Vấn đề Chéo Hoá Ma Trận - Huynumnguyen

Trang chủ » Chéo Hóa Ma Trận Trực Giao Là Gì » Vấn đề Chéo Hoá Ma Trận - Huynumnguyen

Có thể bạn quan tâm

Đặt bài toán

Có một bài toán: Cho V là không gian vector hữu hạn, T:V\to V  là một toán tử tuyến tính trên V. Ta đã biết ma trận của T phụ thuộc cơ sở chọn trong V. Ta mong muốn có một cơ sở sao cho ma trận của T có dạng đơn giản như dạng chéo chẳng hạn. Hỏi có hay không một cơ sở trực giao trong V sao cho ma trận của T đối với cơ sở đó là một ma trận chéo?

Bài toán 2: Cũng một giả thiết trên. Hỏi có hay không một cơ sở trực giao trong V sao cho ma trận của T đối với cơ sở đó là một ma trận chéo?

Cách giải

Giả sử A là ma trận của T đối với cơ sở xác định nào đó trong V. Ta xét một phép đổi cơ sở. Theo định lý ma trận của ánh xạ tuyến tính thông qua phép biến đổi cơ sở thì ma trận mới của T sẽ là P^{-1}AP trong đó P là ma trận đổi cơ sở.

Vậy bài toán đầu tiên tương đương với bài toán sau: Hỏi có tồn tại một phép biến đổi cơ sở để ma trận mới của T đối với cơ sở mới là ma trận chéo?

Nếu V là một không gian có tích vô hướng và những cơ sở là trực chuẩn thì theo định lý “Nếu P là ma trận chuyển cơ sở từ một cơ sở trực chuẩn sang một cơ sở trực chuẩn mới thì nó trực giao, tức là P^tP=I trong đó P^t là ma trận chuyển vị, I là ma trận đơn vị, do đó P^{-1}=P^t“, P là trực giao.

Định nghĩa

Cho ma trận vuông A. Nếu tồn tại một ma trận khả đảo P sao cho P^{-1}AP là ma trận chéo thì ta nói ma trận A chéo hoá được hay P chéo hoá cho A. Như vậy A chéo hoá được nếu nó đồng dạng với một ma trận chéo.

Giải bài toán chéo hoá ma trận

Giả sử A là ma trận vuông cấp n (n nguyên dương). Điều kiện cần và đủ để A chéo hoá được là nó có vectơ riêng độc lập tuyến tính.

Chứng minh: Giả sử A chéo hoá được, tức là tồn tại P khả đảo trong đó

P = \begin{bmatrix} p_{11} & p_{12} & \cdots & p_{1n} \\ p_{21} & p_{22} & \cdots & p_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ p_{m1} & p_{m2} & \cdots & p_{mn} \end{bmatrix} ,

sao cho P^{-1}AP=D , với

D = \begin{bmatrix} \lambda_1 & & &\\ & \lambda_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_n \end{bmatrix} .

Ta suy AP = PD.

Gọi p_1,p_2,...,p_n là các vectơ cột của P, ta thấy các cột liên tiếp của AP là Ap_1,Ap_2,...,Ap_2 . Đồng thời

PD = \begin{bmatrix} p_{11} & p_{12} & \cdots & p_{1n} \\ p_{21} & p_{22} & \cdots & p_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ p_{n1} & p_{n2} & \cdots & p_{nn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_1 & & & \\ & \lambda_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \lambda_1p_{11} & \lambda_2p_{12} & \cdots & \lambda_np_1n \\ \lambda_1p_{21} & \lambda_2p_{22} & \cdots & \lambda_np_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \lambda_1p_{1n} & \lambda_2p_{n2} & \cdots & \lambda_2p_{nn} \end{bmatrix}

Vậy phương trình AP = PD cho thấy

Ap_1 = \lambda_1p_1, Ap_2 = \lambda_2p_2,...,Ap_n=\lambda_np_n

Vì P khả đảo nên các vectơ p_i\ne\vec{0} do đó \lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n là các trị riêng của A và p_1,p_2,...,p_n là các vectơ riêng tương ứng.

Cũng do P khả đảo nên định thức của nó khác 0 và các vectơ p_1,p_2,...,p_n độc lập tuyến tính.

Vậy khi A chéo hoá được thì nó có n vectơ riêng độc lập tuyến tính.

Quy trình chéo hoá một ma trận

B1: Tìm n vectơ riêng độc lập tuyến tính của A: p_1,p_2,...,p_n

B2: Lập ma trận P có dãy vectơ trên làm các cột

B3: Ma trận P^{-1}AP sẽ là ma trận chéo với \lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n là các phần tử chéo liên tiếp, trong đó \lambda_i là các trị riêng ứng p_i , i = 1,2,…,n.

Chéo hoá ma trận có n trị riêng khác nhau

Định lý

Nếu ma trận A vuông cấp n có n trị riêng ứng khác nhau thì A chéo hoá được.

Share this:

  • Twitter
  • Facebook
Like Loading...

Related

Từ khóa » Chéo Hóa Ma Trận Trực Giao Là Gì