Bài Giảng Giải Tích Hàm Nhiều Biến – Chương 1: Đạo Hàm Và Vi Phân

Tải bản đầy đủ (.pdf) (107 trang)

1. Trang chủ
>>
2. Giáo án - Bài giảng
>>
3. Toán học

Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến – Chương 1: Đạo hàm và vi phân

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.81 MB, 107 trang )

GIẢI TÍCH HÀM NHIỀU BIẾN•••••CHƯƠNG I: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂNCHƯƠNG II : TÍCH PHÂN BỘICHƯƠNG III: TÍCH PHÂN ĐƯỜNGCHƯƠNG IV: TÍCH PHÂN MẶTCHƯƠNG V: CHUỖI SỐ - CHUỖI LŨYTHỪACuuDuongThanCong.com />CHƯƠNG I: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN•••••••§1: Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục§2: Đạo hàm riêng§3: Khả vi và Vi phân§4: Đạo hàm riêng và vi phân hàm hợp§5: Đạo hàm riêng và vi phân hàm ẩn§6: Công thức Taylor – Maclaurint§7: Cực trị hàm nhiều biến : Cực trị tự do, cực trịcó điều kiện, GTLN-GTNN trong miền đóngCuuDuongThanCong.com />§1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tụcĐịnh nghĩa hàm 2 biến : Cho D là tập con của R2Hàm 2 biến f(x,y) là ánh xạ f : D → R( x, y ) f ( x, y ) zMiền xác định của hàm là tất cả các giá trị của (x,y)làm biểu thức của hàm có nghĩaMiền giá trị của hàm là tập các giá trị mà hàm có thểnhận đượcCuuDuongThanCong.com />§1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tụcVí dụ : Tìm MXĐ, MGT của hàm f ( x, y )9x2( x, y ) R 2 : x 2y29MXĐ là hình tròn DMGT là đoạn [0,3]MXĐy23f(x,y)303(x,y)MGTCuuDuongThanCong.com />§1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tụcVí dụ: Cho hàm f ( x, y )xy 1x 1Tính f(2,1) và tìm MXĐ của fGiải :a. f(2,1) = 2b. MXĐ :Ta lấy nửa mặtphẳng phía trênđường thẳng x+y+1= 0 và bỏ đi toàn bộđường x = 1CuuDuongThanCong.com />§1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tụcCho f(x, y) là hàm 2 biến với MXĐ là D. Đồ thị của f làtập tất cả các điểm M(x, y, z)R3, với (x, y)D, z = f(x,y) Đồ thị hàm z = f(x, y) là phần mặt S, khác với đồthị hàm 1 biến y = f(x) là phần đường cong.CuuDuongThanCong.com />§1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tụcHình tròn mở tâm M0(x0,y0), bán kính r – kí hiệuB(M0,r) là tậpB(M0 , r )( x, y )M22R : d (M , M 0 )R : (x2x0 )(yr2y0 )rHình tròn mở này còn được gọi là một r - lân cậncủa điểm MCuuDuongThanCong.com />§1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tụcCho tập D và 1 điểm M thuộc R2. Ta định nghĩa 3loại điểm như sau :Điểm trong : M gọi là điểm trong của D nếu tồn tạiít nhất r>0 sao cho r- lân cận của M là B(M,r) nằmhoàn toàn trong D.Điểm biên : M gọi là điểm biên của D nếu với mọir>0, hình cầu mở B(M,r) chứa những điểm thuộc Dvà những điểm không thuộc D.Điểm tụ : Điểm M gọi là điểm tụ của D nếu vớimọi r>0, hình cầu mở B(M,r) đều chứa ít nhất 1điểm N thuộc D, khác MCuuDuongThanCong.com />§1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tụcĐịnh lý : Điểm M là điểm tụ của tập D khi và chỉ khitồn tại dãy điểm Mn (Mn≠M) tiến về M, tức là khi n→∞thìd(Mn,M) →0• Chú ý :1. Như vậy điểm trong của D chắc chắn thuộc A, cònđiểm biên của D thì có thể không thuộc D.2. Điểm biên chắc chắn là điểm tụ, nhưng điểm tụ thìcó thể không là điểm biênCuuDuongThanCong.com />§1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tụcTập D được gọi là tập đóng nếu D chứa mọi điểm biêncủa nó. Tập các điểm biên của D gọi là biên của DTập D được gọi là tập mở nếu R2\D là tập đóng, khi đó,mọi điểm thuộc D đều là điểm trong, D không chứa bấtkỳ điểm biên nàoTập D được gọi là tập bị chặn nếu nó được chứa trongmột hình cầu nào đó, tức là r : D B(O, r )Như vậy, có những tập chỉ chứa 1 phần biên màkhông chứa toàn bộ biên nên sẽ là tập không mở,không đóng.CuuDuongThanCong.com />§1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tụcVí dụ : Cho D là phần hình cầuD( x, y , z ) R 3 : x 2y2z24Biên của D là toàn bộ mặt cầu x2 + y2 + z2 = 4, do đóD không chứa bất kỳ điểm biên nào tức là mọi điểmthuộc D đều là điểm trong. Vậy D là tập mởVí dụ : Cho hình vành khănD( x, y ) R 2 : 1 x 2 y 24Biên của D là 2 đường tròn x2 + y2=1 và x2+y2 = 4nằm hoàn toàn trong D nên D là tập đóngCuuDuongThanCong.com />§1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tụcVí dụ : Trong R2 cho miền DD( x, y ) R 2 : x yBiên của D là 3 đoạn OA,OB, AB. Miền D khôngchứa đoạn AB tức là Dkhông chứa mọi điểm biênnên D không là tập đóng.3, x0, y0B BOATuy nhiên, D không là tập mở vì D chứa các điểmbiên thuộc đoạn OA, OBTập D là tập bị chặn vì ta có thể lấy đường tròn ngoạitiếp D chứa D (đường tròn tâm I là trung điểm AB, bánkính r = 1/2AB) tức là D nằm hoàn toàn trong 1 hìnhcầu mởCuuDuongThanCong.com />§1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tụcĐịnh nghĩa giới hạn hàm 2 biến : Cho hàm f(x,y) cómiền xác định là D và M0(x0,y0) là 1 điểm tụ của D. Sốa được gọi là giới hạn của hàm