrightarrow log_3^2x-3log_3x+2=0\) Đặt \(t=log_3x\), ta có \(t^2-3t+2=0\) \(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} t=1\\ \\ t=2 \end{matrix}\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} log_3x=1\\ \\ log_3x=2 \end{matrix}\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=3\\ \\ x=9 \end{matrix}\) (thỏa mãn) Vậy tập nghiệm phương trình là {3; 9} VD2: Giải phương trình \(log_2x+log_x2-2=0\) Giải

ĐK: \(0<x\neq 1\) Đặt \(t=log_2x\), ta có \(log_x2=\frac{1}{t} \ \ \ (t\neq 0)\) ta có \(t+\frac{1}{t}-2=0\) \(\Rightarrow t^2+1-2t=0\) \(\Rightarrow (t-1)^2=0\) \(\Rightarrow t=1\) Với \(t=1\Leftrightarrow log_2x=1\Leftrightarrow x=2\) Vậy tập nghiệm phương trình là {2} VD3: Giải phương trình \(log_2(\sqrt{x}+1)=log_3x\)

Giải ĐK: x > 0 Đặt \(log_2(\sqrt{x}+1)=log_3x=t\) \(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{x}+1=2^t\\ x=3^t \end{matrix}\right.\rightarrow 3^{\frac{t}{2}}+1=4^{\frac{t}{2}}\) \(\Rightarrow \left ( \frac{3}{4} \right )^{\frac{t}{2}}+\left ( \frac{1}{4} \right )^{\frac{t}{2}}=1\) t = 2 là 1 nghiệm t > 2 \(\left.\begin{matrix} \left ( \frac{3}{4} \right )^\frac{t}{2}<\frac{3}{4}\\ \\ \left ( \frac{1}{4} \right )^\frac{t}{2}< \frac{1}{4} \end{matrix}\right\}VT<1\) t < 2 tương tự VT > 1 Vậy \(t=2\Rightarrow x=3^2=9\) Vậy tập nghiệm của phương trình là {9}

VD4: Giải phương trình \(log_3^2x+(x-12)log_3x+11-x=0\)

Giải

ĐK: \(0<x\neq 1\) Đặt \(t=log_3x\), ta có \(t^2+(x-12)t+11-x=0\) Cách 1: Phương trình có dạng a + b + c = 0 nên \(\Bigg \lbrack\begin{matrix} t=1\\ \\ t=11-x \end{matrix}\) Với t = 1, ta có \(log_3x = 1\Leftrightarrow x=3\) Với t = 11 - x, ta có \(log_3x = 11-x\) \(\Leftrightarrow log_3x +x= 11\) x = 9 là 1 nghiệm x > 9 \(\left.\begin{matrix} log_3x>2\\ x>9 \end{matrix}\right\}BT>11\)

\(\begin{matrix} 0<x<9\\ x\neq 1 \end{matrix} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left.\begin{matrix} log_3x<2\\ x<9 \end{matrix}\right\}VT<11\) Vậy tập nghiệm phương trình là {9} Cách 2: \(t^2+(x-12)t+11-x=0\) \(\Leftrightarrow t^2-1+(x-12)t+12-x=0\) \(\Leftrightarrow (t-1)(t+1)+(x-12)(t-1)=0\) \(\Leftrightarrow (t-1)(t+x-11)=0\) \(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} t=1\\ t+x=11 \end{matrix}\) VD5: Giải phương trình \(log_3^2x+\sqrt{log_3^2x +1}-5=0\) Giải

ĐK: 0 < x Đặt \(t=\sqrt{log_3^2x+1}, t\geq 1\) Ta có \(t^2-1+t-5=0\) \(\Leftrightarrow t^2+t-6=0\) \(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} t=2\\ t=-3 \ (loai) \end{matrix}\) Với t = 2 \(\Leftrightarrow \sqrt{log^2_3x+1}=2\) \(\Leftrightarrow log^2_3x+1=4\) \(\Leftrightarrow log^2_3x=3\) \(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} log_3x=\sqrt{3}\\ log_3x=-\sqrt{3} \end{matrix}\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=3^{\sqrt{3}}\\ x=3^{-\sqrt{3}} \end{matrix}\) Vậy tập nghiệm \(\left \{ 3^{\sqrt{3}};3^{-\sqrt{3}} \right \}\)

VD6: Giải phương trình \(log_2^2(x+2)-3log_2(x+2).log_4x+2log_4^2x=0\) Giải

ĐK: \(\left\{\begin{matrix} x>0\\ x+2>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x>0\) Đặt \(a=log_2(x+2), b=log_4x\), ta có \(a^2-3ab+2b^2=0\) \(\Leftrightarrow a^2-ab-2ab+2b^2=0\) \(\Leftrightarrow (a-b)(a-2b)=0\) \(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} a=b\\ a=2b \end{matrix}\) TH1: a = b \(\Leftrightarrow log_2(x+2)=log_4x\Leftrightarrow 2log_2(x+2)=log_2x\) \(\Rightarrow log_2(x+2)^2=log_2x\Rightarrow (x+2)^2=x\Leftrightarrow x^2+3x+4=0 \ (VN)\) TH2: a = 2b \(\Leftrightarrow log_2(x+2)=2log_4x\Leftrightarrow log_2(x+2)=log_2x\) \(\Leftrightarrow x+2=x\) (vô nghiệm) Vậy tập nghiệm phương trình là {\(\varnothing\)}