Các Bài Tập Về Vecto Riêng, Giá Trị Riêng, Chéo Hóa Ma Trận Và Lời Giải

Nguyễn Thị Vân BÀI TẬP TOÁN III ĐSTT – BUỔI 4 "Mathematics is like love, a simple idea, but it can get complicated." PHẦN 7: + Cách tìm giá trị riêng, vectơ riêng + Chéo hoá ma trậ

Nguyễn Thị Vân

BÀI TẬP TOÁN III (ĐSTT) – BUỔI 4

"Mathematics is like love, a simple idea, but it can get complicated."

PHẦN 7:

+ Cách tìm giá trị riêng, vectơ riêng

+ Chéo hoá ma trận

+ Ứng dụng của chéo hóa ma trận trong việc tính lũy thừa ma trận

1 Tìm giá trị riêng, vectơ riêng của mỗi ma trận dưới đây:

3 24 1 ; 3 −11 1 ; 1−2 31 ;

0 5 −1 ;

0 1 −1 ;

Đs: + Giá trị riêng là: 5, -1 các vectơ riêng tương ứng: (1, 1); (1, -2)

+ Giá trị riêng là: 2; vectơ riêng là: (1, 1)

+ Chỉ có giá trị riêng là số phức: 2+ i, 2 - i; các vectơ riêng tương ứng là (1, 1+i), (1, 1- i)

+ Các giá trị riêng là: 1, 4, -2 các vectơ riêng (1, 0, 0), (1,1,1), (-1, -1, 5)

+ Giá trị riêng là -1, vectơ riêng (1, 0, 1);

2.(5T337) Tìm các giá trị riêng của các ma trận A, B và A + B :

1 0

1 1

= ⎢⎣ ⎥⎦, B= ⎢⎡⎣1 10 1⎤⎥⎦ và A B+ = ⎢⎡⎣2 11 2⎤⎥⎦

Giá trị riêng của A + B (bằng) (không bằng) giá trị riêng của A cộng với giá trị riêng của B?

Đs: A có giá trị riêng là λ = 1, B có giá trị riêng là λ = 1, A + B có giá trị riêng các là: 1; 3

3 (2T337) (a) Hãy tìm các giá trị riêng và các vectơ riêng của ma trận 1 4

2 3

(b) Điền vào chỗ trống

(+) A I + có các _như A Các giá trị riêng của nó bằng với 1

Nguyễn Thị Vân

(+) A−1 có các như A Các giá trị riêng là

(+) A2009−2A I+ có các như A Các giá trị riêng là

Đs: (a) λ = -1, vectơ riêng tương ứng: (-2, 1) ; λ =5, vectơ riêng tương ứng (1, -1)

4 Cho ma trận A = 1 1

2 2

⎣ ⎦ Tìm tất cả các giá trị riêng của ma trận A

4 + A + 2I

Đs: 2, 86

5 ( 6T337) Tìm các giá trị riêng của các ma trận A, B, AB và BA:

1 0

1 1

= ⎢⎣ ⎥⎦, B= ⎢⎡⎣1 10 1⎤⎥⎦, AB= ⎢⎡⎣1 11 2⎤⎥⎦ và BA= ⎢⎡⎣2 11 2⎤⎥⎦

Giá trị riêng của AB (bằng) (không bằng) giá trị riêng của A nhân với các giá trị riêng của B Giá trị riêng của AB (bằng) (không bằng) giá trị riêng của BA?

Đs: Các giá trị riêng của AB và BA đều là: !! !

! ;!! !

!

6 Kiểm tra tính chéo hóa của ma trận

2 2 2

2 2 2

2 2 2

C

Đs: Ma trận C có đủ 3 vecto riêng độc lập tuyến tính nên chéo hóa được

7 Chéo hoá ma trận A và tính A2009 với A ⎡2 11 2⎤

Đs: A có các giá trị riêng là 1 và 3 Với các vecto riêng tương ứng là (-1, 1) và (1, 1)

𝐴!""# =1

2 3

!""#+ 1 3!""#− 1

3!""#− 1 3!""#+ 1

8 Cho ma trận 2 4

1 5

= ⎢⎣ ⎥⎦

Phân tích A thành S SΛ −1

9 Chéo hoá ma trận B và tính SΛk S− 1 để chứng minh công thức tính B sau đây k

3 1

0 2

= ⎢⎣ ⎥⎦ có 30 3 2 2

k k k k

k

k

k

Nguyễn Thị Vân

PHẦN 8

+ Tính trực giao của bốn không gian tuyến tính

+ Cơ sở trực giao, cơ sở trực chuẩn và phương pháp trực giao hoá Gram-Schmidt

10 Cho hai vecto x = (-1, -1, 1, 1) và y = (1, 1, 5, -3) Chứng minh rằng x và y là trực giao Tính ||x||, ||y||

11 (17.t236) (a) Cho S là không gian con của R3 chỉ chứa vectơ không, hãy tìm S⊥

(b) Cho S là không gian con được sinh bởi (1, 1, 1), hãy tìm S⊥

(c) Cho S là không gian con được sinh bởi (2, 0, 0) và (0, 0, 3), hãy tìm S⊥

Đs: (a) S⊥ = R 3 ;

