PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 2 CÓ HỆ SỐ ... - 123doc

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 2 CÓ HỆ SỐ LÀ HẰNG SỐ

Là pt có dạng :

" ' ( )

y ay by f x (1)

với : a, b : hằng số

Pt thuần nhất liên kết là :

" ' 0

y ay by  (2)

Cách tìm 2 nghiệm đltt của pt thuần nhất : y"ay by' 0

Gọi pt :

k ak b  (*)

là pt đặc trưng của (2), pt (*) có :

  

có các trường hợp sau :

a Nếu  0 : pt (*) có 2 nghiệm phân biệt :

1,2

2

a

k   

thì pt (2) có 2 nghiệm đltt là :

1 1

k x

2

k x

y e

VD : Giải : y" 5 ' 6 y  y 0

Bài giải :

- Pt đặc trưng :

 k1 2,k2 3

- 2 nghiệm đltt của pt là :

2 1

x

y e và y2 e3x

- Nghiệm tổng quát của pt đã cho là :

y C e C e , ( ,C C  1 2 )

b Nếu  0: pt (*) có nghiệm kép :

2

a

k k 

thì pt (2) có 2 nghiệm đltt là :

2 1

a x



2

a x





VD : Giải : y" 4 ' 4 y  y 0

Bài giải :

- Pt đặc trưng :

 k1 k2 2

- 2 nghiệm đltt của pt là :

2 1

x

y e

 và y2 xe2x



- Nghiệm tổng quát của pt đã cho là :

y C e C xe

  , ( ,C C  1 2 )

 y e2x(C1 C x2 )

  , ( ,C C  1 2 )

c Nếu  0: pt (*) không có nghiệm thực, (*) có 2 nghiệm phức :

1,2

k       i

thì pt (2) có 2 nghiệm đltt là :

2

2

a x

2

a x



VD 1 : Giải : y" 2 ' 10 y  y 0

Bài giải :

- Pt đặc trưng :

' 1 10 9

   

 pt có 2 nghiệm phức : k1,2  1 3i

- 2 nghiệm đltt của pt là :

1 x sin 3

 và y2 ex cos3x



- Nghiệm tổng quát của pt đã cho là :

1 x sin 3 2 x cos 3

 y ex( sin 3C1 x C2cos3 )x

VD 2 : Giải : y" 3 ' 12 y  y 0

Bài giải :

- Pt đặc trưng :

9 48 39

   

 pt có 2 nghiệm phức :

1,2

i

- 2 nghiệm đltt của pt là :

3 2 1

39 sin

2

x

3 2 2

39 sin 2

x

- Nghiệm tổng quát của pt đã cho là :

y C e  x C e  x , ( ,C C  1 2 )



3 2

x

y e  C x C x , ( ,C C  1 2 )

Vậy : ptvptt cấp 2 có hệ số là hằng số LUÔN có nghiệm

MỘT SỐ DẠNG ĐẶC BIỆT

" ' ( )

y ay by f x (1)

1. f x( ) e P xx ( )

 , (P x( ) là đa thức )

a Nếu  không là nghiệm của pt đặc trưng thì (1) có nghiệm riêng dạng :

( )

x

y e Q x

 , (Q x( )là đa thức và bậc Q x( )= bậc P x( ))

VD : Giải : y" 2 ' 5 y  y e 2x(x2 1)

Bài giải :

- Pt thuần nhất liên kết :

" 2 ' 5 0

y  y  y 

- Pt đặc trưng :

' 1 5 4

   

 k1,2  1 2i

- 2 nghiệm đltt của pt là :

1 x sin 2

 và y2 ex cos 2x



- 1 nghiệm riêng của pt đã cho có dạng :

y e Ax Bx C

- Có :

y  e Ax Bx C e Ax B

 y'e2x(2Ax2 2Ax2Bx B 2 )C

" 2 x(2 2 2 2 ) x(4 2 2 )

 y"e2x(4Ax2 8Ax4Bx2A4B4 )C

- Thế vào pt : y" 2 ' 5 y  y e 2x(x2 1)

 e2x(13Ax2 12Ax13Bx2A6B13 )C e2x(x2 1)

 13A 1 12A13B  0 2A6B13C 1

 1 nghiệm riêng của pt đã cho là :

13 169 2197

x

- Nghiệm tổng quát của pt đã cho là :

13 169 2197

( ,C C  )

b Nếu  là nghiệm đơn của pt đặc trưng thì (1) có nghiệm riêng dạng :

( )

x

y e xQ x

 , (Q x( )là đa thức và bậc Q x( )= bậc P x( ))

VD : Giải : y" 5 ' 6 y  y e 2x(2x1)

Bài giải :

- Pt thuần nhất liên kết :

" 5 ' 6 0

y  y  y 

- Pt đặc trưng :

25 24 1

   

 k1 2,k2 3

- 2 nghiệm đltt của pt là :

2 1

x

y e và y2 e3x

- 1 nghiệm riêng của pt đã cho có dạng :

y e x Ax B 

 y e 2x(Ax2 Bx)

- Có :

' 2 x( ) x(2 )

 y'e2x(2Ax2 2Ax2Bx B )

" 2 x(2 2 2 ) x(4 2 2 )

 y"e2x(4Ax2 8Ax4Bx2A4 )B

- Thế vào pt : y" 5 ' 6 y  y e 2x(2x1)

 e2x( 2 Ax2A B ) e2x(2x1)

