Trị Riêng, Vectơ Riêng Của Ma Trận (Eigenvalues And Eigenvectors)
Có thể bạn quan tâm
1.6. Tính chất:
Hệ các VTR ứng với các GTR đôi một khác nhau thì độc lập tuyến tính
Chứng minh
Giả sử A có m GTR khác nhau từng đôi một là . Ứng với m GTR là các VTR: .
Giả sử số vectơ độc lập tuyến tính tối đại trong U là r. Khi đó
Ta cần chứng minh r = m.
Thật vậy, giả sử r < m . Không mất tính tổng quát, giả sử hệ độc lập tuyến tính là r vectơ đầu.
Khi đó: là tổ hợp tuyến tính của hệ r vectơ trên. Hay:
Suy ra:
Mặt khác:
Lấy (*) – (**) ta có:
Do hệ độc lập tuyến tính nên:
Mặt khác: các GTR khác nhau từng đôi một nên:
Do đó:
Suy ra:
Vậy điều giả sử sai. Hay ta có r = m
Nghĩa là hệ gồm m VTR ứng với m GTR đôi một khác nhau có số vectơ độc lập tuyến tính là m nên hệ đã cho là đltt.
II. Chéo hóa ma trận:
2.1. Ma trận đồng dạng:
Hai ma trận A, B vuông cấp n được gọi là đồng dạng nếu tốn tại 1 ma trận không suy biến S sao cho: . Ký hiệu A ~ B
2.2. Tính chất:
Hai ma trận đồng dạng có cùng 1 đa thức đặc trưng
Chứng minh:
Do: nên ta có:
2.3. Ma trận chéo hóa được:
Ma trận A được gọi là ma trận chéo hóa được nếu nó đồng dạng với ma trận chéo. (nghĩa là: A được gọi là chéo hóa được nếu tồn tại ma trận không suy biến P sao cho: , với D là 1 ma trận chéo).
Khi đó, P được gọi là ma trận làm chéo hóa ma trận A, D là dạng chéo của ma trận A.
Ví dụ: Cho . Ma trận là ma trận không suy biến có:
Khi đó, ta dễ dàng có được:
Khi nào ma trận A chéo hóa được? Làm sao tìm được ma trận C làm chéo hóa ma trận A?
2.4. Định lý:
Điều kiện cần và đủ để ma trận A chéo hóa được là nó có n vectơ riêng độc lập tuyến tính
2.5. Hệ quả:
1. Nếu ma trận A vuông cấp n có đủ n GTR đôi một khác nhau thì A chéo hóa được.
2. Ứng với mỗi GTR bội k phải có đủ k VTR độc lập tuyến tính (Cơ sở của không gian con riêng ứng với GTR đó phải có k vecto)
2.6. Ma trận làm chéo hóa ma trận A. Và dạng chéo của ma trận A:
Nếu ma trận A chéo hóa được thì tồn tại ma trận P làm chéo hóa ma trận A, nghĩa là:
Mà D là ma trận chéo nên D có dạng:
Bây giờ, ta ký hiệu cột thứ i của ma trận P là thì ta dễ dàng nhận thấy cột thứ i của ma trận tích AP sẽ là và cột thứ i của ma trận PD sẽ là
Mà 2 ma trận bằng nhau khi các phần tử tương ứng bằng nhau. Do đó, ta có:
Do đó, theo định nghĩa của GTR, VTR ta có là VTR ứng với GTR
Vậy P là ma trận gồm các VTR và D là ma trận gồm các GTR được xác định như sau:
Cột thứ i của ma trận P là VTR ứng với GTR thứ i.
Cột thứ i của ma trận D có phần tử
2.7. Các ví dụ ứng dụng:
Ví dụ 1: Chứng tỏ rằng ma trận A chéo hóa được và tìm ma trận làm chéo hóa ma trận A và dạng chéo của nó:
Theo ví dụ 3, phần 1 ta có: ma trận A có các GTR lần lượt là:
Do đó, theo hệ quả 2.5, thì ma trận A là chéo hóa được.
