Bài Tập Hình Học Lớp 10 - Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác

• Trang Chủ
• Đăng ký
• Đăng nhập
• Liên hệ

• Home
• Giáo Án Lớp 10
  • Ngữ Văn 10
  • Toán Học 10
  • Vật Lí 10
  • Hóa Học 10
  • Sinh Học 10
  • Lịch Sử 10
  • Địa Lí 10
  • Tiếng Anh 10
  • Tin Học 10
  • Công Nghệ 10
  • Âm Nhạc 10
  • Mĩ Thuật 10
  • Giáo Dục Thể Chất 10
  • Giáo Dục Công Dân 10
  • HĐTN Hướng Nghiệp 10
  • GD QP-AN 10
  • GDKT & PL 10
  • Hoạt Động NGLL 10
  • Giáo Án Khác
• Bài Giảng Lớp 10
  • Ngữ Văn 10
  • Toán Học 10
  • Vật Lí 10
  • Hóa Học 10
  • Sinh Học 10
  • Lịch Sử 10
  • Địa Lí 10
  • Tiếng Anh 10
  • Tin Học 10
  • Công Nghệ 10
  • Âm Nhạc 10
  • Mĩ Thuật 10
  • Giáo Dục Thể Chất 10
  • Giáo Dục Công Dân 10
  • HĐTN Hướng Nghiệp 10
  • GD QP-AN 10
  • GDKT & PL 10
  • Hoạt Động NGLL 10
  • Giáo Án Khác
• Đề Thi Lớp 10
  • Ngữ Văn 10
  • Toán Học 10
  • Vật Lí 10
  • Hóa Học 10
  • Sinh Học 10
  • Lịch Sử 10
  • Địa Lí 10
  • Tiếng Anh 10
  • Tin Học 10
  • Công Nghệ 10
  • Âm Nhạc 10
  • Mĩ Thuật 10
  • Giáo Dục Thể Chất 10
  • Giáo Dục Công Dân 10
  • HĐTN Hướng Nghiệp 10
  • GD QP-AN 10
  • GDKT & PL 10
  • Hoạt Động NGLL 10
  • Giáo Án Khác
• Sáng Kiến Kinh Nghiệm Lớp 10

Trang Chủ›Giáo Án Lớp 10›Giáo Án Toán Học 10 Bài tập Hình học Lớp 10 - Hệ thức lượng trong tam giác

Vịnh Vân Phong – tỉnh Khánh Hòa nổi tiếng vì có con đường đi bộ xuyên biển nối từ Hòn Quạ

đến đảo Điệp Sơn. Một du khách muốn chèo thuyền kayak từ vị trí trên Hòn Quạ đến vị trí

trên Bè thay vì đi bộ xuyên qua con đường qua vị trí rồi mới đến vị trí . Nếu người đó chèo

thuyền với vận tốc không đổi là km/h thì sẽ mất bao nhiêu thời gian biết km,

km và góc giữa và là ?

