Bài Tập Tìm Tiệm Cận Của đồ Thị Hàm Số Dựa Vào Bảng Biến Thiên Có ...

Bài tập Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số dựa vào bảng biến thiên có đáp án

Phương pháp giải tổng quát cho bảng biến thiên tìm tiệm cận đứng ngang

▪ Bước 1: Dựa vào bảng biến thiên tìm tập xác định của hàm số.

▪ Bước 2: Quan sát bảng biến thiên để suy ra giới hạn khi x đến beien của miền xác định.

▪ Bước 3: Kết luận.

Chú ý: Đồ thị hàm số $y=\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}$ nhận đường thẳng $x=a$ là tiệm cận đứng khi hàm số xác định tại $x=a$ và $y=\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}=\frac{{{\left( x-a \right)}^{n}}.h\left( x \right)}{{{\left( x-a \right)}^{m}}.k\left( x \right)}$ trong đó $m>n$ và $h\left( x \right),\,\,k\left( x \right)$ không có nghiệm $x=a$.

(Tức là số lần lặp lại nghiệm $x=a$ của $g\left( x \right)$ nhiều hơn số lần lặp lại nghiệm $x=a$ của $f\left( x \right)$).

Bài tập tìm tiệm cận của đồ thị dựa vào bảng biến thiên có Lời giải chi tiết

Bài tập 1: [Đề thi tham khảo năm 2019] Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau: Tổng số tiệm cận ngang và số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là A. 4. B. 1. C. 3. D. 2.

Lời giải chi tiết

Ta có $\left\{ \begin{array}  {} \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=2\Rightarrow TCN:y=2 \\  {} \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=5\Rightarrow TCN:y=5 \\  {} \underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=+\infty \Rightarrow \text{TC }\!\!\S\!\!\text{ }:x=1 \\\end{array} \right.\Rightarrow $ Chọn C.

Bài tập 2: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ là hàm số xác định trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$ , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là $y=0$, $y=5$ và tiệm cận đứng là $x=1$. B. Giá trị cực tiểu của hàm số là ${{y}_{CT}}=3$. C. Giá trị cực đại của hàm số là ${{y}_{CD}}=5$. D. Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận.

Lời giải chi tiết

Do $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,=0;\,\,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,=5$ nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là $y=0$, $y=5$ và tiệm cận đứng là $x=1$. Chọn A.

Bài tập 3: [Đề thi tham khảo năm 2017] Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. Hỏi đồ thị của hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận? A. 1 B. 3 C. 2 D. 4

Lời giải chi tiết

Dựa vào bảng biến thiên ta có: $\left\{ \begin{array}  {} \underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=+\infty  \\  {} \underset{x\to {{\left( -2 \right)}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=-\infty  \\ \end{array} \right.\Rightarrow x=0,\,\,x=-2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Mặt khác: $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=0\Rightarrow y=0$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị đã cho có 3 tiệm cận. Chọn B.

Bài tập 4: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định trên khoảng $\left( -1;+\infty  \right)$ và có bảng biến thiên như hình vẽ Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ là: A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

Lời giải chi tiết

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy $\underset{x\to {{\left( -1 \right)}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=-\infty $ và $\underset{x\to {{4}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=+\infty $

Do đó đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận đứng là $x=-1;\,\,x=4.$

Lại có: $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=1\Rightarrow y=1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Chọn B.

Bài tập 5: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ là: A. 2. B. 3. C. 4. D. 1.

Lời giải chi tiết

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: $\underset{x\to {{\left( -2 \right)}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,y=+\infty \Rightarrow x=-2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Lại có: $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y=5\Rightarrow y=5$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Do đó đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận. Chọn A.

Bài tập 6: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$ có bảng biến thiên như hình vẽ. Tổng số đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ là A. 1. B. 4. C. 2. D. 3.

