Bất đẳng Thức Schur – Wikipedia Tiếng Việt

Bài viết này là một bài mồ côi vì không có bài viết khác liên kết đến nó. Vui lòng tạo liên kết đến bài này từ các bài viết liên quan; có thể thử dùng công cụ tìm liên kết. (tháng 7 năm 2018)

Bất đẳng thức Schur được phát biểu như sau:

Cho a , b , c , t {\displaystyle a,b,c,t} là các số thực không âm. Chứng minh rằng: ∑ c y c a t ( a − b ) ( a − c ) ⩾ 0. {\displaystyle \sum \limits _{cyc}a^{t}(a-b)(a-c)\geqslant 0.}

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c {\displaystyle a=b=c} hoặc hai trong số chúng bằng nhau và số còn lại bằng 0 {\displaystyle 0}

Ngoài ra khi t {\displaystyle t} là một số nguyên dương chẵn thì bất đẳng thức trên đúng với mọi số thực a , b , c {\displaystyle a,\,b,\,c}

Chứng minh

Do vai trò của a , b , c {\displaystyle a,\,b,\,c} trong bài toán này là đối xứng nên không mất tính tổng quát, ta giả sử a ⩾ b ⩾ c {\displaystyle a\geqslant b\geqslant c} .

Trường hợp t ≥ 0 {\displaystyle t\geq 0} , biến đổi vế trái của bất đẳng thức để được:

( a − b ) [ a t ( a − c ) − b t ( b − c ) ] + c t ( c − a ) ( c − b ) ⩾ 0 {\displaystyle \left(a-b\right)\left[a^{t}\left(a-c\right)-b^{t}\left(b-c\right)\right]+c^{t}\left(c-a\right)\left(c-b\right)\geqslant 0}

Điều trên hiển nhiên đúng vì mọi số hạng của vế trái đều không âm.

Trường hợp t < 0 {\displaystyle t<0} , tương tự:

( b − c ) [ c t ( a − c ) − b t ( a − b ) ] + a t ( a − b ) ( a − c ) ⩾ 0 {\displaystyle \left(b-c\right)\left[c^{t}\left(a-c\right)-b^{t}\left(a-b\right)\right]+a^{t}\left(a-b\right)\left(a-c\right)\geqslant 0}

Chứng minh đặc biệt với trường hợp r = 1 {\displaystyle r=1} thì:

Xét trường hợp b = 0 , c = 0 {\displaystyle b=0,\,c=0} thì bất đẳng thức đã cho tương đương với: a 3 ⩾ 0 {\displaystyle a^{3}\geqslant 0} hay a ⩾ 0 {\displaystyle a\geqslant 0} (hiển nhiên đúng!)

Xét trường hợp b + c > 0 {\displaystyle b+c>0} và biến đổi vế trái của bất đẳng thức để được:

a ( a − b ) ( a − c ) + b ( b − c ) ( b − a ) + c ( c − a ) ( c − b ) = ( a − b ) 2 a b + ( a − c ) 2 a c + ( b − c ) 2 ( a − b − c ) 2 b + c ⩾ 0 {\displaystyle a\left(a-b\right)\left(a-c\right)+b\left(b-c\right)\left(b-a\right)+c\left(c-a\right)\left(c-b\right)={\frac {\left(a-b\right)^{2}ab+\left(a-c\right)^{2}ac+\left(b-c\right)^{2}\left(a-b-c\right)^{2}}{b+c}}\geqslant 0}

Mở rộng

Tổng quát hóa bất đẳng thức Schur: Với x , y , z {\displaystyle x,\,y,\,z} là các số thực không âm, khi đó với x ⩾ y ⩾ z {\displaystyle x\geqslant y\geqslant z} và a ⩾ b ⩾ c {\displaystyle a\geqslant b\geqslant c} thì:

x ( a − b ) ( a − c ) + y ( b − c ) ( b − a ) + z ( c − a ) ( c − b ) ⩾ 0 {\displaystyle x\left(a-b\right)\left(a-c\right)+y\left(b-c\right)\left(b-a\right)+z\left(c-a\right)\left(c-b\right)\geqslant 0}

Tham khảo

Diễn đàn toán học VMF Diễn đàn AoPS

• x
• t
• s