27 trang yunqn234 78263 Download Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài tập Hình học Lớp 10 - Hệ thức lượng trong tam giác", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên Hình học lớp 10 | Trang 1 | HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 1/ Hệ thức lượng giác trong tam giác vuông Cho tam giác ABC vuông tại A: , ,AB c BC a AC b ; đường cao AH h Ta có: 2 2 2a b c 2 . 'b a b 2 .c'c a 2 '.c'h b . .a h b c 2 2 2 1 1 1 h b c 2/ Định lý côsin 2 2 2 2 .cosa b c bc A 2 2 2 2 .cosBb a c ac 2 2 2 2 .cosCc a b ab Hệ quả: 2 2 cos 2 b c a A bc 2 2 cosB 2 a c b ac 2 cosC 2 a b c ab 3/ Công thức tính độ dài đường trung tuyến 2 2 2 2 2 4 a b c a m 2 2 2 2 2 4 b a c b m 2 2 2 2 2 4 c a b c m 4/ Định lý sin Trong tam giác ABC, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác; ta có 2 sinA sinB sin a b c R C | 2 5/ Các công thức tính diện tích tam giác 1 1 1 . . . 2 2 2 a b cS a h b h c h 1 1 1 sin sin acs 2 2 2 S ab C bc A inB 4 abc S R (R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác) S pr (r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác) S p p a p b p c (công thức Hê rông) IV. HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN DẠNG 1: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIẢI TAM GIÁC, TÍNH CẠNH, GÓC, CHIỀU CAO, DIỆN TÍCH Lời giải +) Xét ABC , theo công thức tính độ dài đường trung tuyến, ta có: 2 2 2 2 2 4 BA BC AC BM 2 2 22 3 5 13 2 4 AC 4AC +) Chu vi tam giác ABC là 3 4 5 12AB AC BC . Ta có: 12 6 2 2 AB AC BC p . +) Diện tích tam giác ABC là: 6 6 3 6 4 6 5 36 6S p p AB p AC p BC . 13 5 3 M CB A Cho tam giác có , và độ dài đường trung tuyến . Tính độ dài , chu vi và diện tích . Ví dụ 1 Cho tam giác có , , biết: a) , , . Tính cạnh và . b) , . Tính . Ví dụ 2 Hình học lớp 10 | Trang 3 | Lời giải Áp dụng định lí sin a) Ta có 2 sin sin sin a b c R A B C Suy ra sin 4sin 50 4,3 sin sin 45 b A a B   Mặt khác 180 180 50 45 85C A B      sin 4sin85 5,6 sin sin 45 b C c B   b) Ta có 5 5 2sin 2sin 30 c R C  . Lời giải * Ta có: 2 2 2 22 . .cos 7BC AB AC AB AC A a . Suy ra 7BC a . * Diện tích tam giác ABC là: 21 3 . .sin 2 2 a S AB AC A . Lời giải Diện tích: ( 13)( 14)( 15) 84S p p p p . Đường cao cần tìm: 2. 56 15 5 c S h . Lời giải Áp dụng định lý Cô-Sin ta có 2 2 2 . .cos 3 13AC AB BC AB BC B . Lời giải Cho tam giác có , và góc . Tính độ dài cạnh và diện tích của tam giác. Ví dụ 3 Cho tam giác với ba cạnh . Tính đường cao . Ví dụ 4 Cho tam giác có và góc . Tính độ dài đoạn . Ví dụ 5 Cho tam giác có , và diện tích . Tính cạnh Ví dụ 6 | 4 Ta có: 1 . . .sin 2 S AB BC B nên   601 3 3 3 .3.4.sin sin 2 2 120 B B B B   +)  60B  áp dụng định lí côsin ta có: 2 2 2 12 . .cos 9 16 2.3.4. 13 13 2 AC AB BC AB BC B AC . +)  120B  áp dụng định lí côsin ta có: 2 2 2 12 . .cos 9 16 2.3.4. 37 37 2 AC AB BC AB BC B AC . Lời giải a) Tính a Áp dụng định lý cosin vào ABC ta có: 2 2 2 2 2 02 cos 8 5 2.8.5.cos120 129 129. a b c bc A a Tính B Ta có:  2 2 2 03 129cos 37 35 '. 2 43 a c b B B ac Tính C      0 0 0180 180 ( ) 22 25'A B C C A B . b) Tính diện tích tam giác ABC. 01 1sin 8.5.sin120 10 3 2 2 ABCS bc A . Lời giải Áp dụng định lí sin ta có: sinC sin AB AC B sin 5sin 60 5 6 sin sin 45 2 AB B AC C . Cho có . a) Tính . b) Tính diện tích của tam giác ABC. Ví dụ 7 Tam giác có , và . Tính độ dài cạnh . Ví dụ 8 Cho tam giác có , và . Hãy tính cạnh còn lại của tam giác và tính độ dài đường trung tuyến ứng với cạnh AB Ví dụ 9 Hình học lớp 10 | Trang 5 | Lời giải Theo định lí côsin trong tam giác ta có: 2 2 2 2 22 . .cos 3 2 2.3.2 25 3 3 9 53 . BC AB AC AB AC A BC Theo công thức đường trung tuyến ta lại có: 2 2 2 2 2 2 2 23 5 14 2 4 4 4 2 3 1 AB BC AC BM BM Lời giải   30 ; 120B C A   . Áp dụng định lý sin ta có : 5 5 2 sin 2.sin120 3 BC R R A  * Tính diện tích: Cách 1: Áp dụng định lý côsin ta có: 2 2 2 2. . .cosAB AC BC AC BC C . Do ABC cân tại A ta có: 2 2 2 2 3 5 5 2. .5.cos30 5 2. .5. 