(b) A= ⇒ =[1 1 1] S C A( T)⇒S⊥=N A( ) có cơ sở là: {(-1,1,0),(-1,0,1)};

(c) A ⎡2 0 0⎤ S C A( T) S⊥ N A( )

0 0 3

12 Cho S là không gian sinh bởi 2 véc tơ (1,2,3) và (0,1,2) Tìm cơ sở và số chiều của không

gian S⊥

Đs: Cơ sở của S⊥ là {(1, - 2, 1)} dim S⊥ =1

13 Giả sử P là không gian nghiệm của phương trình x – 3y – 4z = 0

(a) Tìm một cơ sở của P

(b) Tìm một vectơ u∈P và một vectơ v∈ P⊥ sao cho u + v = (6, 4, 5)

Đs: (a) s1 =(3,1,0);s2 =(4,0,1)

(b)

−

= ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥

14 Cho các vectơ v1 = (1, 0, -2, 1), v2 = (0, 1, 3, −2) Ký hiệu W là không gian con của R4

gồm tất cả những tổ hợp tuyến tính của v1, v2

(a) Hãy tìm W⊥ (b) Tính số chiều của W⊥

Đs: A = T 1 0 2 1

−

⎣ ⎦ ; Ta thấy W = C(A) nên W

⊥=N(A ) Số chiều của W T ⊥ bằng 2

16 (18.t280) Hãy tìm các vectơ trực giao A, B, C bằng phương pháp Gram-Schmidt từ a, b ,

Nguyễn Thị Vân

c:

a = (1, −1, 0, 0) b = (0, 1, −1, 0) c = (0, 0, 1, −1)

Đs: (+) A = (1, -1, 0, 0); B = (1/2, 1/2, -1, 0); C = (1/3, 1/3, 1/3, -1)

16 Cho các vectơ v1 = (1, 0, 0, 0), v2 = (2, 1, 0, 0), v3 = (3, 2, 1, 0)

(a) Chứng minh rằng v1 , v2, v3 độc lập tuyến tính

(b) Dùng phương pháp trực giao hóa Gram- Schmidt xây dựng tập trực giao {u1 , u2, u3} từ

{v1, v2, v3}

17 S là không gian nghiệm của phương trình: x1+2x2− − =x3 x4 0

(a) Tìm một cơ sở của S? Dùng phương pháp Gram – Schmidt xây dựng cơ sở trực giao từ

cơ sở đó

(b) Tìm một cơ sở của phần bù trực giao S⊥?

Đs:

(a) Cơ sở của S là { ( − 2,1,0,0 , 1,0,1,0 , 1,0,0,1 ) ( ) ( ) }

Cơ sở trực giao của S là ( 2,1,0,0 ; ) 1 2 , , 1, 0 ; 1 1 , , 1 , 1

b) Cơ sở của S⊥ = C A ( )T là

1 2 1 1

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥ −

⎢ ⎥ −

⎣ ⎦

18 Tìm một cơ sở trực chuẩn của không gian cột của ma trận

1 2 0

A

4

= 0 5⎢ ⎥

⎢ 0 3 6 ⎥

Đs: Cơ sở trực chuẩn của C(A) là

u !"!1

u !"1 = 1,0,0 ( ) ; u2

!"!

u2

!"! = 0, 0, 1 ( ) ; u3

!"!

u !"!3 = 0, 1, 0 ( )

HƯỚNG DẪN GIẢI:

2 *

2 2 2

Nguyễn Thị Vân

* Giá trị riêng của A + B không bằng giá trị riêng của A cộng với giá trị riêng của B

3 Các giá trị riêng của A là nghiệm của phương trình det(A - λI) = 0

λ

−

λ= − 1:

( A − (−1)I) = 2 4

2 4

⎡

⎣

⎦

⎥⎡ x y

⎣

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥= 00

⎡

⎣

⎦

⎥ → x =⎡ −21

⎣

⎦

⎥;

y

λ= − ⎡⎢ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⇔ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ≠

−

Các giá trị riêng của A + I là nghiệm của phương trình det(A+ I - λI) = 0

λ

−

x =

x =

1

-1

λ

λ

⎡ ⎤

⎣ ⎦

A+I có các vectơ riêng chính là các vectơ riêng của A Các giá trị riêng của nó bằng các giá

trị riêng của A cộng với 1

4 det ( A − λ I ) = → = 0 λ1 0; λ2 = 3

λ, v

!

là các giá trị riêng và véc tơ riêng nên thỏa mãn Av!=λv!

Đặt µ λ = 4 + + λ 2 ta có

µv!