f khi x→x0, y→y0 (hayM →M0) nếu0,(x0 : ( x, y )x0 )2Khi ấy, ta viết( x0 , y 0 ),( x, y )D,y 0 )2f ( x, y ) alim f (M )a hay lim f ( x, y )(yMM0xx0yy0aLưu ý: Định nghĩa trên tương tự như giới hạn củahàm f(x), khi M dần đến M0 (không trùng M0), nếu f(M)dần về a thì ta cũng nói giới hạn của f(M) bằng aCuuDuongThanCong.com />§1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tụcMột cách đơn giản hơn, ta định nghĩa giới hạn hàmcho riêng hàm 2 biến x, y theo đường cong như sauKhi điểm M dần đến M0 theo mọi đường cong L,mà hàm f(M) luôn dần về 1 giá trị a thì ta cũng cólim f (M )MM0a hay lim f ( x, y )xx0yy0aNhư vậy: Nếu M dần đến M0 theo 2 đường congL1,L2 khác nhau và f(M) dần đến 2 giá trị a1≠a2 thìtanói không tồn tại giới hạn của hàm f(M) khi M→M0CuuDuongThanCong.com />§1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tụcChú ý : Cách tìm giới hạn hàm 2 biến: Đưa về giớihạn hàm 1 biến hoặc dùng định lý kẹpVí dụ : Tínhxy 2lim( x ,y ) (0,0) x 2y2Giải :Ta dùng định lý kẹp như khitính giới hạn hàm 1 biến:0xy 2x2 y 2Suy ra giới hạn cần tìmbằng 0CuuDuongThanCong.com />02y§1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tụcsin( xy )limVí dụ : Tính3( x ,y ) (0,0) 11 xyGiải:Đặt t = xy →0 thìsin( xy )sin tlimlim3( x ,y ) (0,0) 11 xy t 0 1 3 1 tVí dụ : Tínhlimlimt0t1 t33xyx2 y 2Giải: Ta cho (x,y) →(0,0) theo 2 đường y = x và y = 2x( x ,y ) (0,0)Ta đượclim( x ,y ) (0,0) / yx22x2x1v?2lim( x ,y ) (0,0) / y2x 222x5xVậy giới hạn đã cho là không tồn tạiCuuDuongThanCong.com />25§1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tụcCác tính chất giới hạn của tổng, tích, thươngCho lim f ( x, y )xx0yy0a, lim g ( x, y )xx0yy0bTa có các kết quả sau khi x→x0, y→y01. lim(f(x,y)+g(x,y)=a+b2. lim f(x,y).g(x,y) = a.b3. lim C.f(x,y) = C.af(x,y)4. limg(x,y)CuuDuongThanCong.coma,bb0 />§1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tụcHàm liên tục : Hàm f(x,y) được gọi là liên tục tại (x0,y0)lim f ( x, y ) f ( x0 , y 0 )nếu f (x0,y0) xác định và( x ,y ) ( x0 ,y 0 )Hàm liên tục trên miền D nếu nó liên tục tại mọiđiểm thuộc miền DTổng, tích, thương của 2 hàm liên tục là hàm liên tụcHợp của 2 hàm liên tục là một hàm liên tụcCác hàm sơ cấp liên tục tại mọi điểm thuộc MXĐCuuDuongThanCong.com />§2 : Đạo hàm riêngĐịnh nghĩa đạo hàm riêng: Cho hàm 2 biến f(x,y),đạo hàm theo biến x của hàm f tại điểm (x0,y0) làgiới hạn (nếu có)f x ( x0 , y 0 )f( x0 , y 0 )xlimx0f ( x0x, y 0 ) f ( x0 , y 0 )xTương tự, ta có định nghĩa đạo hàm riêng của hàmf theo biến yQuy tắc: Khi tính đạo hàm riêng của hàm f(x,y)theo biến x, ta coi y là hằng sốCuuDuongThanCong.com />§2 : Đạo hàm riêngVí dụ: Tính đạo hàm riêng của các hàm sau:a. f(x,y)= x 2 y 2cosb. f(x,y)=exyyc. f(x,y,z)=ln(x+e )Giải :a. fxb. fxc. fxcosex2xyCuuDuongThanCong.comy2x 1( s in ) , fyy y1xxyzxeyyz,fyy, fyx2cosexyy2xx( s in )( 2 )yyeyyx exz, fz />xy§2 : Đạo hàm riêngVí dụ : Cho hàm f ( x, y )3x3y Tính f’x, f’y tại (0,0)3Giải :Nếu tính bằng cách thông thường, ta sẽ không tínhđược đhr tại điểm đặc biệt (0,0). Do đó, ta sẽ tínhcác đhr trên bằng định nghĩa3f ( x,0) f (0,0)x3 0fx (0,0) limlim1x 0x 0xxVì vai trò của x, y như nhau trong hàm f nên tacũng có f’y(0,0) = 1CuuDuongThanCong.com />§2 : Đạo hàm riêngVí dụ : Tính các đhr của hàm f(x,y,z) = (y/x)zGiải: Ta tính 3 đhr của hàm 3 biếnĐể tính đhr của f theo x hoặc y, ta viết lạif(x,y,z) = yz.x-zrồi tính đạo hàm bình thườngLấy đhr theo x: yz, z là hằng số nên: f’x = yz.(-z)x-z-1Tương tự: f’y = zyz-1x-zCuối cùng, tính đhr theo z thì ta sẽ để nguyên hàmban đầu vì y/x là hằng số nên : f’z = (y/x)zln(y/z)CuuDuongThanCong.com />§2 : Đạo hàm riêngÝ nghĩa hình học của đạo hàm riêng của hàm f(x,y)tại (a,b):Gọi S là mặt cong z=f(x,y)C1 là giao của S và mặtphẳng y = b thì đạo hàmfx’(a,b) là hệ số góc củatiếp tuyến T1 hay là hệ sốgóc của mặt S theophương Ox tại P(a,b,c)Tương tự, hệ số góc của tiếp tuyến T2 tức là hệ sốgóc của mặt S theo phương Oy là f’y(a,b)CuuDuongThanCong.com />§2 : Đạo hàm riêngĐạo hàm cấp 2 của hàm f(x,y) là đạo hàm của đạohàm cấp 1:2fĐạo hàm cấp f ( x , y )( x0 , y 0 ) fx (fx )( x0 , y 0 )xx0022 theo x:x2fĐạo hàm cấpfyy ( x0 , y 0 )( x0 , y 0 ) fy (fy )( x0, y 0 )22 theo y:y2Đạo hàm cấpffxy ( x0 , y 0 )( x0 , y 0 ) fx (fy )( x0 , y 0 )2 hỗn hợp:y xCuuDuongThanCong.com />§2 : Đạo hàm riêngĐịnh lý Schwartz : Nếu hàm f(x,y) và các đạo hàmriêng f’x, f’y, f”xy, f”yx tồn tại và liên tục trong miền mởchứa (x0,y0) thì f”xy(x0,y0) = f”yx(x0,y0)Ghi chú :1. Đối với các hàm sơ cấp thường gặp, định lýSchwartz đúng tại các điểm tồn tại đạo hàm2. Định lý Schwartz còn đúng cho các đạo hàm riêngtừ cấp 3 trở lên. Tức là các đạo hàm riêng hỗnhợp bằng nhau khi số lần lấy đạo hàm theo mỗibiến bằng nhau, mà không phụ thuộc vào thứ tựlấy đạo hàm theo các biếnCuuDuongThanCong.com />

