Bất đẳng Thức Schur Và Kĩ Thuật đổi Biến P,Q,R - Huy Cao's Blog

Trang chủ » định Lý Schur » Bất đẳng Thức Schur Và Kĩ Thuật đổi Biến P,Q,R - Huy Cao's Blog

Có thể bạn quan tâm

BẤT ĐẲNG THỨC SCHUR VÀ KĨ THUẬT ĐỔI BIẾN P,Q,R

BẤT ĐẲNG THỨC SCHUR 

Bất đẳng thức Schur dạng tổng quát : Với mọi số thực không âm a,b,c,k ta có :

\boxed{a^k(a-b)(a-c)+b^k(b-c)(b-a)+c^k(c-a)(c-b)\geq 0}

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c hoặc (a,b,c)=(0,t,t) và các hoán vị.

Trường hợp k=1, BĐT Schur có các dạng tương đương sau :

i) a^3+b^3+c^3+3abc\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)

ii) 4(a^3+b^3+c^3)+15abc\geq (a+b+c)^3

iii) abc\geq (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)

iv) a^2+b^2+c^2+\dfrac{9abc}{a+b+c}\geq 2(ab+bc+ca)

v) (a+b+c)^3+9abc\geq 4(a+b+c)(ab+bc+ca)

vi) \dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{4abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 2

Trường hợp k=2, BĐT Schur có các dạng tương đương sau :

i) a^4+b^4+c^4+abc(a+b+c)\geq ab(a^2+b^2)+bc(b^2+c^2)+ca(c^2+a^2)

ii) 6abc(a+b+c)\geq \left [ 2(ab+bc+ca)-(a^2+b^2+c^2) \right ]\left [ a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca \right ]

KĨ THUẬT ĐỔI BIẾN P,Q,R 

Đặt p=a+b+c,q=ab+bc+ca,r=abc ta có :

ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)=pq-3r

(a+b)(b+c)(c+a)=pq-r

ab(a^2+b^2)+bc(b^2+c^2)+ca(c^2+a^2)=p^2q-2q^2-pr

(a+b)(a+c)+(a+c)(b+c)+(b+c)(a+b)=p^2+q

a^2+b^2+c^2=p^2-2q

a^3+b^3+c^3=p^3-3pq+3r

a^4+b^4+c^4=p^4-4p^2q+2q^2+4pr

a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=q^2-2pr

a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3=q^3-3pqr+3r^2

Khi đó giữa ba biến mới p,q,r có một số mối liên hệ :

p^2\geq 3q

p^3\geq 27r

q^2\geq 3pr

pq\geq 9r

2p^3+9r\geq 7pq

p^2q+3pr\geq 4q^2

p^4+4q^2+6pr\geq 5p^2q

Và đặc biệt, BĐT Schur viết dưới hình thức p,q,r như sau :

r\geq max\left \{ 0,\dfrac{p(4q-p^2)}{9} \right \}

r\geq max\left \{ 0,\dfrac{(4q-p^2)(p^2-q)}{6p} \right \}

Theo “Bất đẳng thức Schur và phương pháp đổi biến P,Q,R” – Võ Thành Văn.

Từ khóa » định Lý Schur