= (λ4+λ+ 2) v"! = A( 4+ A+ 2I)v!

nên µ λ = 4 + + λ 2là giá trị riêng của ma trận của A4 + + A 2 I Do đó µ1 = 2; µ2 = 86

5

Nguyễn Thị Vân

*

2 2 2 2

* Giá trị riêng của AB không bằng giá trị riêng của A nhân với các giá trị riêng của B Giá

trị riêng của AB bằng giá trị riêng của BA

6

3

2

3

1

1

x

λ

λ λ

λ

−

−

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

Ma trận C chéo hóa được vì có đủ 3 véc tơ riêng độc lập

7

det( A−λI) = 2 − λ 1

1 2−λ = (2 −λ)

2−1= 0 ⇔λ = 1,λ = 3;

2

2009 2009

2009

2009 2009 2009

-1

1

1

1

1

x =

x =

A

λ

λ

λ

−

−

⎡ ⎤

⎣ ⎦

⎡ ⎤

⎣ ⎦

=

1

10 a) S⊥ = R 3

Nguyễn Thị Vân

b) A= ⇒ =[1 1 1] S C A( T)⇒S⊥ =N A( ) có cơ sở là: {(-1,1,0),(-1,0,1)}

c) A ⎡2 0 0⎤ S C A( T) S⊥ N A( )

0 0 3

12

1 0

2 1

3 2

A

S⊥ =N A( T) 1 2 3

0 1 2

T

T

A y= → x3 = → = − → =1 x2 2 x1 1

Vậy cơ sở của S⊥ là {(1, - 2, 1)} dim S⊥ =1

13 a)Gọi A= − − ⇒[1 3 4] Cơ sở của P= N(A ) gồm 2 nghiệm đặc biệt :

1 (3,1,0); 2 (4,0,1)

b) P⊥ =C A( T) có cơ sở là {(1,-3,-4)} Từ

suy ra a =1,b =1, c = -1

Do đó

−

= ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥

14 Ta thấy W = C(A) nên W⊥=N(A ) T

T

A = 1 0 2 1

−

⎣ ⎦ nên nghiệm tự do là x3, x4 Nghiệm đặc biệt của A là cơ sở của W T ⊥

1 (2, 3,1,0); 2 1,2,0,1

s = − s = − Số chiều của W⊥ bằng 2

15 +) a = (1, -1, 0, 0)

+) B = xA + b = (x, - x + 1, -1, 0)

B.A = 0 ⇒ 2x – 1 = 0 ⇒x = 1/2 Vậy B = (1/2, 1/2, -1, 0)

+) C= yA + zB + c = ( y + z/2, - y + z/2, - z + 1, -1)

CA = 0 và CB = 0 nên y = 0, z = 2/3 Vậy C = (1/3, 1/3, 1/3, -1)

Nguyễn Thị Vân

16 a) Xét ma trận [ ]

1 2 3

v ,v ,v

A

r(A) = 3 nên các véc tơ v1, v2, v3 độc

lập tuyến tính

b)

u!"!1

= v!"!1

u!"!2

= v!#!2

!"!T

v!"!2

u 1

!"!T

.u !"! u 1 1

! "!

u!"!3

= v!"!3

!"!T

v! "!3

u!"!1 T

.u !"! u 1 !"1 - u 2

!"!T

v!"

3

u"

2

T

.u"

2

u

!"

2

17 (a) S N A = ( ) Cơ sở của S là tập tất cả các nghiệm đặc biệt của phương trình

{ − 2,1,0,0 , 1,0,1,0 , 1,0,0,1 }

u 1

!"!

= v!"!1

= −2,1,0,0( )

u !"!2

= v !#!2

- u1

!"!T

v !"!2

u1

!"!T

.u !"! u1 1

! " !

= 1,0,1,0 ( ) - −2

5 ( −2,1,0,0 ) = 1

5 ,

2

5 , 1, 0

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

u !"!3

= v !"!3

- u1

!"!T

v ! "!3

u1

!"!T

.u !"! u1 !"1 - u2

!"!T

v !"

3

u "

2

T

.u "

2

u

!"

2

= 1,0,0,1 ( ) - −2

5 ( −2,1,0,0 )

-1 5 6 5

1

5 ,

2

5 , 1, 0

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

1

6 ,

1

3 , − 1

6 , 1

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

b) Cơ sở của S⊥ = C A ( )T là

1 2 1 1

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥ −

⎢ ⎥ −

⎣ ⎦

18 Do r (A) =3 nên không gian cột của A có các cơ sở là

Nguyễn Thị Vân

v 1

!"!

= 1, 0,0( ); v!#!2

= 2,0,3( ); v!"!3

= 4,5, 6( )

u !"!1

= v !"!1

= 1,0,0 ( )

u !"!2

= 2,0,3 ( ) - 2

1 ( ) 1,0,0 = 0, 0, 3 ( )

u !"!3

= 4,5,6 ( ) - 4

1 ( ) 1,0,0 - 18

9 ( 0,0,3 ) = 0, 5, 0 ( )

Cơ sở trực chuẩn của C(A) là

u !"!1

u1

!" = 1,0,0 ( ) ; u2

!"!

u2

!"! = 0, 0, 1 ( ) ; u3

!"!

u !"!3 = 0, 1, 0 ( )