Các Dạng Toán Về Căn Bậc 2, Căn Bậc 3 Và Cách Giải - Toán Lớp 9

Có thể bạn quan tâm

Để giải các dạng bài tập về căn bậc 2, căn bậc 3 thì các em cần nắm vững phần nội dung lý thuyết cùng các dạng bài tập về căn bậc 2 và bậc 3. Bài viết dưới đây sẽ hệ thống lại các dạng toán về căn bậc 2 và căn bậc 3 thường gặp để các em có thể nắm vững nội dung này.

A. Kiến thức cần nhớ về căn bậc 2 căn bậc 3

I. Căn bậc 2

1. Căn bậc 2 là gì?

- Định nghĩa: Căn bậc hai của 1 số không âm a là số x sao cho x2 = a.

- Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau: Số dương kí hiệu là small sqrt{a} , số âm kí hiệu là small -sqrt{a} .

- Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0, ta viết small sqrt{0}=0

- Với số dương a, số small sqrt{a} là căn bậc hai số học của a. Số 0 cũng là căn bậc hai số học của 0.

2. Tính chất của căn thức bậc 2

a) sqrt{A} có nghĩa khi A ≥0.

b) $small dpi{100} fn_cm small sqrt{A^{2}}=left | A ight |=left{egin{matrix} A,(Ageq 0) -A,(A< 0) end{matrix} ight.$

c) small sqrt{A.B}=sqrt{A}.sqrt{B},(Ageq 0,Bgeq 0)

d) $small sqrt{frac{A}{B}}=frac{sqrt{A}}{sqrt{B}},(Ageq 0,B> 0)$

3. Các phép biến đổi căn thức bậc 2 cơ bản

a) $small dpi{100} fn_cm small sqrt{A^{2}B}=left | A ight |sqrt{B},(Bgeq 0)$

• $small Ageq 0:A.sqrt{B}=sqrt{A^{2}B}$

• $small A< 0:A.sqrt{B}=-sqrt{A^{2}B}$

b) $small sqrt{frac{A}{B}}=sqrt{frac{AB}{B^{2}}}=frac{1}{left | B ight |}sqrt{AB},$ small (ABgeq 0,B eq 0)

c) $small frac{A}{sqrt{B}}=frac{Asqrt{B}}{B},(B> 0)$

d) $small frac{1}{sqrt{A}pm sqrt{B}}=frac{sqrt{A}mp sqrt{B}}{A-B},$ small (A,Bgeq 0;A eq B)

e) $small A+Bpm 2sqrt{AB}=(sqrt{A}pm sqrt{B})^{2},$ small (Ageq 0,Bgeq 0)

f) $small A+B^{2}pm 2Bsqrt{A}=(sqrt{A}pm B)^{2},$ (Ageq 0)

II. Căn bậc 3

1. Căn bậc là gì?

- Định nghĩa: Căn bậc ba của một số a là số x sao cho x3 = a.

2. Tính chất của căn bậc 3

- Mọi số a đề có duy nhất một căn bậc 3.

• small A< BLeftrightarrow sqrt[3]{A}< sqrt[3]{B}

• small sqrt[3]{A.B}=sqrt[3]{A}.sqrt[3]{B}

• $small sqrt[3]{frac{A}{B}}=frac{sqrt[3]{A}}{sqrt[3]{B}},(B eq 0)$

hayhochoi

B. Các dạng toán về căn bậc 2 căn bậc 3

• Dạng 1: Tìm điều kiện của biến để biểu thức có nghĩa

* Phương pháp

sqrt{A} có nghĩa khi A ≥0.

$frac{1}{sqrt{A}}$ có nghĩa khi A>0

- Giải bất phương trình để tìm giá trị của biến

Ví dụ: Tìm giá trị của x để biểu thức sau có nghĩa

1. sqrt{5-2x}

* Hướng dẫn: sqrt{5-2x} có nghĩa khi (5-2x)≥0

⇔ 5 ≥ 2x ⇔ x ≤ $frac{5}{2}$

2. sqrt{3x-12}

* Hướng dẫn: sqrt{3x-12} có nghĩa khi (3x-12)≥0

⇔ 3x ≥ 12 ⇔ x ≥ 4

3. $sqrt{frac{2}{x^{2}}}$

* Hướng dẫn: $sqrt{frac{2}{x^{2}}}$ có nghĩa khi x2 > 0 ⇔ x > 0

4. $sqrt{frac{-1}{3x-6}}$

* Hướng dẫn: căn thức có nghĩa khi $left ( frac{-1}{3x-6} ight )geq 0$

⇔ 3x - 6 < 0 ⇔ x < 2

• Dạng 2: Rút gọn biểu thức chứa căn thức

* Phương pháp

- Vận dụng hằng đẳng thức để rút gọn: $small sqrt{A^{2}}=left | A ight |=left{egin{matrix} A,(Ageq 0) -A,(A< 0) end{matrix} ight.$

