Bài Toán Mặt Phẳng Tiếp Xúc Với Hai Mặt Cầu Và Khoảng Cách Từ điểm ...

Bài toán mặt phẳng tiếp xúc với hai mặt cầu và khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng lớn nhất trong không gian Oxyz

>>Xem thêm Tổng hợp Công thức giải nhanh hình toạ độ không gian Oxyz tại đây: https://www.vted.vn/tin-tuc/cong-thuc-giai-nhanh-hinh-toa-do-oxyz-bien-soan-thay-dang-thanh-nam-2268.html

Bạn đọc theo dõi ví dụ sau:

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz,$ cho mặt cầu $({{S}_{1}})$ có tâm $I(2;1;1)$ bán kính bằng 4 và mặt cầu $({{S}_{2}})$ có tâm $J(2;1;5)$ có bán kính bằng $2.$ Gọi $(P)$ là mặt phẳng thay đổi tiếp xúc với hai mặt cầu $({{S}_{1}}),({{S}_{2}}).$ Tổng khoảng cách lớn nhất và nhỏ nhất từ gốc toạ độ $O$ đến mặt phẳng $(P)$ bằng

A. $8\sqrt{3}.$

B. $9.$

C. $8.$

D. $\sqrt{15}.$

Lời giải: Giả sử $(P)$ tiếp xúc với $({{S}_{1}}),({{S}_{2}})$ lần lượt tại $A,B$ và gọi $K=IJ\cap (P).$

Ta có $\frac{KI}{KJ}=\frac{IA}{JB}=\frac{4}{2}\Rightarrow \overrightarrow{KI}=2\overrightarrow{KJ}\Rightarrow K(2;1;9).$

Do đó mặt phẳng (P) qua điểm K có phương trình: $(P):a(x-2)+b(y-1)+c(z-9)=0({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}>0).$

Mặt khác $d(J,(P))=2\Leftrightarrow \frac{\left| 4c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=2\Leftrightarrow \sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}=2\left| c \right|\Leftrightarrow {{\left( \frac{a}{c} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{b}{c} \right)}^{2}}=3.$

Khi đó $d(O,(P))=\frac{\left| 2a+b+9c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\left| \frac{2a+b+9c}{2c} \right|=\left| \frac{a}{c}+\frac{b}{2c}+\frac{9}{2} \right|.$

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwraz có

$\left| \frac{a}{c}+\frac{b}{2c} \right|\le \sqrt{\left( 1+\frac{1}{4} \right)\left( {{\left( \frac{a}{c} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{b}{c} \right)}^{2}} \right)}=\frac{\sqrt{15}}{2}\Rightarrow -\frac{\sqrt{15}}{2}\le \frac{a}{c}+\frac{b}{2c}\le \frac{\sqrt{15}}{2}.$

Do đó $d(O,(P))=\left| \frac{a}{c}+\frac{b}{2c}+\frac{9}{2} \right|\in \left[ \frac{9-\sqrt{15}}{2};\frac{9+\sqrt{15}}{2} \right]\Rightarrow M+m=9.$

Chọn đáp án B.

Xem thêm bài giảng và đề thi Vận dụng cao mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại khoá PRO XMAX 2019 tại đây : https://www.vted.vn/khoa-hoc/xem/khoa-pro-xmax-chinh-phuc-nhom-cau-hoi-van-dung-cao-2019-mon-toan-kh896337656.html

>>Xem thêm Đề thi kèm lời giải chi tiết đề thi thử THPT Quốc Gia 2019 Môn Toán lần 1 Trường THPT Chuyên KHTN Hà Nội

>>Xem thêm Đề thi kèm lời giải chi tiết đề thi Học kì I Môn Toán lớp 12 sở giáo dục và đào tạo tỉnh Quảng Nam năm học 2018 - 2019

>>Xem thêm Đề tham khảo THPT Quốc Gia 2019 Môn Toán chính thức của BGD & ĐT kèm lời giải chi tiết

>>Xem thêm Đề thi kèm lời giải chi tiết đề thi Học kì I Môn Toán lớp 12 trường THPT Chuyên ĐH Vinh năm học 2018 - 2019

>>Xem thêm Đề thi kèm lời giải chi tiết đề thi Học kì I Môn Toán lớp 12 sở giáo dục và đào tạo tỉnh Nam Định năm học 2018 - 2019

>> Xem thêm Đề thi kèm lời giải chi tiết đề thi thử THPT Quốc Gia 2019 Môn Toán lần 1 Trường THPT Lương Thế Vinh Hà Nội

>> Xem thêm Đề thi kèm lời giải chi tiết đề thi thử THPT Quốc Gia 2019 Môn Toán lần 1 Trường THPT Kim Liên Hà Nội