Bài Giảng Toán 11 - 2.2b NHỊ THỨC NIU TƠN Phần ml

11. Tính tổng

LỜI GIẢI

Từ công thức ta có:

(1)

Áp dụng công thức (1) , có:

Với .

Với .

Với .

Với .

Từ đó suy ra:

.

1. Tính tổng , nÎN* (THTT-12-2008-Tr 14)

LỜI GIẢI

Theo công thức

Ta có

Nên

2. Tính

LỜI GIẢI

Sử dụng công thức

Như vậy

3. Tính

LỜI GIẢI

Ta có :

Suy ra:

TÌM HỆ SỐ CỦA MỘT SỐ HẠNG

Tìm hệ số của số hạng thứ k trong các khai triển sau:

1). Tìm số hạng thứ 9 trong khai triển

2). Tìm hệ số của trong khai triển .

3). Tìm hệ số của trong khai triển .

4). Tìm hệ số của trong khai triển .

5). Tìm hệ số của trong khai triển .

6). Tìm hệ số của trong khai triển .

LỜI GIẢI

1). Tìm số hạng thứ 9 trong khai triển

Ta có số hạng tổng quát . Để có số hạng thứ 9 thì . Vậy số hạng thứ 9 trong khai triển là .

2). Tìm hệ số của trong khai triển .

Ta có . Để có hệ số của thì . Kết luận .

3). Tìm hệ số của trong khai triển .

Ta có . Để có hệ số của thì . Kết luận .

4). Tìm hệ số của trong khai triển .

Ta có . Để có hệ số của thì . Kết luận .

5). Tìm hệ số của trong khai triển .

Ta có . Để có hệ số của thì (đúng). Kết luận hệ số của là .

6). Tìm hệ số của trong khai triển .

Ta có . Để có hệ số của thì (đúng). Kết luận hệ số của là .

16). Tìm số hạng là số nguyên trong khai triển:

a). b). c).

LỜI GIẢI

a). . Để có số hạng chứa số nguyên thì là số nguyên, có nghĩa .

Vậy số hạng nguyên là .

b). . Để có số hạng chứa số nguyên thì .

Vậy số hạng nguyên là .

c).

18)

a) Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển nhị thức ;

b) Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển nhị thức

c) Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển nhị thức

d) Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển nhị thức

e) Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển nhị thức

LỜI GIẢI

a) Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển nhị thức ;

Ta có

. Để có hệ số của thì . Kết luận hệ số của là .

b) Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển nhị thức

Ta có

. Để có hệ số của thì . Kết luận hệ số của là .

c) Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển nhị thức

Ta có

. Để có hệ số của thì . Kết luận hệ số của là .

d) Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển nhị thức

Ta có . Để có hệ số của thì . Kết luận hệ số của là .

e) Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển nhị thức

Ta có . Để có hệ số của thì . Kết luận hệ số của là .

4. Cho Tính

LỜI GIẢI

Hệ số của trong lần lượt là

Suy ra

5. Đặt 1). Tính ;2). Tính ;3). Tính

LỜI GIẢI

1). Ta có :

Theo công thức khai triển nhị thức Newton , ta có:

(1)

Để có số hạng chứa thì

Vậy .

2). Ta có .

Vậy .

3). Ta có .

Vậy .

Nhận xét : Ta hay sử dụng kết quả sau :

Với đa thức :

Khi đó

1. Tìm hệ số của x8 trong khai triển nhị thức Niu tơn , biết tổng các hệ số của khai triển trên bằng 4096 (với n là số nguyên dương và x > 0).

LỜI GIẢI

Đặt .

Chọn x = 1 thay vào f(x) ta được tổng hệ số của khai triển.

Ta có Theo đề bài ta có

3. (ĐH Thuỷ lợi II 2000) Cho đa thức P(x) = (1 + x)9 + (1 + x)10 + (1 + x)11 +… + (1 + x)14 có dạng khai triển là: P(x) = a0 + a1x + a2x2 +… + a14x14. Hãy tính hệ số a9.

LỜI GIẢI

a9 = 1 + = 1 +

= 1 + 10 + = 3003

4. Tìm hệ số của x5 trong khai triển của biểu thức:

LỜI GIẢI

Công thức khai triển của biểu thức là:

Để số hạng chứa x5 thì

Kết luậnhệ số của x5 là .

5. Khai triển và rút gọn biểu thức thu được đa thức . Tính hệ số biết rằng là số nguyên dương thoả mãn .

LỜI GIẢI

Ta có

(nhận).