Khi đó: VTR ứng với giá trị riêng có dạng:
VTR ứng với giá trị riêng có dạng:
VTR ứng với giá trị riêng có dạng:
Vậy theo tính chất 1. 6 ma trận A có 3 VTR độc lập tuyến tính là
Như vậy, ta có thể chọn: và dạng chéo của ma trận A tương ứng là . Khi đó:
Ta cũng có thể chọn: và dạng chéo của ma trận A tương ứng là
Ví dụ 2: Cho A là ma trận vuông cấp 2 có 2 GTR là 1 và – 2 và 2 VTR tương ứng là (1,0) và (1, -1). Tính:
Giải
Đặt .
Ta tìm được:
Khi đó:
Do đó:
Mặt khác: (theo tính chất của ma trận chéo)
Nên:
Nhận xét: 1 ứng dụng của thuật toán chéo hóa ma trận là giúp chúng ta dễ dàng tính toán được lũy thừa bậc cao của ma trận.
Ứng dụng khác: 1 ứng dụng đặc biệt khác của thuật toán chéo hóa ma trận là giúp chúng ta xây dựng 1 công cụ để giải hệ phương trình vi phân: với . Đây chính là thuật toán Euler trong việc giải hệ phương trình vi phân.
– 1 ứng dụng khác của thuật toán chéo hóa ma trận đó là giúp chúng ta có 1 công cụ hữu hiệu để nghiên cứu các đường bậc 2 và mặt bậc 2 trong không gian 3 chiều.
Tình huống:
Đánh giá:
Chia sẻ:
- In
Trang: 1 2
Thảo luận
37 bình luận về “Trị riêng, vectơ riêng của ma trận (Eigenvalues and Eigenvectors)”
Bình luận về bài viết này Hủy trả lời
Từ khóa » Bài Tập Ma Trận Chéo
-
Phương Pháp Chéo Hóa Ma Trận Vuông - YouTube
-
26) Toán 2 - Chéo Hóa Ma Trận Vuông - YouTube
-
Câu 1: Chéo Hóa Ma Trận A Sau Nếu Có Thể: Tính Giải - Quê Hương
-
Các Bài Tập Về Vecto Riêng, Giá Trị Riêng, Chéo Hóa Ma Trận Và Lời Giải
-
Bài Tập Chéo Hóa Ma Trận Vuông, Trực Giao Hóa Gram-schmidt.
-
Giá Trị Riêng- Vector Riêng – Bài Tập Và Lời Giải - TTnguyen
-
Ôn Tập Chéo Hoá Ma Trận - Addad - StuDocu
-
[PDF] BÀI TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 1. MA TRẬN. 1.1. Cho A ... - FITA-VNUA
-
Giá Trị Riêng Của Ma Trận Và Của Phép Biến đổi Tuyến Tính - Chéo Hóa
-
[DOC] Hướng Dẫn Giải Bài Tập Chương 1
-
Toán Cao-cấp-1 - SlideShare
-
Chương 4: Chéo Hóa Ma Trận - Dạng Toàn Phương - Tài Liệu - Ebook
-
[PDF] Toán A2: đại Số Tuyến Tính - Chương I Ma Trận - định Thức
Chỉ dùm bài tập:Cho ma trận thực A cấp 2 X1,X2 là hai vecto cột ĐLTT.Biết A.X1=X2,A.X2=X1.Tìm tất cả trị riêng và vecto riêng của A^100
ThíchThích
Posted by Thanh | 02/02/2015, 22:09 Reply to this commentEm có: . Suy ra: . Hay: . Bằng cách quy nạp em sẽ có: Vậy . Từ đó dễ dàng tìm trị riêng và ve1cto riêng.
ThíchThích
Posted by 2Bo02B | 09/03/2015, 11:15 Reply to this comment