Bài Tập Phương Trình Vi Phân Tuyến Tính Cấp 2 Có Hệ Số Hằng

1) y" + 3y' - 4y =e^ -4x + xe^ -x

2) y" - 3y' + 2y = xcosx

3) y" - 4y' + 8y = e^ 2x + sin 2x

4) y" - 3y' + 2y = 3x + 5sin2x

Giải:

1)y" + 3y' - 4y =e-4x + xe-x

phương trình thuần nhất tương ứng là:

y" + 3y' - 4y =0

ðphương trình đặc trưng:

ðk2+3k-4=0    (I)

ðphương trình có 2 nghiệm phân biệt là k1=1 và k2=-4. Do đó nghiệm tổng quát của phương trình là:

ðy=C1ex+C2e-4x trong đó C là hằng số.  (@)

ðbây giờ ta tìm nghiệm riêng nữa là xong:

(nghiệm tổng quát cần tìm=nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất+nghiệm riêng)

Vế phải là e-4x + xe-x ta không đưa được về dạng tổng quát nên mình xét 2 phương trình con:

(*) y" + 3y' - 4y =e-4x.

Vế phải có dạng eaxPn(x), a=-4 là nghiệm của (I)

Nên có nghiệm riêng dạng: y=xe-4xa0

=>y'=aoe-4x-4aoxe-4x=(1-4x) aoe-4x

=>y''=-4 aoe-4x-4(1-4x) aoe-4x=-4(2-4x) aoe-4x

Thay lên ta được:

-4(2-4x) aoe-4x+3(1-4x) aoe-4x-4xe-4xa0= e-4x.

<=>-5aoe-4x= e-4x

=>ao=-

=>y=-xe-4x   (1)

(**)y" + 3y' - 4y =xe-x

Vế phải có dạng eaxPn(x):a=-1 không phải là nghiệm của phương trình (I) nên nó có nghiệm riêng dạng:

y=e-x(a1x+ao)

=>y'=a1e-x- e-x(a1x+ao)=e-x(-a1x-ao+a1)

=>y''=- e-x(-a1x-ao+a1)-a1e-x= e-x(a1x+ao-2a1)

Thay lên ta được:

e-x(a1x+ao-2a1)+3e-x(-a1x-ao+a1)-4e-x(a1x+ao)=xe-x

<=>(-6a1) xe-x+(a1-6ao) e-x =xe-x

Để cho nó đồng nhất:(có nghĩa là giống nhau) thì:

Từ (1),(2) suy ra có có nghiệm riêng:

 (@@)

Từ (@),(@@) suy ra nghiệm tổng quát là:

y=C1ex+C2e-4x

2) y" - 3y' + 2y = xcosx

ta có phương trình thuần nhất tương ứng:

y" - 3y' + 2y =0

=>phương trình đặc trưng:

k2-3k+2=0

phương trình có 2 nghiệm phân biệt k=1 và k=2. Do đó nghiệm tổng quát của phương trình là:

y=C1ex+C2e2x

bây giờ ta tìm nghiệm riêng của phương trình:

y" - 3y' + 2y = xcosx

vế là xcosx có dạng f(x)=eax[Pn(x)cosbx+Qm(x)sinbx]

trong đó a=0, b=1, max{n,m}=1

a+ib=0+i=i không là nghiệm của phương trình:

nên nó có nghiệm riêng dạng:

y=eax[(a1x+a0)cosbx+(b1x+bo)sinbx]

=(a1x+a0)cosx+(b1x+bo)sinx (do a=0,b=1)

=>y'=a1cosx-(a1x+a0)sinx+b1sinx+(b1x+bo)cosx

=( b1x+bo+ a1)cosx+(-a1x-a0+b1)sinx

=>y''=-( a1+ b1x+bo)sinx+b1cosx-a1sinx+(b1-a1x-a0)cosx

          =-( b1x+bo+2a1)sinx+(-a1x-a0+2b1)cosx

Thay vào: y" - 3y' + 2y = xcosx

<=>-( b1x+bo+2a1)sinx+(-a1x-a0+2b1)cosx

-3[( b1x+bo+ a1)cosx+(-a1x-a0+b1)sinx]

+2[(a1x+a0)cosx+(b1x+bo)sinx]= xcosx

<=>[( a1-3b1)x+a0+2b1-3bo-3a1]cosx+[(b1+3a1)x-2a1+3ao-3b1+bo]sinx=xcosx

Để cho nó đồng nhất (tức là 2 vế giống nhau) thì:

Giải (1) và (3) bấm máy=>a1=, b1=

Thay vào (2) và (3) ta được:

=>ao=, bo=

Vậy ta có nghiệm riêng:

y=(a1x+a0)cosx+(b1x+bo)sinx

=cosx+sinx

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là:

y=C1ex+C2e2x+cosx+sinx (C là hằng số)