Suy ra hệ số của a8 nằm trong biểu thức

Đó là

Tìm a để trong khai triển hệ số của hạng chứa bằng 405.

LỜI GIẢI

Có

. Để có số hạng chứa thì

Vậy hệ số của số hạng chứa là

.

Tìm hạng số thứ 4 trong khai triển theo lũy thừa tăng dần của x.

LỜI GIẢI

Có (1)

Với k = 0 thay vào (1) được số hạng thứ nhất, tiếp theo thay k = 1 được số hạng thứ 2, thay k = 2 được sốhạng thứ 3. Vậy khi thay k = 3 được số hạng thứ 4 là .

Tìm hệ số của trong khai triển:

LỜI GIẢI

Ta có

Để cố hệ số của thì (thỏa).

Kết luận hệ số của là .

Bài 3: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức , biết rằng n là số tự nhiên thỏa phương trình: .

LỜI GIẢI

Ta có (nhận).

Ta có

Để có số hạng không chứa x thì .

Vậy hệ số của số hạng không chứa x là

7. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển . Biết rằng số nguyên dương n thỏa mãn

LỜI GIẢI

Khi đó

Để có số hạng không chứa x thì .

Hệ số của số hạng không chứa x phải tìm .

8. Cho n là số nguyên dương thỏa mãn : . Tìm hệ số của số hạng chứa x11 trong khai triển nhị thức NiuTon của biểu thức .

LỜI GIẢI

Điều kiện

Ta có

Khi đó

Số hạng tổng quát của khai triển là

Để có số hạng chứa x11 thì

Kết luận hệ số của số hạng chứa x11 trong khai triển là

9. Cho n là số nguyên dương thỏa mãn . Hãy tìm số hạng chứa x14 trong khai triển nhị thức Niu tơn .

LỜI GIẢI

Với n là số nguyên dương ta có:

.

Theo giả thuyết ta có .

Ngoài ta ta có

Vậy

Theo yêu cầu bài toán

Kết luận hệ số của số hạng chứa x14 là .

10. Cho khai triển Niutơn . Tính hệ số của a9 biết n thỏa mãn hệ thức : .

LỜI GIẢI

Điều kiện

Ta có

Do đó hệ số của .

11. Tìm hệ số của x5 trong khai triển , biết rằng

LỜI GIẢI

Điều kiện

Ta có

Với n = 5 ta có

.

Để có số hạng chứa x5 thì

Suy ra hệ số của số hạng chứa x5 :

12. Tìm hệ số của x8 trong khai triển .

LỜI GIẢI

Từ đó suy ra hệ số của x8 trong khai triển là .

13. Tìm hệ số của số hạng chứa x4 trong khai triển , biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn .

LỜI GIẢI

Ta có

Ta có .

Để có chứa x4 thì . Vậy hệ số của x4 là .

14. Tìm hệ số chứa x4 trong khai triển , biết:

LỜI GIẢI

Điều kiện .

.

Với thì

Ngoài ra ta có:

Vậy

Theo yêu cầu bài toán

Kết luận hệ số của số hạng chứa x4 là:

.

15. Cho khai triển . Tìm

LỜI GIẢI

Ta có:

Số hạng tổng quát của khai triển là hệ số của x6 trong khai triển này là .

Số hạng tổng quát của khai triển là hệ số của x6 trong khai triển này là .

Số hạng tổng quát của khai triển là hệ số của x6 trong khai triển này là .

Kết luận .

16. Tìm hệ số của số hạng chứa x6 trong khai triển thành đa thức.

LỜI GIẢI

Ta có .

Vậy

Có , để có hệ số của thì , nên:

Trong khai triển hệ số của là .

Trong khai triển hệ số của là .

Trong khai triển hệ số của là .

Vậy hệ số

18. Cho . Xác định số hạng không phụ thuộc vào x khi khai triển biếtn là số nguyên dương thỏa mãn .

LỜI GIẢI

Ta có

Để có số hạng không phụ thuộc vào x thì:

Suy ra có hai số hạng không phụ thuộc vào x là và .

Kết luận hệ số của số hạng không chứa x là .

19. Tìm hệ số của x7 trong khai triển biểu thức thành đa thức , biết rằng : .

LỜI GIẢI

Ta có .

Chọn .

Chọn .

Lấy ta được:

.

Ta có : .

