Định Lý Schur Về Phân Tích Ma Trận | TTC

Trang chủ » định Lý Schur » Định Lý Schur Về Phân Tích Ma Trận | TTC

Có thể bạn quan tâm

Định lý Schur là một định lý rất hay trong đại số tuyến tính và có nhiều ứng dụng. Chứng minh của nó cũng không hề khó, vậy không hiểu vì lý do gì mà định lý này không được dậy trong rất nhiều giáo trình đại số tuyến tính ở Việt Nam?

Định lý Schur : Cho A là ma trận vuông phức cấp n. Khi đó tồn tại ma trận unita U sao cho T = U^{\ast}AU là ma trận tam giác trên.

Hay nói cách khác mọi ma trận vuông phức thì tương đương unita với một ma trận tam giác trên. Ta có nhận xét nhỏ : phổ của A nằm trên đường chéo của ma trận T và các giá trị riêng của A có thể được sắp xếp một cách tùy ý. Điều này bạn nào tò mò hãy suy ra từ c/m của định lý mà tôi trình bày sau đây.

Chứng minh định lý Schur : Ta coi A là tự đồng cấu của \mathbb{C}^n. Nhiệm vụ của ta là chứng minh tồn tại một dãy các không gian con V_i, 1\leq i\leq n với chiều \dim V_i = i, V_n=\mathbb{C}^n, thỏa mãn V_n\supset V_{n-1}\supset\ldots\supset V_1 và V_i là các không gian con bất biến của A. Để làm điều này, ta trang bị cho \mathbb{C}^n một dạng  tuyến tính rưỡi để nó trở thành không gian Euclid (không gian Hilbert hữu hạn chiều). Khi đó ký hiệu A^{\ast} là toán tử liên hợp của A ứng với dạng tuyến tính rưỡi trên. Gọi \lambda là một giá trị riêng của toán tử liên hợp A^{\ast}, khi đó tồn tại một vector v là vector riêng của A^{\ast}. Ký hiệu V_{n-1} là phần bù trực giao với không gian vector con sinh bởi v. Ta chứng minh V_{n-1} là không gian con bất biến của A.

Giả sử x\in V_{n-1}. Khi đó \langle Ax,v\rangle = \langle x, A^{\ast}v\rangle = \langle x, \lambda v\rangle = 0. Vậy Ax\perp v, nên Ax\in V_{n-1}. \Box

Từ định lý trên, ta có thể c/m được mọi ma trận chuẩn tắc đều chéo hóa được. Tất nhiên, ta vẫn có thể sử dụng thủ thuật đã dùng trong c/m trên để c/m mọi ma trận chuẩn tắc đều chéo hóa được. Đây là một bài tập hay cho bạn nào tò mò.

Chia sẻ:

  • Facebook
  • X
Thích Đang tải...

Có liên quan

Từ khóa » định Lý Schur