 

Lời giải chi tiết

Ta có: $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\infty \Rightarrow x=1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Lại có $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=-1,\,\,\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=1\Rightarrow y=\pm 1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Do đó đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận. Chọn D.

Bài tập 7: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y=\frac{4}{f\left( x \right)+2}$ là: A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.

Lời giải chi tiết

Ta có phương trình $f\left( x \right)=-2$ có 2 nghiệm phân biệt suy ra đồ thị hàm số $y=\frac{4}{f\left( x \right)+2}$ có 2 đường tiệm cận đứng.

Khi $x\to +\infty \Rightarrow y\to \frac{4}{-3+2}=-4\Rightarrow y=4$ là một đường tiệm cận ngang.

Khi $x\to -\infty \Rightarrow y\to \frac{4}{1+2}=\frac{4}{3}\Rightarrow y=\frac{4}{3}$ là một đường tiệm cận ngang.

Do đó đồ thị hàm số $y=\frac{4}{f\left( x \right)+2}$ có 4 đường tiệm cận. Chọn C.

Bài tập 8: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y=\frac{2}{f\left( x \right)-2018}$  là: A. 4. B. 2. C. 5. D. 3.

Lời giải chi tiết

Ta có phương trình $f\left( x \right)=2018$ có 2 nghiệm phân biệt

Suy ra đồ thị hàm số $y=\frac{2}{f\left( x \right)-2018}$  có 2 đường tiệm cận đứng.

Khi $x\to -\infty \Rightarrow f\left( x \right)\to 5\Rightarrow y=\frac{2}{f\left( x \right)-2018}\to \frac{2}{-2013}$

Khi $x\to +\infty \Rightarrow f\left( x \right)\to 5\Rightarrow \frac{2}{f\left( x \right)-2018}\to \frac{2}{-2013}$

Vậy đồ thị hàm số $y=\frac{2}{f\left( x \right)-2018}$ có 1 tiệm cận ngang. Chọn D.

Bài tập 9: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$ và có bảng biến thiên như hình vẽ. Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{x-2}{{{f}^{2}}\left( x \right)-5f\left( x \right)+4}$ là: A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.

Lời giải chi tiết

Ta có: ${{f}^{2}}\left( x \right)-5f\left( x \right)+4\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} f\left( x \right)=4 \\  {} f\left( x \right)=1 \\ \end{array} \right.$

Phương trình $f\left( x \right)=4$ có 3 nghiệm phân biệt khác 2.

Phương trình $f\left( x \right)=1$ có 1 nghiệm kép $x=2$ (do vậy mẫu số có dạng ${{\left( x-2 \right)}^{2}}$ ) nên $x=2$ vẫn là TCĐ của đồ thị hàm số.

Suy ra đồ thị hàm số $y=\frac{x-2}{{{f}^{2}}\left( x \right)-5f\left( x \right)+4}$ có 4 đường tiệm cận đứng. Chọn B.

Bài tập 10: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ -1;2 \right\}$ và có bảng biến thiên như hình vẽ. Biết số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ và $y=\frac{1}{f\left( x \right)+1}$ lần lượt là m và n. Khi đó tổng $m+n$ bằng A. 6. B. 7. C. 4. D. 5.

Lời giải chi tiết

Tiệm cận đồ thị $y=f\left( x \right)$: Ta có: $\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,y=2\Rightarrow $ đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận ngang

$\underset{x\to {{\left( -1 \right)}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,y=+\infty \Rightarrow $ đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng $\Rightarrow m=2$.

Mặt khác $f\left( x \right)=-1$ có 2 nghiệm phân biệt và $\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{f\left( x \right)+1}=\frac{1}{3}\Rightarrow $ đồ thị hàm số $y=\frac{1}{f\left( x \right)+1}$ có 1 đường tiệm cận ngang và 2 đường tiệm cận đứng.

Vậy $m=2;\,\,n=3\Rightarrow m+n=5$. Chọn D.