Bài Tập Chéo Hóa Trực Giao Ma Trận đối Xứng Thực-đại Số Tuyến Tính

Bài tập chéo hóa trực giao ma trận đối xứng thực

Lý thuyết  và hướng dẫn giải bài tập chéo hóa trực giao ma trận đối xứng thực của đâị số tuyến tính. Tìm ma trận nghicchj đâỏ, tìm lũy thừa bậc n của ma trận. 

BÀI VIẾT LIÊN QUAN

Câu trắc nghiệm đúng sai đơn điệu và cực trị của hàm số-Toán 12

Thông báo chia sẻ Toàn bộ drive tài liệu môn Toán 8 và Toán 11 mới 2023-2024

Đáp án trắc nghiệm mô đun 8 THPT -30 câu trắc nghiệm

Đáp án trắc nghiệm mô đun 9 thcs

Tìm ma trận đối xứng thực

Ví  dụ 1:(Đợt 1 năm 2016, đợt 1 năm 2020) Cho ma trận A. a) Tìm các giá trị riêng và vector riêng của A. b) Hãy tìm ma trận khả nghịch P sao cho có dạng tam giác trên. Xác định B. Giải.

a)Đa thức đặc trưng. Tâp các vector riêng là { }. b)Chọn vector riêng . Tiếp tục chọn các vector mà {

Tự đẳng cấu tuyến tính

Ví dụ 2 (Đợt 2 năm 2016))a)Cho là một tự đồng cấu tuyến tính xác định bởi:Tìm giá trị riêng, vector riêng của f và một cơ sở của sao cho ma trận của f có dạng chéo. b)Phép tự đẳng cấu tuyến tính của không gian Euclid E được gọi là phép biến đổi trực giao nếu f bảo toàn tích vô hướng, tức là . Chứng minh nếu f là phép biến đổi trực giao của E và W là một không gian con bất biến của E đối với f thì phần bù trực giao của W trong E cũng bất biến đối với f. 

Giải.

a)Ma trận của f đối với cơ sở chính tắc của Đa thức đặc trưng. Suy ra A có các giá trị riêng là λ = -2 (bội 2) và λ = 4. c không gian riêng. Ta có các véctơ riêng v1, v2, v3 độc lập tuyến tính trong nên A chéo hoá được. Suy ra v1, v2, v3 là sao cho ma trận của f có dạng chéo.

b. Giả sử f là phép biến đổi trực giao của E và W là không gian con bất biến đối với f . Gọi U là phần bù trực giao của W trong E. Ta chứng minh U cũng bất biến đối với f. Thật vậy, theo giả thiết f là phép đẳng cấu tuyến tính và W là bất biến đối với f nên f (W) =W. Suy ra với mọi y W, tồn tại x W sao cho y = f (x).

+ Bây giờ xét z f(U), tồn tại u U sao cho z =f(u). Khi đó zy =f (u) f(x) = ux = 0 (do U là phần bù trực giao của W). Hay z trực giao với y, với mọi yє W. Suy ra z U. Vậy f(U) U. Hay U là bất biến đối với f. Câu 2.10 Cho dạng toàn phương thực sau đây:

Tìm một cơ sở trực chuẩn để đưa H về dạng chính tắc.

Ví dụ 3: (Đợt 1 năm 2017)Ma trận của H là.  A có đa thức đặc trưng là và 2 giá trị riêng là . A có 1 vector riêng ứng với giá trị riênglà .A có 2 vector riêng độc lập tuyến tính ứng với giá trị riêng là .

Cơ sở trực chuẩn

Trực chuẩn hóa hệ ta thu được cơ sở trực chuẩn {Với cơ sở trực chuẩn trên, H có dạng chính tắc làCâu 2.11 Cho dạng toàn phương thực H trên có biểu thức tọa độ: và gọi A là ma trận của H đối với cơ sở chính tắc trong .a)Xác định giá trị riêng và vector riêng của A. b)Hãy tìm một ma trận trực giao (hoặc một cơ sở trực chuẩn của) để đưa H về dạng chính tắc.+ có đa thức đặc trưng. ta thu được cơ sở trực chuẩn của gồm 3 vector. Đây là cơ sở trực chuẩn của làm cho H có dạng chính tắc

Không gian con riêng

Ví dụ 4:(Đợt 1 năm 2018):Cho ma trận. Chứng minh rằng A chéo hóa được và tìm một ma trận không suy biến P sao cho có dạng chéo. Giải. Đa thức đặc trưng. Suy ra A có 2 giá trị riêng và .Các không gian con riêng nên A chéo hóa được.

Ví dụ 5:(Đợt 2 năm 2018) Cho ma trận  Hãy chéo hóa ma trận A.

Giải. Đa thức đặc trưng. Suy ra A có 2 giá trị riêng và .Các không gian con riêng nên A chéo hóa được.là một tự đồng cấu tuyến tính xác đinh bởi. 

Ví dụ 6: Xét tính chéo hóa của tự đồng cấu tuyến tính . ( là trường số phức) (Đợt 1 năm 2019) Giải. Trong cơ sở chính tắc của , f có ma trận biểu diễn là có 3 nghiệm phân biệt trong . Do đó A chéo hóa được, tức f chéo hóa được.

Ví dụ 7:  Cho A và B là hai ma trận vuông cấp n trên cùng một trường K. Chứng minh rằng hai ma trận AB và BA có cùng tập hợp các giá trị riêng. (Đợt 2 năm 2019)

Giải. Giả sử là môt giá trị riêng của AB, khi đó tồn tại mà .Khi đó hay ..Nếu thì hệ thức trên chứng tỏ là một giá trị riêng của BA..Nếu thì từ ta có . Suy ra , do nên .Khi đó hay 0 là một giá trị riêng của BA. Vậy ta đã chứng minh, trong hai trường hợp trên, cũng là một giá trị riêng của BA. Chứng minh tương tự, mọi giá tri riêng của BA cũng là gia trị riêng của AB.

Ví dụ 8: Phép tự đẳng cấu tuyến tính của không gian vector Euclid E được gọi là phép biến đổi trực giao nếu f bảo toàn tích vô hướng, tức là .

P15

Xem flie PDF CHÉO HÓA TRỰC GIAO MA TRẬN ĐÓI XỨNG THỰC

Tags: bài tập đại số tuyến tínhđại số tuyến tính