Bài Giảng Môn Toán Lớp 6 - Một Số Phương Pháp Tìm X,y Nguyên

Có thể bạn quan tâm

Trang chủ
Đăng ký
Đăng nhập
Liên hệ

Đề Thi Mẫu

Tổng hợp đề thi mẫu tham khảo cho học sinh, sinh viên.

Bài giảng môn toán lớp 6 - Một số phương pháp tìm x,y nguyên doc

6 trang | Chia sẻ: bobo00 | Lượt xem: 28017 | Lượt tải: 5

Bạn đang xem nội dung tài liệu Bài giảng môn toán lớp 6 - Một số phương pháp tìm x,y nguyên, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trênMột số phương pháp tìm x,y nguyên I/ Phương pháp dùng tính chất chia hết: 1/ Phương pháp phát hiện tính chia hết: Ví dụ 1: 3x + 17y = 159 (1) Giải: Giả sử x, y là các số nguyên thoả mãn (1). Ta thấy 159 và 3x đều chia hết cho 3 nên 17y cũng chia hết cho 3, do đó y chia hết cho 3 ( vì 17 và 3 nguyên tố cùng nhau) Đặt y = 3t ( t là số nguyên). Thay vào (1), ta được: 3x + 17.3t = 159 x + 17t = 53 => x =53 - 17t Do đó ( t ) Đảo lại thay các biểu thức của x và y vào (1) được nghiệm đúng. Vậy (1) có vô số (x; y) nguyên được biểu thị bởi công thức: ( t ) 2/ Phương pháp đưa về phương trình ước số: Ví dụ 2: Tìm x,y nguyên thoả mãn : x.y - x - y = 2 Giải: Ta có: x.y - x - y = 2 x.( y -1) - y = 2 x. (y - 1) - (y - 1) = 3 (x -1). (y - 1) = 3 Do x, y là các số nguyên nên x - 1, y - 1 cũng là các số nguyên và là ước của 3. Suy ra các trường hợp sau: ; ; ; Giải các hệ này ta có các cặp : (4; 2), (2; 4), (0; -2), (-2; 0) 3/ Phương pháp tách ra giá trị nguyên: Ví dụ 3: Tìm x,y nguyên ở ví dụ 2 bằng cách khác Giải: Ta có: x.y - x - y = 2 x.(y-1) = y+2 Ta thấy y ( vì nếu y=1 thì x.0 = 3 (không có giá trị x,y nào thoả mãn ) Do đó x = Do x nguyên nên nguyên. => y-1 là ước của 3 => y-1=3; y-1=-3; y-1=1; y-1=-1 Ta cũng có đáp số như ở ví dụ 2 II/ Phương pháp xét số dư từng vế: Ví dụ 4: Chứng minh rằng không có x,y nguyên nào thoả mãn các biểu thức sau: a/ x2- y2 = 1998 b/ x2+ y2 = 1999 Giải: a/ Ta thấy x2 ; y2 chia cho 4 chỉ có số dư là: 0 ; 1 nên x2 - y2 chia cho 4 có số dư là : 0 ; 1 ; 3 còn vế phải 1998 chia cho 4 dư 2. Vậy biểu thức không có giá trị nguyên nào thoả mãn. b/ Tương tự ta có x2 + y2 chia cho 4 có số dư là : 0; 1; 2 còn vế phải 1999 chia cho 4 dư 3 Vậy biểu thức không có giá trị nguyên nào thoả mãn Ví dụ 5: Tìm x,y nguyên thoả mãn : 9x + 2 = y2+y (1) Giải: Ta có phương trình (1) ú 9x+2 = y(y+1) Ta thấy vế trái của phương trình là số chia cho 3 dư 2 nên y.(y+1) chia cho 3 cũng dư 2. Chỉ có thể: y = 3k+1; y+1 = 3k+2 ( k) Khi đó: 9x+2 = (3k+1).(3k+2) Thử lại: x= k.(k+1); y = 3k+1 thoả mãn phương trình đã cho. Vậy phương trình (1) có nghiệm tổng quát: III/ Phương pháp dùng bất đẳng thức: 1. Phương pháp sắp thứ tự các ẩn: Ví dụ 6: Tìm 3 số nguyên dương sao cho tổng của chúng bằng tích của chúng Giải: Gọi các số nguyên dương phải tìm là x, y, z. Ta có: x + y + z = x.y.z (1) Do x, y, z có vai trò như nhau ở trong phương trình (1) nên có thể sắp thứ tự các ẩn như sau: Do đó : x.y.z = x + y +z Chia cả hai vế cho số dương z ta được: x.y Do đó: x.y = +Với x.y =1 => x=1, y=1thay vào (1)ta được 2 +z = z loại +Với x.y = 2 =>x=1, y=2 thay vào (1) ta được x = 3 +Với x.y = 3 => x=1, y=3 thay vào (1) ta được z = 2 loại vì trái với sắp xếp y Vậy ba số phải tìm là 1; 2; 3 2. Phương pháp xét từng khoảng giá trị của ẩn: Ví dụ 7: Tìm x,y nguyên thoả mãn : Giải: Do vai trò bình đẳng của x và y. Giả sử , dùng bất đẳng thức để giới hạn khoảng giá trị của số nhỏ y Ta có: (1) Mặt khác do Do đó nên (2) Từ (1) và (2) ta có : . Do y +Với y =4 ta được: + Với y = 5 ta được: loại vì x không là số nguyên + Với y = 6 ta được: Vậy các nghiệm nguyên dương của phương trình là: (4; 12), (12; 4) , (6; 6) 3/ Phương pháp chỉ ra nghiệm nguyên: Ví dụ 8: Tìm số tự nhiên x sao cho 2x+3x=5x Giải: Chia hai vế cho 5x, ta được: (1) +Với x=0 vế trái của (1) bằng 2 (loại) + Với x = 1 thì vế trái của (1) bằng 1 ( đúng) + Với x thì: Nên: ( loại) Vậy x = 1 IV/ Phương pháp dùng tính chất của một số chính phương: 1/Sử dụng tính chất chia hết của một số chính phương: Các tính chất thường dùng: số chính phương không tận cùng bằng 2, 3, 7, 8 Số chính phương chia hết cho số nguyên tố p thì chia hết cho p2 Số chính phương chia cho 3 thì có số