0 2 3 AC AC AC AC AC  1 1 5 5 25 3 . . .sin . . .sin120 2 2 123 3 ABCS AB AC A  Cách 2: Kẻ AH BC ACH có  5 1 5 3 90 . tan 30 2 63 H AH CH    1 1 5 3 25 3 . . . .5 2 2 6 12 ABCS AH BC . Cho cân tại có . Tính diện tích và bán kính đường tròn ngoại tiếp . Ví dụ 10 | 6 Lời giải *Tính BC Gọi BM CN G G là trọng tâm của tam giác ABC . 2 8 3 GB BM , 2 10 3 GC CN 4GM , 5GN . Áp dụng định lý cos trong tam giác GBC có: 2 2 2 2 . .cos120 244BC GB GC GBGC  2 61BC . * Tính ,AB AC Cách 1: Ta có hệ phương trình: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 4 AB BC AC BM AC BC AB CN 2 2 2 2 2 2 2 2 2 61 12 2 4 2 61 15 2 4 AB AC AC AB 2 2 2 2 2 88 2 412 AB AC AB AC 2 2 196 304 AB AC 14 4 19 AB AC . Cách 2: Ta có: 180 60BGN BGC   , 180 60MGC BGC   . Áp dụng định lý cos, ta được: 2 2 2 2 . .cos 60 49BN GB GN GBGN  7BN 2 14AB BN . 2 2 2 2 . .cos60 76MC GM GC GM GC  2 19MC 2 4 19AC MC . Cho tam giác có hai trung tuyến và hợp với nhau một góc , biết , . Tính độ dài các cạnh của tam giác Ví dụ 11 A M N G B C Hình học lớp 10 | Trang 7 | Lời giải Theo định lý sin trong tam giác ABC ta có: sin sin sin BC AC AB A B C . Mà sin sin sin 1 2 2 A B C nên 1 2 2 BC AC AB 2 20 2 10 3 AC BC AB BC Áp đụng định lý cos trong tam giác ABC ta có: 2 2 2 0400 300 100 3cosA 30 2. . 22.20.10 3 AB AC BC A AB AC 2 2 2 0100 400 300 3cosC 60 2. . 2.20.10 2 BC AC AB C BC AC 090B Lời giải Ta có: 2 2 2 2 cos 36 64 2.6.8.cos60 52 2 13a b c bc A a . Áp đụng định lý cos trong tam giác ABC ta có: 2 2 2 52 64 36 5 13 cos 46 7 ' 2 262.8.2 13 a c b B B ac 2 2 2 52 36 64 13 cos 73 54 ' 2 132.6.2 13 a b c C C ab Lời giải Ta có: 2 2 2 2 2ˆ2 . .cos 196 2 . .cos120 AB BC AC BC AC C BC AC BC AC 2 2196 .BC AC BC AC 1 Ta lại có : 16 16BC AC AC BC thay vào 1 ta được Cho tam giác biết và thỏa . Tính độ dài các cạnh và số đo các góc của tam giác? Ví dụ 12 Cho có . Tính độ dài cạnh và số đo các góc của tam giác . Ví dụ 13 Cho tam giác có cạnh , góc tổng hai cạnh còn lại là 16. Tính độ dài hai cạnh còn lại Ví dụ 14 | 8 22 2 196 16 16 16 60 0 10 6 BC BC BC BC BC BC BC BC +) Với 10 6BC AC +) Với 6 10BC AC Vậy: 10BC và 6AC hoặc 6BC và 10.AC Lời giải Ta có: 2 63 sin 1 cos 8 B B , 2 7 sin 1 cos 4 C C . 9 cos cos( ) sin .sin cos .cos 16 A B C B C B C . Do đó 2 2 2 . .cos 5BC AB AC AB AC A . Vậy 5BC . Lời giải Ta có 21 3 . 2 2 ABC a S AB AC  0 01 1. .sin 45 , . .sin 45 , 2 2 ABM ACMS AB AM S AC AM   6 2 4 ABC ABM ACM AM S S S a a    Vậy 3 2 62 3 22 6 aa AM . Lời giải Cho tam giác có , , , . Tính cạnh . Ví dụ 15 Cho tam giác vuông tại , , . Phân giác trong góc cắt tại . Tính Ví dụ 16 Cho tam giác cân tại nội tiếp đường tròn . Tìm để tam giác có diện tích lớn nhất, với ? Ví dụ 17 Hình học lớp 10 | Trang 9 | Tam giác ABC cân tại A nên AB AC a . Đặt ABC ACB thì 90  . Ta có sin 2 a R nên 2 2 2 2 4 cos 1 4 2 a R a R R Diện tích của tam giác là 3 2 2 2 2 1 4 . . .sin .cos 2 4 a R a S AH BC AH HC AC R . Đặt 2 2 2 3 2 2 2 24 3 3. . . . 4 3 3 3 a a a y a R a R a . Khi đó coi biểu thức trong căn là tích của bốn thừa số mà tổng của chúng không đổi nên y đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi 2 2 24 3 a R a hay 2 23R a hay 3a R Khi đó 3 3 sin 60 2 2 R R  , ta được tam giác ABC đều. Lời giải Ta có AC AB BC    và BD BC CD    . Suy ra 2 2 3 3AC BD AB CD BC BC       . Bình phương vô hướng hai vế ta được: 2 2 2 149 4 4 . .cos120 3 BC AC BD AC BD BC  . Ta có AC AD DC    và BD BA AD    . Suy ra 2 2 3 3AC BD BA DC AD AD       . Bình phương vô hướng hai vế ta được: α H α a O CB A Cho hình thang có , góc tạo bởi hai vectơ và bằng . Tính . Ví dụ 18 | 10 2 2 2 4 79 4 4 . .cos120 3 AD AC BD AC BD AD  . Suy ra 14 4 7 3 AD BC . Lời giải Đặt 2 0AB x x AE EB x . Vì góc BDE nhọn nên cos 0BDE suy ra 2 2 2cos 1 sin 3 BDE BDE Theo định lí Pitago ta có: 2 2 2 2 21 1DE AD AE x DE x 2 2 2 2 24 1 4 1BD DC BC x BD x Áp dụng định lí côsin trong tam giác BDE ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 4 2 2 2 4 2 2 1 cos 2 . 