Ví dụ: Rút gọn các biểu thức sau

1. $sqrt{left ( 2-sqrt{3}^{} ight )^{2}}$

* Hướng dẫn:

- Ta có: $small sqrt{left ( 2-sqrt{3} ight )^{2}}=left | 2-sqrt{3} ight |=2-sqrt{3}$

vì small 2=sqrt{4}> sqrt{3}

2. $sqrt{left ( 3-sqrt{11}^{} ight )^{2}}$

* Hướng dẫn:

- Ta có: $small sqrt{left ( 3-sqrt{11} ight )^{2}}=left | 3-sqrt{11} ight |=sqrt{11}-3$

- Vì small sqrt{11}> sqrt{9}=3

• Dạng 3: Thực hiện phép tính rút gọn biểu thức

* Phương pháp

- Vận dụng các phép biến đổi và đặt nhân tử chung

Ví dụ: Rút gọn các biểu thức sau

1. 3{sqrt{50}}-5sqrt{18}+2sqrt{72}

* Hướng dẫn:

- Ta có: small 3sqrt{50}-5sqrt{18}+2sqrt{72}

= small 3sqrt{25.2}-5sqrt{9.2}+2sqrt{36.2}

= 3.5{sqrt{2}}-5.3sqrt{2}+2.6sqrt{2}= 15{sqrt{2}}-15sqrt{2}+12sqrt{2}=12sqrt{2}

2. $frac{xsqrt{x}-ysqrt{y}}{sqrt{x}-sqrt{y}} ; xgeq 0;ygeq 0;x eq y$

* Hướng dẫn:

- Ta có: $frac{xsqrt{x}-ysqrt{y}}{sqrt{x}-sqrt{y}} =frac{sqrt{x^{3}}-sqrt{y^{3}}}{sqrt{x}-sqrt{y}}$

$=frac{left ( sqrt{x}-sqrt{y} ight )(sqrt{x^{2}}+sqrt{xy}+sqrt{y^{2}})}{sqrt{x}-sqrt{y}}$

$=sqrt{x^{2}}+sqrt{xy}+sqrt{y^{2}}$

• Dạng 4: Giải phương trình có chứa căn thức

+ Dạng: $small sqrt{A}=BLeftrightarrow A=B^{2}$ (nếu B>0).

+ Dạng: $small sqrt{A}=BLeftrightarrow left{egin{matrix} Bgeq 0 A=B^{2} end{matrix} ight.$ (nếu B là một biểu thức chứa biến)

+ Dạng: small sqrt{A}=sqrt{B}Leftrightarrow left{egin{matrix} A=B Ageq 0 end{matrix} ight.

+ Dạng: $small sqrt{A^{2}}=B$ , ta đưa về dạng phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối: $small sqrt{A^{2}}=B$ small Leftrightarrow left | A ight |=B

° Trường hợp 1: Nếu B là một số dương thì: small left | A ight |=BLeftrightarrow left [ egin{matrix} A=B -A=B end{matrix}

° Trường hợp 2: Nế B là một biểu thức chứa biến thì: small left | A ight |=BLeftrightarrow left{egin{matrix} Bgeq 0 A=pm B end{matrix} ight.

Ví dụ: Giải phương trình sau

1. sqrt{16x}=8

* Hướng dẫn: Để căn thức có nghĩa khi x ≥ 0

sqrt{16x}=8 Leftrightarrow 4sqrt{x}=8Leftrightarrow sqrt{x}=2Leftrightarrow x=4

- Kết luận: x=4 là nghiệm

2. sqrt{9(x-1)}=21

* Hướng dẫn: Để căn thức có nghĩa khi x ≥ 1, ta có

sqrt{9(x-1)}=21Leftrightarrow 3sqrt{x-1}=21

Leftrightarrow sqrt{x-1}=7 Leftrightarrow x-1 = 49 Leftrightarrow x = 50

• Dạng 5: Chứng minh các đẳng thức

* Phương pháp:

- Thực hiện các phép biến đổi đẳng thức chứa căn bậc 2

- Vận dụng phương pháp chứng minh đẳng thức A = B

+ Chứng minh A = C và B = C

+ Biến đổi A về B hoặc B về A (tức A = B)

* Ví dụ: Chứng minh đẳng thức

1. ${(sqrt{3}-1)^{2}}=4-2sqrt{3}$

* Hướng dẫn:

- Ta có: $VT={(sqrt{3}-1)^{2}}=(sqrt{3})^{2}-2sqrt{3}+(1)^{2}$

= 4-2sqrt{3}=VP

- Vậy ta có điều cần chứng minh

2. sqrt{4-2sqrt{3}}-sqrt{3}=-1

* Hướng dẫn:

- Ta có: $sqrt{4-2sqrt{3}}=sqrt{(sqrt{}3)^{2}-2sqrt{3}+(1)^{2}}$

$=sqrt{(sqrt{3}-1)^{2}}=left | sqrt{3}-1 ight |=sqrt{3}-1$

- Thay vào vết trái ta có:

VT=sqrt{3}-1-sqrt{3}=-1=VP

- Ta được điều cần chứng minh.