Từ đó suy ra hệ số của x7 là .

21. Đặt . Tính hệ số cố a7.

LỜI GIẢI

Từ giả thuyết ta có .

Từ đó suy ra

Vậy .

22. Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển biểu thức . Biết số nguyên dương n thỏa mãn: .

LỜI GIẢI

Ta có:

Ta có .

Để có hệ số của số hạng chứa x8 thì .

Vậy hệ số của x8 trong khai triển là: .

23. Cho khai triển (n nguyên dương). Biết rằng: . Hãy tính a4.

LỜI GIẢI.

Với x = 1 thay vào (1) ta được:

.

Do đó trong khai triển:

Để có hệ số của x4 thì

Vậy .

24. Cho số tự nhiên n thỏa mãn . Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của biểu thức .

LỜI GIẢI

.Điều hiện .

.

So với điều kiện nhận n = 8.

Từ đó

.

Để có số hạng chứa x8 thì

Vậy hệ số của x8 trong khai triển f(x) là: .

37. (ĐH khối A 2004) Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của[1 + x2(1 – x)]8.

LỜI GIẢI

Ta có

.

Số hạng chứa x8 ứng với giá trị k, m thỏa mãn:

Vậy hệ số của x8 trong khai triển là:

36. (ĐH khối A 2003) Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức Newton của , biết rằng: (n nguyên dương, x > 0).

LỜI GIẢI

Ta có: Û

Û = 7(n + 3 Û n + 2 = 7.2! = 14 Û n = 12.

Số hạng tổng quát của khai triển là:

Số hạng chứa x8 trong khai triển, ứng với giá trị k thỏa: = 8 Û k = 4.

Do đó hệ số của số hạng chứa x8 là = 495.

38. (ĐH khối D 2004)Tìm các số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton của: với x > 0

LỜI GIẢI

Ta có:

Số hạng không chứa x là số hạng tương ứng với k (k Î Z, 0 ≤ k ≤ 7) thoả mãn: .

Vậy số hạng không chứa x cần tìm là = 35.

39. (ĐH khối A 2005 dự bị 2): Tìm hệ số của x7 trong khai triển đa thức (2 – 3x)2n, trong đó n là số nguyên dương thoả mãn: .

LỜI GIẢI

Ta có:

Chọn x = 1 thay vào (*) được:

22n+1 = (1)

Cho x = –1 thay vào (*) được:

0 = (2)

Lấy (1) – (2):

Theo đề bài ta có:

Ta có: (2 – 3x)10 =

Số hạng chứa x7 ứng với giá trị k thỏa: k = 7.

Suy ra hệ số của x7 là

40. Tìm hệ số của số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Niu tơn của , biết rằng

LỜI GIẢI

· Từ giả thiết suy ra: (1)

Vì , "k, 0 ≤ k ≤ 2n + 1 nên:

(2)

Từ khai triển nhị thức Newton của (1 + 1)2n+1 suy ra:

(3)

Từ (1), (2), (3) suy ra: 22n = 220 Û n = 10.

· Ta có:

Số hạng chứa x26 ứng với giá trị k thỏa mãn

Vậy hệ số của x26 là = 210.

42. (CĐ Sư phạm TPHCM khối BT 2006)Khai triển biểu thức (1 – 2x)n ta được đa thức có dạng:a0 + a1x + a2x2 + … + anxn. Tìm hệ số của x5, biết a0 + a1 + a2 = 71.

LỜI GIẢI

Số hạng thứ k + 1 trong khai triển (1 – 2x)n là: Tk+1 =

Từ đó ta có: a0 + a1 + a2 = 71 Û

Û Û Û n = 7

Với n = 7, ta có hệ số của x5 trong khai triển (1 – 2x)n là:

a5 = = – 672.

43. (CĐ Điện lực TPHCM 2006): Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức , biết rằng: (n là số tự nhiên lớn hơn 2, x là số thực khác 0).

LỜI GIẢI

Ta có:

So với điều kiện nhận n = 10.

Số hạng tổng quát của khai triển nhị thức là:

Số hạng không chứa x ứng với giá trị k thỏa mãnÛ 20 – 5k = 0 Û k = 4

Vậy số hạng không chứa x là:

44. (CĐ Kinh tế đối ngoại khối AD 2006):Cho A = . Sau khi khai triển và rút gọn thì biểu thức A sẽ gồm bao nhiêu số hạng?