3 2 1 4 1 1 4 1 2 2. 1 4 1 3. 2 1 8 4 5 1 9 4 4 1 DE DB EB x x BDE DE DB x x x x x x x x x x x 4 2 2 24 4 1 0 2 1 2 x x x x (Do 0x ) Vậy độ dài cạnh AB là 2 . Lời giải Ta có: 2 2 2 2a a c b b c 3 3 2 0a b c a b . EA D C B Cho hình chữ nhật biết . Giả sử là trung điểm và thỏa mãn Tính độ dài cạnh . Ví dụ 19 Cho tam giác có các cạnh .Tính góc của tam giác biết và . Ví dụ 20 Hình học lớp 10 | Trang 11 | 2 2 2 0a b a ab b c a b . 2 2 2 0a b a ab b c . Do a b nên 2 2 2 0a ab b c 2 2 2 cos 2 a b c BCA ab 1 2 . Do đó: 120BCA  . Lời giải Giải sử 1AB ; MB x 2MA x ; 3MC x với 0 2x BC . Ta có 2 2 21 4 3 1 cos 2.1.2 4 x x x BAM x x 2 2 21 4 9 1 5 cos 4 4 x x x MAC x x . Có 90BAM MAC  cos sinBAM MAC 2 2 2 2 1 1 5 0 5 cos cos 1 x x BAM MAC 2 22 23 1 1 5 1 4 4 x x x x 4 2 2 49 6 1 1 10 25 16x x x x . 4 234 20 2 0x x 2 2 5 2 2 1 ( ) 17 5 5 2 2 17 x l x . 2 2 2 cos 2 . AM BM AB AMB AM BM 2 24 1 2.2 . x x x x 2 2 5 1 4 x x 25 10 2 20 8 2 1 : 17 17 2 2 . Vậy 135AMB  . Lời giải Cho tam giác vuông cân tại , là điểm nằm trong tam giác sao cho khi đó góc bằng bao nhiêu? Ví dụ 21 Cho tam giác đều cạnh . Một điểm bất kì thuộc miền trong tam giác . Tính tổng khoảng cách từ điểm đến ba cạnh của tam giác? Ví dụ 22 | 12 Gọi D , E , F lần lượt là hình chiếu của M trên các cạnh BC , AC , AB . Gọi H là trung điểm BC . Khi đó: ABC ABM ACM BCMS S S S 1 1 1 1 . . . . 2 2 2 2 AH BC ME AB MF AC MD BC . .AH BC MD ME MF BC (Do ABC là tam giác đều) 3 2 a MD ME MF AH . Vậy tổng khoảng cách từ điểm M đến các cạnh bằng 3 2 a . DẠNG 2: NHẬN DẠNG TAM GIÁC Lời giải Theo định lí côsin ta có: 2 2 2 2 2 212 .cos .cos 2 a b c bc A bc A b c a . 2 2 2 2 2 212 .cos .cos 2 b a c ac B ac B a c b . 2 2 2 2 2 212 .cos .cos 2 c a b ab C ab C a b c . Khi đó: 2 cos cos cos cos cos cos A B C a bc A ac B ab C a a b c bc 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2 b c a a c b a b c a 2 2 2a b c . Vậy tam giác ABC vuông tại A . H F E D C A B M Nhận dạng tam giác thỏa mãn: . Ví dụ 1 Cho tam giác thỏa . Chứng minh tam giác đều Ví dụ 2 Hình học lớp 10 | Trang 13 | Lời giải Theo định lí sin ta có: sin sin 2 sinsin sin sin sin A a a b c B b R A aA B C C c . Khi đó: sin sin sin a b c A B C m m m sin sin sin sin a b a c mA B m mA C m a b a c ma b m ma c m 2 2 2 2 2 2 2 2 . . . . b a c a a m b m a m c m 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 4 4 a c b b c a a b a b c b c a a c     2 2 2 2 2 2 0 0 a b a b a b c a c a c a b c a b a c a b c . Vậy tam giác ABC đều. Lời giải a) Ta có: cos 3cos 1 cos 180 3cos 1A C B B B 1cos 3cos 1 cos 60 2 B B B B  b) Ta có: 2 22 2 1 cos 2 (1 cos ) 2 sin sin 24 B a c B a c B B a ca c 2 2 2 (1 2cos cos ) sin 2 2 sin 2 B B B a c a c B a c 2 1 cos 2 2 2 2 .cos 1 cos 2 B a a c a a B B a c 2 2 2 2 22 0 2 c a b a c a b a b ac ABC là tam giác cân tại C. Lời giải Cho có ; ; . a) Chứng minh rằng: Nếu thì . b) Chứng minh rằng: Nếu thì cân Ví dụ 3 Cho tam giác có , , . Tam giác là tam giác gì? Ví dụ 4 | 14 Xét tam giác ABC ta có: 2 2 2 2 2 22 cos 10 6 7 2.6.7.cos 100 36 49 5 cos . 84 28 c a b ab C C C Vì cos 0 90C ACB   . Vậy tam giác ABC làm tam giác tù. Tổng quát: Giả sử c là cạnh lớn nhất: Nếu 2 2 2c a b thì ABC là tam giác tù tại C. Nếu 2 2 2c a b thì ABC là tam giác nhọn tại C. Nếu 2 2 2c a b thì ABC là tam giác vuông tại C. Lời giải 2 2 2b sin 2sin . osA 2 . 2 2 2 c b c a B C c R R bc 2 2a c a c . Vậy tam giác ABC cân ( đpcm). DẠNG 3: CHỨNG MINH MỘT SỐ HỆ THỨC Lời giải Theo định lý cosin ta có: 2 2 2 2 .cosa b c bc A Mà: 2 2 2a b c bc Do đó: 1 cos 120 2 A BAC  . Lời giải Áp dụng công thức tính diện tích tam giác: 1 1 1 2 2 2 ABC a b cS ah bh ch . 2 ABC a S a h ; 2 ABC b S b h ; 2 ABC c S c h . Theo giả thiết: 2 2a b c 2 2 2 2. 