dư là 0; 1, chia cho 4 có số dư là 0; 1, chia cho 8 có số dư là 0; 1; 4 Ví dụ 11: Tìm các số nguyên x để 9x+5 là tích của hai số nguyên liên tiếp Giải: Giả sử 9x+5 = n(n+1) với n nguyên thì 36x+20 = 4n2+4n => 36x+21= 4n2+4n+1 => 3(12x+7) = (2n+1)2 (1) Từ (1) => (2n+1)2 , do 3 là số nguyên tố => (2n+1)2 Mặt khác ta có 12x+7 không chia hết cho 3 nên 3(12x+7) không chia hết cho 9 Vậy chứng tỏ không tồn tại số nguyên x để 9x+5 là tích của hai số nguyên liên tiếp. 2/ Tạo ra bình phương đúng: Ví dụ 12: Tìm x,y nguyên thoả mãn : 2x2+4x+2 = 21-3y2 (1) Giải: Phương trình (1) (2) Ta thấy vế trái chia hết cho 2 => 3(7-y2) lẻ Ta lại có 7-y2 0 (vì vế trái 0) nên chỉ có thể y2 = 1. Khi đó phương trình (2) có dạng 2(x2+1) = 18 . Các cặp số (2; 1), (2; -1), (-4; 1), (-4; -1) thoả mãn phương trình (2) nên là nghiệm của phương trình đã cho. 3/ Xét các số chính phương liên tiếp: Hiển nhiên giữa hai số chính phương liên tiếp không có số chính phương. Do đó với mọi số nguyên a, x ta có: Không tồn tại x để a2<x2<(a+1)2 Nếu a2<x2<(a+2)2 thì x2=(a+1)2 Ví dụ 13: Chứng minh rằng với mọi số nguyên k cho trước không tồn tại số nguyên dương x sao cho x(x+1) = k(k+2) Giải: Giả sử x(x+1) = k(k+2) với k nguyên, x nguyên dương. Ta có x2+x = k2+2k => x2+x+1 = k2+2k+1 = (k+1)2 Do x>0 nên x2<x2+x+1 = (k+1)2 (1) Cũng do x>0 nên (k+1)2 = x2+x+1 < x2+2x+1 = (x+1)2 (2) Từ (1) và (2) => x2 < (k+1)2 < (x+1)2 Vô lí. Vậy không tồn tại số nguyên dương x để : x(x+1) = k(k+2) 4/ Sử dụng tính chất " nếu hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau có tích là một số chính phương thì mỗi số đều là số chính phương" Ví dụ 14: Tìm x,y nguyên thoả mãn : xy=z2 (1) Giải: Trước hết ta có thể giả sử (x, y, z) = 1. Thật vậy nếu bộ ba số x0, y0, z0, thoả mãn (1) và có ƯCLN bằng d giả sử x0=dx1; y0=dy1; z0=dz1 có ước chung bằng d thì số còn lại cũng chia hết cho d. Ta có: z2=xy mà (x;y)=1 nên x=a2, y=b2 với a,b nguyên dương => z2=xy=(ab)2 do đó z=ab. Như vậy : với t > 0 Đảo lại ta thấy công thức trên thoả mãn (1). Vậy công thức trên là nghiệm nguyên dương của (1) 5/ Sử dụng tính chất: " nếu hai số nguyên liên tiếp có tích là một số chính phương thì một trong hai số nguyên liên tiếp đó bằng 0 " Ví dụ 15: Tìm x,y nguyên thoả mãn : x2+xy+y2=x2y2 (1) Giải: Thêm xy vào hai vế của phương trình (1), ta được: x2+2xy+y2=x2y2+xy (2) Ta thấy xy và xy+1 là hai số nguyên liên tiếp có tích là một số chính phương nên tồn tại một số bằng 0. Nếu xy = 0 từ (1) => x2+y2=0 nên x=y=0 Nếu xy+1=0 => xy= -1 nên (x; y)=(1;-1) hoặc (x;y)=(-1;1). Thử các cặp số (0;0), (1;-1), (-1;1) đều là nghiệm của phương trình (1) V/ Phương pháp lùi vô hạn ( nguyên tắc cực hạn): Ví dụ 16: Tìm x,y nguyên thoả mãn : x3+2y3=4z3 (1) Giải: Từ (1) ta thấy x, đặt x=2x1 với x1 nguyên. hay vào (1) rồi chia hai vế cho 2 ta được 4x31+y3=2z3 (2). Từ (2) ta thấy , đặt y=2y1 với y1 nguyên thay vào (2) rồi chia hai vế cho 2 ta được: 2x31+4y31=z3 (3) Từ (3) ta thấy z đặt z = 2z1 với z1 nguyên. Thây vào (3) rồi chia hai vế cho 2, ta được: x13+2y13= 4z13 (4) Như vậy nếu (x; y; z) là nghiệm của (1) thì (x1; y1; z1 ) cũng là nghiệm của (1). Trong đó x = 2x1; y = 2y1; z = 2z1. Lập luận tương tự như vậy ta đi đến x, y, z chia hết cho 2k với k. Điều này chỉ xảy ra khi x = y = z = 0 Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất : x = y = z = 0 C. Bài tập: Bài 1: Tìm x,y nguyên > 0 thoả mãn : a. 5x-y = 13 b .23x+53y= 109 c. 12x-5y = 21 d. 12x+17y = 41 Bài 2: Tìm x,y nguyên > 0 thoả mãn : a/ 1+y+y2+y3 = t3 b/ 1+y+y2+y3+y4 = t4 Bài 3: Tìm x,y nguyên > 0 thoả mãn : a/ 5(x+y)+2 = 3xy b/ 2(x+y) = 5xy c/ 3x+7 = y(x-3) Bài 4: Tìm x,y nguyên > 0 thoả mãn : 5(x+y+z+t)+10 = 2xyzt Bài 5: Tìm 12 số nguyên dương sao cho tổng của chúng bằng tích của chúng Bài 6: Chứng minh rằng, với n là số tự nhiên khác 0.ít nhất cũng có một giá trị trong tập hợp số tự nhiên khác 0 sao cho: x1+x2+x3+..+xn= x1x2x3.xn Bài 7: Tìm x,y nguyên >0 thoả mãn : Bài 8: Tìm x,y nguyên >0 thoả mãn : a/ 4(x+y+z) = xyz b/ x+y+z+9-xyz = 0 Bài 10: Chứng minh phương trình 2x2-5y2=7 không có nghiệm nguyên Bài 11: Tìm x,y nguyên >0 thoả mãn : Bài 12: Tìm x,y nguyên >0 thoả mãn :