Tài liệu liên quan

• Bài giảng Quản trị nguồn nhân lực - Chương 5: Đào tạo và phát triển nguồn nhân lực
  • 34
  • 1
  • 1
• Bài giảng Giải tích hàm nâng cao PGS.TS Phạm Hiến Bằng
  • 6
  • 745
  • 7
• Đề cương bài giảng Giải tích hàm nâng cao: Phần 1 - Phạm Hiến Bằng
  • 62
  • 719
  • 0
• Bài tập Giải tích hàm và lời giải chi tiết Phạm Đình Đồng
  • 71
  • 2
  • 47
• BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH HÀM NHIỀU BIẾN SỐ
  • 146
  • 1
  • 4
• Bài giảng GIẢI TÍCH HÀM MỘT BIẾN SỐ
  • 189
  • 2
  • 2
• Bài giảng Giải tích 11 chương 4 bài 2 Giới hạn của hàm số
  • 19
  • 806
  • 0
• Bài giảng Giải tích 11 chương 4 bài 3 Hàm số liên tục
  • 15
  • 401
  • 0
• Bài giảng Giải tích 11 chương 5 bài 1 Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
  • 19
  • 669
  • 2
• Bài giảng Giải tích 11 chương 5 bài 2 Quy tắc tính đạo hàm
  • 16
  • 587
  • 0

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

(1.81 MB - 107 trang) - Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến – Chương 1: Đạo hàm và vi phân Tải bản đầy đủ ngay ×