2.ABC ABC ABC a b c S S S h h h 1 1 1 2a b ch h h (đpcm). Cho tam giác thỏa mãn điều kiện . Chứng minh rằng tam giác cân. Ví dụ 5 Cho tam giác ABC có các cạnh và thỏa mãn hệ thức . Chứng minh rằng: . Ví dụ 1 Cho tam giác . Chứng minh rằng: Nếu thì . Ví dụ 2 Hình học lớp 10 | Trang 15 | Lời giải Cách 1: Theo giả thiết AM BM nên . .sin . .sinCAM CBMS S CACM CBCM  . Suy ra sin sin CB CA  . Áp dụng định lý sin cho tam giác ABC ta có sin sin CB A CA B . Nên sin sin sin sin CB A CA B  . Cách 2: Trên tia đối của tia MC lấy điểm D sao cho MD MC . Ta có sin sin sin sin A CB AD B CA AC  . Lời giải Theo định lý hàm sin, ta có: 2 sin sin 2 2 a a A a A R R . Tương tự ta có: 2 sin 2 b b B R và 2 sin 2 c c C R . Từ đó suy ra: 2 2 2 sin sin sin 2 a b c a A b B c C R 2 2 2 2 sin sin sina b c R a A b B c C (đpcm). Cho tam giác có trung tuyến , , . Chứng minh rằng: . Ví dụ 3 Cho tam giác có và là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác . Chứng minh rằng: . Ví dụ 4 | 16 Lời giải Ta có: 0sin 45 sin 2 r r x B C ; sin 2 r y B ; sin 2 r z C . Suy ra: sin sin cos sin cos 2 2 2 2 2 sin sin sin cos tan tan 2 2 2 2 2 2 B C B C C B yz r r r r a B C B C B Cx 2 2 2 2 y z a x (1) Áp dụng định lí cosin cho tam giác BIC ta có 2 2 2 2 cosa y z yz BIC 2 2 2 02 cos 180 2 B C a y z yz 2 2 2 02 cos135a y z yz 2 2 2 2a y z yz (2) Từ (1) và (2) ta có : 2 2 2 2 2 2 y z y z yz x 2 2 2 1 1 1 2 x y z yz . Lời giải Theo định lý hàm sin, ta có: sin ,sin ,sin 2 2 2 a b c A B C R R R . Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin sin sin 2 2 4 4 4 b c a B C A b c a R R R . Theo bất đẳng thức Cô si ta có: 2 2 2 2 2 22 2 2b c a b c bc a bc . Theo định lý hàm cos, ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 cos cos 2 2 b c a a a b c bc A A bc bc . Cho tam giác vuông ở , gọi là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Đặt , , . Chứng minh rằng : Ví dụ 5 Cho tam giác có các góc thỏa mãn . Chứng minh: . Ví dụ 6 Hình học lớp 10 | Trang 17 | Vì 2bc a nên 2 2 0 2 1 cos 60 2 2 2 a a A A bc a . Lời giải Ta có:  2sin sin10 2 sin10 2 2 a BAC a a b b b . Do đó, 33 3 3 3 3 3 312 sin10 2 4sin 10 2 sin 3.10 4sin 10 2 a b b b b b 3 3 3 3 2 22 3sin10 4sin 10 4sin 10 6 sin10 3. .2 sin10 3b b b b ab (vì 2 sin10a b ). Lời giải Áp dụng định lý sin ta có sin ;sin ;sin 2 2 2 a b c A B C R R R . Theo công thức tính diện tích tam giác ta có 4 4 abc abc S pr Rr R p . 2 3 2 3( ) ( ) ( )pr p p a b c p ab bc ca abc p p ab bc ca abc Khi đó 2 2 2 4 sin .sin sin .sin sin .sin 4 r p Rr A B B C C A R 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 ab bc ca r p Rr ab bc ca r p Rr R R (*) 2 2 2 31(*) abcVP r p pr p bac p p 3 31 ( ) (*)p p ab bc ca abc p abc ab bc ca VT p Lời giải Cho tam giác cân tại với . Chứng minh rằng: . Ví dụ 7 Cho tam giác có là nửa chu vi tam giác; lần lượt là bán kính đường tròn ngoại và nội tiếp tam giác . Chứng minh rằng . Ví dụ 8 Cho tam giác có . Gọi và tương ứng là các phân giác trong và trung tuyến kẻ từ , đặt . Chứng minh rằng: . Ví dụ 9 | 18 Đường phân giác trong AP kéo dài cắt đường tròn ngoại tiếp ABC tại I . IO cắt đường tròn tại J . Ta thấy tứ giác PAJM là tứ giác nội tiếp. Từ đó ta có PJM PAM . Do  B C nên vị trí các điểm như hình vẽ, khi đó 2AIC BIA MIC PIM BIM PIM PIM (do MIC BIM ) mà   ,B AIC C BIA nên   2 B C PIM . Từ đó suy ra . tan .cot . 2 . B C PM MI MI MI IJ JM PM MJ MJ IJ . Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: 2 2. , .MI IJ IC MJ IJ JC nên 2 2 2tan .cot tan tan 2 2 B C IC A IJC JC . DẠNG 4: MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN. Lời giải P J I M O A B C Từ hai vị trí và của một tòa nhà, người ta quan sát đỉnh của ngọn núi. Biết rằng độ cao , phương nhìn tạo với phương nằm ngang một góc , phương nhìn tạo với phương nằm ngang một góc (như hình vẽ). Tính độ cao của ngọn núi so với mặt đất. Ví dụ 1 Hình học lớp 10 | Trang 19 | Cách 1: + Ta có: tan tan 30 CH CH CAH AH AH  . + Lại có: 70 tan tan15 30 tan15 30 CI CI CH CBI BI BI   . + Do AH BI nên 70 70 tan 30 tan15 30 tan 30 tan15 30 CH CH     . + Vậy 70.tan 30 134,7 tan 30 tan15 30 CH m    . Cách 2: + Ta có: 90 15 30 105 30ABC    . 