LỜI GIẢI

Khai triển biểu thức

=

Xét trường hợp 2 biểu thức có số hạng chứa x mũ giống nhau:

20 – 3k = 30 – 4n Û 10 – n = 3(n – k)

Þ có 3 số hạng trong hai khai triển trên có luỹ thừa của x giống nhau.

Vậy sau khi khai triển và rút gọn thì biểu thức A sẽ gồm:21 + 11 – 3 = 29 số hạng.

49. Tìm hệ số của x7 trong khai triển nhị thức Niu tơn của , biết n là số nguyên dương thỏa mãn .

LỜI GIẢI

Ta có . Điều kiện

50. Tìm hệ số chứa x7 trong khai triển biết

LỜI GIẢI

. Điều kiện .

Ta có

Để có hệ số chứa x7 ta phải có:

Kết luận hệ số của x7:

51. Cho n là số nguyên dương thỏa mãn . Tìm số hạng mà tích số mũ của x và y bằng 18 trong khai triển nhị thức Niu tơn .

LỜI GIẢI

. Điều kiện

.

Ta có

Để tích của hai số mũ của x và y bằng 18, theo đề bài có

Số hạng cần tìm là:

52. Tìm số hạng không phụ thuộc vào x trong khai triển nhị thức Niu tơn của . Biết n số nguyên dương thỏa .

LỜI GIẢI

Ta có

Nên ta có:

Vậy

Theo đề bài ta có

NHỊ THỨC NIU TƠN TÌM HỆ SỐ ak max

1. (HV Kỹ thuật quân sự 2000)Khai triển đa thức: P(x) = (1 + 2x)12thành dạng: a0 + a1x + a2x2 + … + a12x12.Tìm max(a1, a2, …, a12).

LỜI GIẢI

P(x) = (1 + 2x)12 = a0 + a1x + a2x2 + … + a12x12

Ta có số hạng tổng quát: .

Hệ số của số hạng tổng quát

Giả sử . Từ đó ta có:

(vì )

Kết luận hệ số lớn nhất trong khai triển là:

2. (ĐH An Ninh khối A 2001)Tìm các số âm trong dãy số x1, x2, …, xn, … với xn = (n = 1, 2, 3, …)

LỜI GIẢI

Ta phải tìm các số tự nhiên n > 0 thoả mãn:

xn = < 0Û (n + 3).(n + 4) – < 0

Û 4n2 + 28n – 95 < 0Û

Vì n là số nguyên dương nên ta được n = 1, 2

Þ các số hạng âm của dãy là x1, x2.

3. (ĐHSP HN khối A 2001) Trong khai triển của thành đa thức: a0 + a1x + a2x2 + … + a9x9 + a10x10(ak Î R) hãy tìm hệ số ak lớn nhất (0 ≤ k ≤ 10).

LỜI GIẢI

Ta có

Gọi ak là hệ số của xk trong khai triển: ak = ; (với k = 0, 1, 2, …, 15)

Giả sử . Từ đó ta có:

Ta có: ak–1 ≤ ak Û Û

Û k ≤ 2(11 – k) Û k ≤

Vậy hệ số a7 là lớn nhất: a7 = .

8. Tìm các số hạng là số nguyên trong khai triển nhị thức , biết , với n là số tự nhiên.

LỜI GIẢI

Ta có

Ta có

Để có số hạng là số nguyên khi

Vậy có hai số hạng là số nguyên là và .

9. Khai triển đa thức thành dạng: Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số (tức là tìm max )

LỜI GIẢI

Theo khai triển nhị thức Newton , ta có (1)

Từ (1) suy ra ;

Xét bất phương trình ta thấy:

(do

Do vì nên .

Vì lẻ ấy

Vậy ta có .

Vì thế .

10. Xét khai triển . Tìm max .

LỜI GIẢI

Theo công thức khai triển Newton , ta có .

Vậy ; .

Ta có

Từ đó suy ra

Vậy ta có

Do đó giá trị lớn nhất của các hệ số đạt tại hai giá trị .

11. Xét khai triển Tìm n để .

LỜI GIẢI

Theo công thức khai triển nhị thức Newton , ta có:

Như vậy ; .

Theo giả thiết ta có tức là:

Vậy ta phải có

.

Do .

Khai triển thành đa thức : . Tìm hệ số lớn nhất của các hệ số .

LỜI GIẢI

Ta có: =

Hệ số của là . Ta có:

Suy ra hệ số lớn nhất trong các hệ số là