File đính kèm:

toan 6(8).doc

Đề thi liên quan

Đề kiểm tra học kì 2 - Năm học 2008 - 2009 môn: toán - lớp 6 - thời gian: 90 phút
15 trang | Lượt xem: 1701 | Lượt tải: 0
Bài giảng môn toán lớp 6 - Đề cương ôn tập lớp 6
8 trang | Lượt xem: 1201 | Lượt tải: 0
Bài giảng môn toán lớp 6 - Bài kiểm tra chương 2 môn : toán -Lớp 6 ( 45 phút)
2 trang | Lượt xem: 813 | Lượt tải: 0
Đề thi violympic toán 6 Bài thi số 1 vòng 12
2 trang | Lượt xem: 822 | Lượt tải: 0
Đề tham khảo kiểm tra 1 tiết số học 6 – chương III năm học : 2012 - 2013
1 trang | Lượt xem: 1050 | Lượt tải: 1
Đề ôn thi toán lớp 6 học kì II
12 trang | Lượt xem: 975 | Lượt tải: 0
Đề thi kiểm tra học kì II ( 2007 – 2008 ) môn : toán lớp 6 thời gian : 90 phút
2 trang | Lượt xem: 989 | Lượt tải: 0
Đề kiểm tra định kỳ môn số học 6-Tiết 68 - năm học 2012-2013 thời gian 45 phút
3 trang | Lượt xem: 1464 | Lượt tải: 1
Đề kiểm tra Toán 6 (Số Học) Thời gian làm bài 45 phút
4 trang | Lượt xem: 1039 | Lượt tải: 0
Đề kiểm tra học kỳ II. 2008-2009 môn: toán - khối 6
2 trang | Lượt xem: 777 | Lượt tải: 1