180 180 60 105 30 14 30ACB ABC BAC      . + Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC , ta có: 70.sin105 30 sin14 30sin sin AC AB AC ABC ACB   . + Lại có: 70.sin105 30 sin .sin 30 .sin 30 134,7 sin14 30 CH CAH CH AC m AC     . 70 m 15°30' 30° I A H C B | 20 Lời giải Ta có 12,2ATB TBN TAN  . Áp dụng định lí sin cho tam giác TAB : .sin sin sin sin TB AB AB TAB TB TAB ATB ATB . Xét tam giác vuông TBN ta có: .sin .sin 1536.sin 27,4 .sin 39,6 .sin 2132,14 sin12,2sin AB TAB TBN TN TB TBN ATB    . Vậy chiều cao ngọn núi xấp xỉ 2132,14 m. Lời giải 15 m A B D C Các góc nhìn đến đỉnh núi so với mực nước biển được đo từ hai đèn tín hiệu A và B trên biển được thể hiện trên hình vẽ. Nếu các đèn tín hiệu cách nhau m thì ngọn núi cao bao nhiêu (tính gần đúng sau dấu phẩy hai chữ số)? Ví dụ 2 Một người quan sát đứng cách một cái tháp , nhìn thấy đỉnh tháp một góc và nhìn dưới chân tháp một góc so với phương nằm ngang như trong hình vẽ. Tính chiều cao của tháp. Ví dụ 3 Hình học lớp 10 | Trang 21 | Ta có 0. tan 15.tan 45 15 ( )BC AC BAC m 0. tan 15.tan15 15 2 3 ( )CD AC DAC m 45 15 3h BD BC CD m . Vậy chiều cao của tháp là 45 15 3 m . Lời giải Sau 2 giờ tàu B đi được 40 hải lí, tàu C đi được 30 hải lí. Vậy tam giác ABC có 40, 30AB AC và  060 .A Áp dụng định lí côsin vào tam giác ,ABC ta có 2 2 2 2 2 02. . .cos 30 40 2.30.40.cos 60 900 1600 1200 1300.BC AB AC AB AC A Vậy 1300 36BC (hải lí). Sau 2 giờ, hai tàu cách nhau khoảng 36 hải lí. Lời giải Áp dụng định lí Cô sin cho tam giác ABC ta có: 2 2 2 2 . .cosBC AB AC AB AC A = 0, 28 km. Vậy thời gian du khách chèo thuyền từ C đến B là: BC t v 0,28 4 0,07 giờ 4, 2 phút. Hai chiếc tàu thủy cùng xuất phát từ một vị trí , đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau góc . Tàu chạy với tốc độ hải lí một giờ. Tàu chạy với tốc độ hải lí một giờ. Sau hai giờ, hai tàu cách nhau bao nhiêu hải lí? Ví dụ 4 Vịnh Vân Phong – tỉnh Khánh Hòa nổi tiếng vì có con đường đi bộ xuyên biển nối từ Hòn Quạ đến đảo Điệp Sơn. Một du khách muốn chèo thuyền kayak từ vị trí trên Hòn Quạ đến vị trí trên Bè thay vì đi bộ xuyên qua con đường qua vị trí rồi mới đến vị trí . Nếu người đó chèo thuyền với vận tốc không đổi là km/h thì sẽ mất bao nhiêu thời gian biết km, km và góc giữa và là ? Ví dụ 5 | 22 Lời giải Lấy ba điểm ,A ,B C khác nhau trên đường tròn (ở các điểm ngoài cùng của đảo). Đo độ dài các đoạn thẳng ,BC a ,AC b AC c . Áp dụng công thức Hê-rông tính diện tích tam giác ABC . S p p a p b p c với 2 a b c p . Lại có: 4 4 abc abc S R R S Vậy bán kính của đảo được tính theo công thức: 4 abc R S . Lời giải Trong tam giác ACD : có góc 67 43 24CAD    Áp dụng định lý sin trong tam giác ACD ta có: C A B D CB A Trong một lần đi khảo sát các đảo thuộc quần đảo Trường Sa của Việt Nam, các nhà khoa học phát hiện có một đảo có dạng hình tròn, tâm của đảo này bị che bởi một bãi đá nhỏ mà các nhà khoa học không thể tới được. Các nhà khoa học muốn đo bán kính của đảo này, biết rằng các nhà khoa học chỉ có dụng cụ là thước thẳng dài. Nêu cách để các nhà khoa học tính được bán kính đảo? Ví dụ 6 Giả sử chúng ta cần đo chiều cao của một tòa tháp với là chân tháp và là đỉnh tháp. Vì không thể đến chân tháp được nên từ hai điểm và có khoảng cách sao cho ba điểm thẳng hàng người ta đo các góc và góc . Hãy tính chiều cao của tòa tháp Ví dụ 7 Hình học lớp 10 | Trang 23 | 30.sin 43 50,30( ) sin 43 sin 24 sin 24 AD CD AD m      Trong tam giác vuông BAD ta có sin 67 50,30.sin 67 46,30( ) AB AB m AD   Vậy chiều cao của tòa tháp là 46,30( )m Lời giải Gọi ,B C lần lượt là chân ngọn hải đăng thứ nhất và thứ hai. Gọi A là điểm người đứng trên tàu và H là hình chiếu của A lên BC . Theo giả thiết ta có 75 , 55 , 50HBA ABC HCA ACB BAC    Trong tam giác ABC áp dụng định lí sin ta có .sin 5.sin 55 5,35 sin 50sin sin sin AB BC BC ACB AB ACB BAC BAC   (km) Một người đứng trên tàu thả neo giữa biển phát hiện trên bờ biển có hai ngọn hải đăng cách nhau . Người đó xác định được các góc tạo thành giữa các đường ngắm của hai ngọn hải đăng và đường thẳng từ tàu vuông góc với bờ là và ( hình minh họa). Hãy tính a) Khoảng cách giữa con tàu và ngọn hải đăng thứ nhất b) Khoảng cách giữa con tàu và ngọn hải đăng thứ hai c) Khoảng cách giữa con tàu và bờ biển nối hai ngọn hải đăng Ví dụ 8 | 24 .sin 5.sin 75 6,30 sin 50sin sin sin AC BC BC ABC AC ABC BAC BAC   (km) Trong tam giác vuông AHC ta có .cos 6,30.cos35 5,16AH AC HAC  (km). Lời giải Gọi ,A B lần lượt là vị trí của người quan sát tại tầng trệt và sân thượng của tòa nhà. C,D lần lượt là đỉnh núi và chân núi. Bài toán được mô phỏng lại như hình vẽ: 60 , 35 , 15AB m CAD CBE   . Tính độ dài ?CD Cách 1. Ta có 105 55 180 ( ) 20 CBA CBE EBA BAC BAD CAD BCA CBA BAC     Áp dụng định lí hàm số sin vào tam giác ABC ta có: .sin 60.sin105 169,451( ) sin 20sin sin sin   AB AC AB CBA AC AC m BCA CBA BCA Xét tam giác ACD vuông tại D ta có .sin .sin 35 97,193( )  CD AC CAD AC CD m Một người quan sát đỉnh của một ngọn núi từ hai vị trí khác nhau của tòa nhà. Lần đầu tiên, người đó quan sát đỉnh núi từ tầng trệt với phương nhìn tạo với phương nằm ngang và lần thứ hai, người này quan sát tại sân thượng của cùng tòa nhà đó, với phương nhìn tạo với phương nằm ngang . Tính chiều cao ngọn núi, biết rằng tòa nhà cao . Ví dụ 9 60 m 350 C E D A B 150 Hình học lớp 10 | Trang 25 | Cách 2. Đặt AD x BE x Xét tam giác BCE vuông tại E ta có . tan15 .tan15 .tan15 60    CE BE x CD CE ED x Xét tam giác ACD vuông tại D ta có . tan 35 .tan15 60 .tan 35 .(tan 35 tan15 ) 60 60 tan 35 tan15 138,806( ) CD AD x x x x x m        Do đó 97,193( )CD m . Lời giải Ta có 63  117BAD  180 117 48 15ADB     Áp dụng định lý sin trong tam giác ABD ta có: sin sin AB BD ADB BAD .sin sin AB BAD BD ADB Tam giác BHD vuông tại H nên có: sin HD HBD BD .sinHD BD HBD Vậy .sin .sin sin AB BAD HBD HD ADB 10.sin117 .sin 48 25,58 sin15 m    . Suy ra chiều cao của cây là: CD CH HD 1,7 25,58 27, 28m . Từ hai vị trí , người ta quan sát một cái cây (hình vẽ). Lấy là điểm gốc cây, là điểm ngọn cây. , cùng thẳng hàng với điểm thuộc chiều cao của cây. Người ta đo được , , , . Tính chiều cao của cây đó. Ví dụ 10 | 26 Lời giải A B C A B Gọi H là chân đường vuông góc từ AB đến cột cờ. Xét tam giác ABC ta có :    52 45' 45 50 ' 6 55'ACB CAH ABC Theo định lí Sin trong tam giác ABC ta có :   .sin( ) 35,74( ) sin( )sin( ) sin( ) AB AC AB B AC m BACB ACB . Xét tam giác ACH vuông tại H ta có .sin 28,45( )CH AC CAH m . Vậy chiều cao của cột cờ là 28,45 mét. Để đo chiều cao từ mặt đất đến đỉnh cột cờ của một Kỳ đài trước Ngọ Môn ( Đại Nội – Huế). Người ta cắm hai cọc bằng nhau MA và NB cao 1,5 mét so với mặt đất . Hai cọc này song song . cách nhau 10 mét và thẳng hàng so với cột cờ ( xem hình vẽ minh họa ) . Đặt giác kế đứng tại A và B để nhắm đến đỉnh cột cờ, người ta đo được các góc lần lượt là và so với đường thẳng song song với mặt đất . Hãy tính chiều cao của cột cờ ( làm tròn đến 0,01 m). Ví dụ 11 M N M N H Hình học lớp 10 | Trang 27 | Lời giải Ta có: 0 0 090 15 105CBA CBE EBA 0 0 090 35 55BAC BAD CAD 0 0180 20BCA CBA BAC Áp dụng định lý hàm sin cho CBA ta có 0 0 .sin 60.sin105 169,4506909 sin 20sin sin sin AB CBAAB AC AC m BCA CBA BCA Xét CAD vuông tại D , ta có .sin 97,193CD AC CAD m . Một người quan sát đỉnh của một ngọn núi nhân tạo từ hai vị trí khác nhau của tòa nhà. Lần đầu tiên người đó quan sát đỉnh núi từ tầng trệt với phương nhìn tạo với phương nằm ngang và lần thứ hai người này quan sát tại sân thượng của cùng tòa nhà đó với phương nằm ngang (như hình vẽ). Tính chiều cao ngọn núi biết rằng tòa nhà cao . Ví dụ 12

