Bất đẳng Thức Cosi – Công Thức, Bài Tập Cơ Bản Và Nâng Cao

Bất đẳng thức Cosi được sử dụng rất nhiều trong các đề thi cao đẳng và đại học. Do đó, các bạn cần nắm vững công thức bất đẳng thức cosi, cách chứng minh bất đẳng thức cosi. Ngoài ra, các bạn cần phải giải được các bài tập liên quan đến bất đẳng thức cosi. Bài viết hôm nay sẽ giúp mọi người cũng cố kiến thức về bất đẳng thức này.

Tóm tắt nội dung

• 1. Bất đẳng thức Cosi
  • 1.1 Bất đẳng thức AM – GM
  • 1.2. Bất đẳng thức Cosi
  • 1.2.1. Bất đẳng thức cosi cho 2 số không âm
  • 1.2.2. Bất đẳng thức cosi cho 3 số không âm
  • 1.2.3. Bất đẳng thức cosi cho 4 số không âm
  • 1.2.4 Bất đẳng thức cosi cho n số không âm
• 2. Chứng minh bất đẳng thức cosi
  • 2.1. Chứng minh bất đẳng thức Cosi đúng với 2 thực số không âm
  • 2.2. Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 3 thực số không âm
  • 2.3. Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 4 số thực không âm
  • 2.4. Chứng minh bất đẳng thức Cosi với n số thực không âm
• 3. Bài tập cơ bản về bất đẳng thức cosi
• 4. Bài tập nâng cao về bất đẳng thức cosi

1. Bất đẳng thức Cosi

Bất đẳng thức cosi xuất phát từ bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (AM – GM). Cauchy là người đã có công chứng minh bất đẳng thức AM – GM bẳng phương pháp quy nạp. Do đó, bất đẳng thức AM – GM được phát biểu theo cách khác để trở thành bất đẳng thức cosi.

1.1 Bất đẳng thức AM – GM

Cho x1, x2,…, xn là n số thực không âm, khi đó ta có:

\[ \frac{x_1+ x_2 + …, + x_n} {n} \ge \sqrt [n] {x_1x_2…x_n} \]

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 =… = xn

Bất đẳng thức này còn có thể được phát biểu dưới dạng

\[ {x_1+ x_2 + …, + x_n} \ge n \sqrt [n] {x_1x_2…x_n} \]

Hoặc

\[ (\frac{x_1+ x_2 + …, + x_n} {n})^n \ge {x_1x_2…x_n} \]

1.2. Bất đẳng thức Cosi

Giả sử a1 ,a2,…, an  là các số thực bất kì và b1, b2,…, bn là các số thực dương. Khi đó, ta luôn có:

\[\frac{a_1^2}{b_1^2} + \frac{a_2^2}{b_2^2} + … + \frac{a_n^2}{b_n^2} \ge \frac{(a_1 + a_2 + … + a_n)^2}{b_1 + b_2 + … + b_n}\]

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \[\frac{a_1^2}{b_1^2} = \frac{a_2^2}{b_2^2} = … = \frac{a_n^2}{b_n^2}\]

1.2.1. Bất đẳng thức cosi cho 2 số không âm

\[ \frac{a + b} {2} \ge \sqrt {ab} \]

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b

1.2.2. Bất đẳng thức cosi cho 3 số không âm

\[ \frac{a + b + c } {3} \ge \sqrt [3] {abc} \]

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

1.2.3. Bất đẳng thức cosi cho 4 số không âm

\[ \frac{a + b + c + d } {4} \ge \sqrt [4] {abcd} \]

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d

1.2.4 Bất đẳng thức cosi cho n số không âm

Với x1, x2,…, xn là n số thực không âm, khi đó ta có:

\[ \frac{x_1+ x_2 + …, + x_n} {n} \ge \sqrt [n] {x_1x_2…x_n} \]

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 =… = xn

2. Chứng minh bất đẳng thức cosi

2.1. Chứng minh bất đẳng thức Cosi đúng với 2 thực số không âm

Rõ ràng với a = 0 và b = 0 thì bất đẳng thức luôn đúng (1). Ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức luôn đúng với 2 số a, b dương.

\[ \frac{a + b} {2} \ge \sqrt {ab} \]

\[ \Leftrightarrow a + b \ge 2\sqrt {ab} \]

\[ \Leftrightarrow a  – 2\sqrt {ab} + b \ge 0\]

\[ (\sqrt {a} – \sqrt {b})^2 \ge 0\] (luôn đúng với mọi a, b ≥ 0)

=> Bất đẳng thức đã cho luôn đúng với mọi a, b dương (2)

Từ (1) và (2) => bất đẳng thức cosi đúng với 2 số thực a, b không âm.

2.2. Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 3 thực số không âm

Rõ ràng a = 0, b = 0, c = 0 thì bất đẳng thức luôn đúng. Do đó, ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức đúng với 3 số thực a, b, c dương.

