Bài Giảng XÁC SUẤT Và THỐNG KÊ - Chương 5

Trang chủ Tìm kiếm Trang chủ Tìm kiếm Bài giảng XÁC SUẤT và THỐNG KÊ - Chương 5 pdf 19 156 KB 0 81 4.7 ( 9 lượt) Xem tài liệu Nhấn vào bên dưới để tải tài liệu Tải về Đang chuẩn bị: 60 Bắt đầu tải xuống Đang xem trước 10 trên tổng 19 trang, để tải xuống xem đầy đủ hãy nhấn vào bên trên Chủ đề liên quan Toán xác suất toán thống kê Xác suất thống kê Bài giảng toán thông kê Tài liệu toán xác suất

Nội dung

Chương 5 Véctơ ngẫu nhiên 5.1 Khái niệm véctơ ngẫu nhiên • Một bộ có thứ tự n biến ngẫu nhiên (X1 , . . . , Xn ) gọi là một véctơ ngẫu nhiên n chiều. • Véctơ ngẫu nhiên n chiều là liên tục hay rời rạc nếu, các biến ngẫu nhiên thành phần là liên tục hay rời rạc. Ví dụ 5.1. Năng xuất lúa ở một thửa ruộng ở địa phương A là biến ngẫu nhiên X, nếu xét đến lượng phân Y thì ta có véctơ ngẫu nhiên hai chiều (X, Y ), còn nếu xét thêm lượng nước Z thì ta có véctơ ngẫu nhiên 3 chiều (X, Y, Z). Trong giới hạn của chương trình ta chỉ xét véctơ ngẫu nhiên hai chiều, ký hiệu (X, Y ). 5.2 5.2.1 Phân phối xác suất của (X, Y ) (X, Y ) là véctơ ngẫu nhiên rời rạc a) Phân phối xác suất đồng thời: Véctơ ngẫu nhiên rời rạc (X, Y ) được biểu diễn bằng bảng phân phối xác suất đồng thời: H HH Y y1 HH X H x1 f (x1 , y1 ) x2 f (x2 , y1 ) .. .. . . xi f (xi , y1 ) .. .. . . xm f (xm , y1 ) Tổng cột f (•, y1 ) y2 ··· yj ··· yn Tổng dòng f (x1 , y2 ) f (x2 , y2 ) .. . f (xi , y2 ) .. . f (xm , y2 ) f (•, y2 ) ··· ··· f (x1 , yj ) f (x2 , yj ) .. . f (xi , yj ) .. . f (xm , yj ) f (•, yj ) ··· ··· f (x1 , yn ) f (x2 , yn ) .. . f (xi , yn ) .. . f (xm , yn ) f (•, yn ) f (x1 , •) f (x2 , •) .. . f (xi , •) .. . f (xm , •) 1 ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· 5.2 Phân phối xác suất của (X, Y ) 59 Trong đó: • f (xi , yj ) = P (X = xi ; Y = yj ) • n m P P f (xi ; yj ) = 1 i=1 j=1 Ví dụ 5.2. Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận các giá trị 6, 7 và 8. Biến ngẫu nhiên Y nhận các giá trị 1, 2, 3, 4. Phân phối đồng thời của véctơ ngẫu nhiên (X, Y ) cho bởi bảng H HH Y HH X H 1 2 3 6 7 8 0,1 0,1 0,05 0,15 0,2 0,2 0,05 0,1 0,05 x2 f (x3 , •) ··· ··· xm f (xm , •) y2 f (•, y2 ) ··· ··· yn f (•, yn ) Tính: a. P (X = 6; Y = 2) ; P (X = 4; Y = 6) . b. P (X ≥ 7; Y ≥ 2) . Giải. b) Phân phối xác suất thành phần (lề) • Bảng phân phối xác suất của X X P(X = x) x1 f (x1 , •) Trong đó f (xi , •) là tổng dòng i. • Bảng phân phối xác suất của Y Y P(Y = y) y1 f (•, y1 ) Trong đó f (•, yj ) là tổng cột j. Ví dụ 5.3. Cho bảng phân phối xác suất đồng thời như sau: a. Lập bảng phân phối xác suất của X. 5.2 Phân phối xác suất của (X, Y ) 60 H HH Y HH X H 1 2 3 6 7 8 0,1 0,1 0,05 0,15 0,2 0,2 0,05 0,1 0,05 b. Tính P (X > 6) . c. Lập bảng phân phối xác suất của Y. d. Tính P (Y < 3) . Giải. c) Phân phối xác suất có điều kiện • Bảng phân phối xác suất của X với điều kiện Y = yj X P(X = x|Y = yj ) x1 f (x1 , yj ) f (•, yj ) x2 f (x2 , yj ) f (•.yj ) ··· ··· xm f (xm , yj ) f (•, yj ) • Bảng phân phối xác suất của Y với điều kiện X = xi Y P(Y = y|X = xi ) y1 f (xi , y1 ) f (xi , •) y2 f (xi , y2 ) f (xi , •) Ví dụ 5.4. Cho bảng phân phối xác suất đồng thời như sau: HH HH Y HH X 1 2 3 6 7 8 0,1 0,1 0,05 0,15 0,2 0,2 0,05 0,1 0,05 ··· ··· yn f (xi , yn ) f (xi , •) 5.2 Phân phối xác suất của (X, Y ) 61 a. Lập bảng phân phối xác suất của X biết Y = 2. b. Tính xác suất P (X > 6|Y = 2) . c. Lập bảng phân phối xác suất của Y biết X = 6. d. Tính xác suất P (Y > 1|X = 6) . Giải. 5.2.2 (X, Y ) là véctơ ngẫu nhiên liên tục a) Hàm mật độ đồng thời Định nghĩa 5.1 (Hàm mật độ đồng thời). Hàm số f (x, y) ≥ 0, ∀(x, y) ∈ R2 được gọi là hàm mật độ đồng thời của (X, Y ) nếu ZZ P ((X, Y ) ∈ A) = f (x, y)dxdy A Nhận xét: Để kiểm f (x, y) ≥ 0 là hàm mật độ của (X, Y ) ta cần kiểm ZZ
P (X, Y ) ∈ R2 = f (x, y)dxdy = 1 R2 5.2 Phân phối xác suất của (X, Y ) 62 Ví dụ 5.5. Cho hàm số f (x, y) = ( 10x2 y khi 0 < y < x < 1 0 nơi khác a. Chứng tỏa f (x, y) là hàm mật độ (X, Y ). b. Tính P (2Y > X) . Giải. y=x 1 D: ( 0