3) y" - 4y' + 8y = e 2x + sin 2x

Ta có phương trình thuần nhất:

y" - 4y' + 8y = 0

=>phương trình đặc trưng

k2-4k+8=0

phương trình vô nghiệm thực, có 2 nghiệm phức: k1=2+2i và k2=2-2i:

=>p=q=2

=> phương trình có nghiệm tổng quát dạng:

y=epx(C1cosqx+C2sinqx)

=e2x(C1cos2x+C2sìn2x)

Bây giờ ta chỉ cần đi tìm nghiệm riêng của phương trình:

Lúc này do không đưa được về dạng tổng quát nên ta xét 2 phương trình con:

(*)y" - 4y' + 8y = e 2x

Vế phải f(x)=e2x có dạng eaxPn(x) với a=2 và n=0

a=2 không phải là nghiệm của phương trình đặt trưng nên nó có nghiệm riêng dạng:

y=eaxao=aoe2x.

=>y'=2aoe2x.

=>y''=4aoe2x

Thay vào:  y" - 4y' + 8y = e 2x.

<=>4aoe2x-4.2aoe2x+8aoe2x= e2x

<=>4aoe2x= e2x

Để nó đồng nhất(giống nhau) thì: 4ao=1=>ao=

Vậy ta có: y= e2x.

(**)y" - 4y' + 8y = sin 2x

Vế phải f(x)=sìn2x có dạng y=eax[Pn(x)cosx+Qm(x)sinx] với a=0, b=2, max{n,m}=0

=>y=a0cos2x+b0sin2x

=>y'=-2aosin2x+2bocos2x

=>y''=-4aocos2x-4bosin2x

Thay vào: y" - 4y' + 8y=sin2x

<=>-4aocosx-4bosinx-4(-2aosinx+2bocosx)+8 (a0cosx+b0sinx)=sin2x

<=>(4a0-8bo)cos2x+(8ao+4 b0)sin2x=sin2x

Để cho nó đồng nhất (giống nhau) thì:

=>ao=, bo=

Vậy ta có nghiệm riêng: y=cos2x+sin2x

Từ (*),(**) ta có nghiệm riêng của phương trình:

y= e2x+cos2x+sin2x

kết luận nghiệm tổng quát của phương trình là:

y=e2x(C1cos2x+C2sìn2x)+ e2x+cos2x+sin2x

4) y" - 3y' + 2y = 3x + 5sin2x

Ta có phương trình thuần nhất: y" - 3y' + 2y = 0

ðPhương trình đặc trưng:

ðk2-3k+2=0

phương trình có 2 nghiệm phân biệt k1=1 và k2=2, nó có nghiệm tổng quát:

y=C1+C2

=C1ex+C2e2x

Bây giờ chỉ cần tìm nghiệm riêng nữa là hết:

(*)xét phương trình con:

y" - 3y' + 2y = 5sin2x

vế phải f(x)= 5sin2x có dạng:

eax[Pn(x)cosbx+Qm(x)sinbx], với a=0, b=2, max{n,m}=0.

a+ib không là nghiệm của phương trình thuần nhất, nên nó có nghiệm riêng dạng:

y=eax[aocosbx+bosinbx]

= aocos2x +bosin2x (b=2, a=0)

=>y'=-2aosin2x+2bocos2x

=>y''=-4aocos2x-4bosin2x

Thay vào phương trình: y" - 3y' + 2y = 5sin2x

=>-4aocos2x-4bosin2x-3[-2aosin2x+2bocos2x]+2[ aocos2x +bosin2x] = 5sin2x

<=>(-2ao-6bo)cos2x+(6ao-2bo)sin2x=5sin2x

Để cho nó đồng nhất(giống nhau)thì:

=>ao=3/4; bo=-1/4

Vậy ta có nghiệm riêng:

y=cos2x +sin2x

(**)xét phương trình con: y" - 3y' + 2y=3x

Vế phải f(x)=3x có dạng eaxPn(x), với a=0 và n=1

a=0 không phải nghiệm của phương trình thuần nhất nên nó có nghiệm riêng dạng:

y=eax(a1x+ao)=a1x+ao, do a=0

=>y'=a1

=>y''=0

Thay vào phương trình: y" - 3y' + 2y=3x

<=>0-3a1+2(a1x+ao)=3x

<=>2a1x-3a1+2ao=3x

Để nó đồng nhất thì:

2a1=3=>a1=3/2

=>2ao=3a1<=>2a0=3.3/2=>a0=9/4

Vậy ta có nghiệm riêng: y= a1x+ao=x+

Từ (*), (**) ta có nghiệm riêng của phương trình là:

y=cos2x +sin2x+x+

kết luận nghiệm tổng quát của phương trình là:

y=C1ex+C2e2x+cos2x +sin2x+x+