Đặt \[ x = \sqrt [3] {a}, y = \sqrt [3] {b}, z = \sqrt [3] {c}  \]

=> x, y, z ≥ 0 => => x + y + z ≥ 0

Bất đẳng thức của 3 số thực a, b, c dương được quy về thành bất đẳng thức của 3 số thực x, y, z dương.

\[ (x + y)^3 – 3xy(x + y) + z^3 – 3xyz \ge 0 \]

\[ (x + y +z)[(x + y)^2 – (x +y)z + z^2]\]

\[ – 3xy(x + y + z) \ge 0 \]

\[ (x + y +z)(x^2 + y^2 + z^2 +2xy – xz – yz) \]

\[ – 3xy(x + y + z) \ge 0 \]

\[ (x + y +z)(x^2 + y^2 + z^2 – xy – xz – yz) \ge 0 \]

\[ (x + y +z)[(x – y)^2 + (y – z)^2 + (x – z)^2] \ge 0 \] (luôn đúng với mọi x, y, z ≥ 0)

Dấu “=” xảy ra khi x = y = z hay a = b = c.

2.3. Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 4 số thực không âm

Ta dễ dàng nhận ra rằng với a = 0, b = 0, c = 0, d = 0 thì bất đẳng thức luôn đúng. Bây giờ chúng ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức đúng với 4 số thực dương.

Từ kết quả chứng minh bất đẳng thức đúng với 2 số thực không âm ta có:

\[ a + b + c + d \ge 2\sqrt [2] {ab} + 2\sqrt [2] {cd} \ge 4\sqrt [4] {abcd} \]

\[ \Leftrightarrow \frac{a + b + c + d } {4} \ge \sqrt [4] {abcd} \] (đpcm)

Ta còn rút ra được hệ quả:

Với \[ d = \frac{a + b + c} {3}\]

Thì bất đẳng thức trở về dạng bất đẳng thức cosi với 3 số thực dương.

2.4. Chứng minh bất đẳng thức Cosi với n số thực không âm

Theo chứng minh ở trên, n = 2 thì bất đẳng thức luôn đúng.

Nếu bất đẳng thức đúng với n số thì nó cũng đúng với 2n số. Chứng minh điều này như sau:

\[ x_1+ x_2 + …, + x_n \]

\[ \ge n\sqrt [n] {x_1x_2…x_n} + n\sqrt [n] {x_{n + 1}x_{n + 2}…x_{2n}} \]

\[  \ge 2n\sqrt [2n] {x_{n + 1}x_{n + 2}…x_{2n}} \]

Theo quy nạp thì bất đẳng thức đúng với n là một lũy thừa của 2.

Mặt khác giả sử bất đẳng thức đúng với n số thì ta cũng chứng minh được nó đúng với n-1 số như sau:

Theo bất đẳng thức cosi cho n số:

\[ x_1+ x_2 + …, + x_n  \ge n\sqrt [n] {x_1x_2…x_n}\]

\[ x_n = \frac {s}{n – 1}, s =x_1 + x_2 + …, + x_n \]

=> \[ s \ge (n – 1) \sqrt [n – 1] {x_1x_2…x_{n – 1}} \]

Đây chính là bđt Cosi (n-1) số. Như vậy ta có dpcm.

3. Bài tập cơ bản về bất đẳng thức cosi

Bài 1. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 3.

Chứng minh rằng:

\[ \sqrt{ \frac {a^2}{a^2 +b +c}} + \sqrt{ \frac {a^2}{a^2 +b +c}} + \sqrt{ \frac {a^2}{a^2 +b +c}} \le \sqrt{3} \]

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cosi, ta có:

(a2 + b + c)(1 + b + c) ≥ (a + b + c)2 . Do đó, để chứng minh bất đẳng thức đã cho, ta chỉ cần chứng minh rằng:

\[ \frac {a \sqrt {1 + b + c} + b \sqrt {1 + c + a} + c \sqrt {1 + a + b}}{a + b + c} \le \sqrt{3}\]

Áp dụng bất đẳng thức Cosi lần thứ hai ta thu được:

VT = \[ \frac { \sqrt{a}\sqrt{a(1 + b + c)} + \sqrt{b}\sqrt{b(1 + c + a)} + \sqrt{c}\sqrt{c(1 + a + b)}}{a + b + c}\]

\[ \le \frac { \sqrt{{(a + b + c)}[a(1 + b + c) + b(1 + c + a) + c(1 + a + b)] }} {a + b + c}\]

= \[ \sqrt{1 + \frac {2(ab + bc +ca)}{a +  b + c}}\]

\[ \le \sqrt{1 + \frac {2(a + b +c)}{3}}\]

\[ \le \sqrt{1 + \frac {2 \sqrt{3(a^2 + b^2 + c^2)}}{3}} = \sqrt{3}\] (đpcm)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.

4. Bài tập nâng cao về bất đẳng thức cosi