 2A 2 2A B 1

 A 1 B 3

 1 nghiệm riêng của pt đã cho là :

2x( 1 2 3 )

y e  x  x

- Nghiệm tổng quát của pt đã cho là :

2 3 2 2

y C e C e e  x  x , ( ,C C  1 2 )

c Nếu  là nghiệm kép của pt đặc trưng thì (1) có nghiệm riêng dạng :

x

y e x Q x

 , (Q x( )là đa thức và bậc Q x( )= bậc P x( ))

VD : Giải : y" 4 ' 4 y  y e 2x

Bài giải :

- Pt thuần nhất liên kết :

" 4 ' 4 0

y  y  y 

- Pt đặc trưng :

' 0

 

 k1 k2 2

- 2 nghiệm đltt của pt là :

2 1

x

y e và y2 xe2x

- 1 nghiệm riêng của pt đã cho có dạng :

2x 2

y e x A

- Có :

 y'e2x(2Ax2 2Ax)

" 2 x(2 2 ) x(4 2 )

 y"e2x(4Ax2 8Ax2 )A

- Thế vào pt : y" 4 ' 4 y  y e 2x

 e2x2A e 2x

 2A 1

2

A 

 1 nghiệm riêng của pt đã cho là :

1 2

x

y  e x

- Nghiệm tổng quát của pt đã cho là :

1 2

y C e C xe  e x , ( ,C C  1 2 )

 2 1 2 2 1

2

x

y e x C x C , ( ,C C  1 2 )

2. f x( ) ex P x1( )sin x P x2( ) cos x

  , (P x P x1( ), ( )2 là đa thức )

a Nếu  i không là nghiệm của pt đặc trưng thì (1) có nghiệm riêng dạng :

 1( )sin 2( ) cos 

x

(Q x Q x1( ), 2( ) là đa thức có bậc bằng nhau và bằng bậc cao nhất của P x P x1( ), ( )2 )

VD : Giải : y" y sin 3x

Bài giải :

- Pt thuần nhất liên kết :

" 0

y  y 

- Pt đặc trưng :

k  

' 1

 

 k1,2 i

- 2 nghiệm đltt của pt là :

y  x và y2 cosx

- Có : y" y sin 3x e 0x 1sin 3x0 cos3x

   0  3

  i  0 3i 3i k 1,2

- 1 nghiệm riêng của pt đã cho có dạng :

0x sin 3 cos 3

 y Asin 3x B cos 3x

- Có :

' 3 cos3 3 sin 3

" 9 sin 3 9 cos3

- Thế vào pt : y" y sin 3x

 8 sin 3A x 8 cos3B x sin 3x

 8A  1 8B 0

0 8

A  B 

 1 nghiệm riêng của pt đã cho là :

1 sin 3 0cos 3 8

sin 3 8

- Nghiệm tổng quát của pt đã cho là :

1 sin cos sin 3

8

y C x C x x , ( ,C C  1 2 )

b Nếu  i là nghiệm của pt đặc trưng thì (1) có nghiệm riêng dạng :

 1( )sin 2( ) cos 

x

(Q x Q x1( ), 2( ) là đa thức có bậc bằng nhau và bằng bậc cao nhất của P x P x1( ), ( )2 )

VD : Giải : y" 2 ' 10 y  y e x cos3x

Bài giải :

- Pt thuần nhất liên kết :

" 2 ' 10 0

- Pt đặc trưng :

' 9

 

 k1,2  1 3i

- 2 nghiệm đltt của pt là :

1 xsin 3

y e x và y2 e x cos3x

- Có : y" 2 ' 10 y  y e x cos 3x e 1x 0sin 3x1cos3x

   1  3

  i  1 3i k 1

- 1 nghiệm riêng của pt đã cho có dạng :

 sin 3 cos 3 

x

 y e Ax x  sin 3x Bx cos3x

- Có :

' ( sin 3 cos3 ) ( sin 3 3 cos 3 cos3 3 sin 3 )

 ' ( sin 3 cos3 sin 3 3 cos3

cos3 3 sin 3 )

x

" ( sin 3 cos3 sin 3 3 cos3 cos3 3 sin 3 ) ( sin 3 3 cos3 cos3 3 sin 3 3 cos3 3 cos3

9 sin 3 3 sin 3 3 sin 3 9 cos3 )

x

x

 " ( 8 sin 3 8 cos 3 2 sin 3 6 cos 3

2 cos 3 6 sin 3 6 cos3 6 sin 3 )

x

- Thế vào pt : y" 2 ' 10 y  y e x cos3x

 e A x6 cos 3x e B x6 sin 3x e x cos3x

 6A 1 6B 0

0 6

A  B 

 1 nghiệm riêng của pt đã cho là :

1 sin 3 6

x

- Nghiệm tổng quát của pt đã cho là :

1 sin 3 cos3 sin 3

6

y C e x C e x e x x , ( ,C C  1 2 )

VỀ BÀI THI

- Cấu trúc :

+ Trắc nghiệm : 70%

+ Tự luận : 30%

 Toán kinh tế (cực trị toàn cục)

 Giải ptvp tuyến tính cấp 1 – Becnouly, ptvp tuyến tính cấp 2 (các dạng đặc biệt)