Tài liệu đính kèm:

• bai_tap_hinh_hoc_lop_10_he_thuc_luong_trong_tam_giac.pdf

Tài Liệu Liên Quan

• Giáo án Hình học Lớp 10 - Chương 3: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng - Bài 1: Phương trình đường thẳng - Đào Nguyễn Thành An
• Giáo án Đại số Lớp 10 - Tiết 55: Giá trị lượng giác của một cung (Tiết 2) - Năm học 2020-2021 - Nguyễn Thị Chung Anh
• Giáo án Đại số Lớp 10 - Chương 4: Bất đẳng thức. Bất phương trình - Bài 4: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn - Năm học 2021-2022
• Định lí Rolle và ứng dụng
• Giáo án Hình học Lớp 10 - Chương 1: Vectơ - Bài 3: Tích của vectơ với một số - Năm học 2021-2022
• Giáo án Hình học Lớp 10 - Chương 1: Vectơ - Bài 4: Hệ trục tọa độ
• Giáo án Hình học Lớp 10 - Chương 2: Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng - Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0⁰ đến 180⁰ - Trường THPT Ba Vì
• Giáo án Hình học Lớp 10 - Chương 1: Vectơ - Bài 1: Các định nghĩa - Năm học 2021-2022
• Giáo án Đại số Lớp 10 - Chủ đề: Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn (Bản ẩn)
• Giáo án Đại số Lớp 10 - Chương 2: Hàm số. Hàm số bậc nhất. Hàm số bậc hai - Bài 1: Hàm số - Trường THPT Ba Vì

Tài Liệu Hay

• Bài tập Hình học Lớp 10 - Hệ thức lượng trong tam giác
• Định lí Rolle và ứng dụng
• Giáo án Đại số Lớp 10 - Ôn tập giữa học kỳ 1 - Trường THPT Ba Vì
• Giáo án Hình học Lớp 10 - Bài: Phương trình đường thẳng
• Giáo án Hình học Lớp 10 - Bài 3: Phương trình đường thẳng - Năm học 2020-2021
• Giáo án Hình học Lớp 10 - Bài 3: Phép đối xứng trục
• Bài tập ôn tập Chương I môn Hình học Lớp 10
• Giáo án Hình học Lớp 10 - Chương 1: Vectơ - Bài 1: Các định nghĩa (Bản hay)
• Chủ đề: Tích hợp trong dạy học bài hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác hình học 10
• Giáo án Hình học Lớp 10 - Chuyên đề: Hình học phẳng

Copyright © 2024 Lop10.vn - Đồ án tham khảo, tài liệu các môn học cho sinh viên