C. Bài tập về Căn bậc 2, Căn bậc 3

* Bài 2 (trang 6 SGK Toán 9 Tập 1): So sánh:

a) 2 và √3; b) 6 và √41; c) 7 và √47

* Lời giải bài 2 trang 6 SGK Toán 9 Tập 1:

a) Ta có: 2 = √4 mà 4 > 3 ⇒ √4 > √3 (Định lý)

- Kết luận: small 2> sqrt{3}

b) Ta có: 6 = √36 mà 36 < 41 ⇒ √36 < √41

- Kết luận: small 6< sqrt{41}

c) Ta có: 7 = √49 mà 49 > 47 ⇒ √49 > √47

- Kết luận: small 7> sqrt{47}

* Bài 4 (trang 7 SGK Toán 9 Tập 1): Tìm số x không âm, biết:

a) small sqrt{x}=15 b) small 2sqrt{x}=14

c) small sqrt{x}< sqrt{2} d) $small dpi{100} fn_cm small sqrt{2x}< 4$

* Lời giải bài 4 trang 7 SGK Toán 9 Tập 1:

- Lưu ý: Vì x không âm (tức là x ≥ 0) nên các căn thức trong bài đều xác định.

a) small sqrt{x}=15

- Vì x ≥ 0 nên bình phương hai vế ta được: x = 152 ⇔ x = 225

- Kết luận: x = 225

b) small 2sqrt{x}=14 ⇔ small sqrt{x}=7

- Vì x ≥ 0 nên bình phương hai vế ta được: x = 72 ⇔ x = 49

- Kết luận: x = 49

c) small sqrt{x}< sqrt{2}

- Vì x ≥ 0 nên bình phương hai vế ta được: x < 2

- Kết luận: 0 ≤ x < 2

d) $small dpi{100} fn_cm small sqrt{2x}< 4$

- Vì x ≥ 0 nên bình phương hai vế ta được: 2x < 16 ⇔ x < 8

- Kết luận: 0 ≤ x < 8

* Bài 6 (trang 10 SGK Toán 9 Tập 1): Với giá trị nào của a thì mỗi căn thức sau có nghĩa:

a) $small sqrt{frac{a}{3}}$ b) small sqrt{-5a} c) small sqrt{4-a} d) small sqrt{3a+7}

* Lời giải bài 6 trang 10 SGK Toán 9 Tập 1:

a) Điều kiện xác định cả $small sqrt{frac{a}{3}}$ là $small frac{a}{3}geq 0Leftrightarrow ageq 0$

b) Tương tự: -5a ≥ 0 ⇔ a ≤ 0

c) Tương tự: 4 – a ≥ 0 ⇔ -a ≥ -4 = > a ≤ 4

d) Tương tự: 3a + 7 ≥ 0 ⇔ 3a ≥ -7 ⇔ a ≥ -7/3.

* Bài 7 (trang 10 SGK Toán 9 Tập 1): Tính:

a) $small sqrt{left (0,1 ight )^{2}}$ b) $small sqrt{left (-0,3 ight )^{2}}$ c) $small -sqrt{left (-1,3 ight )^{2}}$ d) $small -0,4sqrt{left (-0,4 ight )^{2}}$

* Lời giải bài 7 trang 10 SGK Toán 9 Tập 1:

a) Ta có: $small sqrt{(0,1)^{2}}=left | 0,1 ight |=0,1$ $small sqrt{left (0,1 ight )^{2}}$ small =left | 0,1 ight |=0,1

b) Ta có: $small small sqrt{left (-0,3 ight )^{2}}=left | -0,3 ight |=0,3$

c) Ta có: $small -sqrt{left (-1,3 ight )^{2}}$ small =-left | -1,3 ight |=-1,3

d) Ta có: $small -0,4sqrt{left (-0,4 ight )^{2}}$ small =-0,4left | -0,4 ight |=-0,4.0,4=-0,16

* Bài 8 (trang 10 SGK Toán 9 Tập 1): Rút gọn các biểu thức sau:

a) $small sqrt{left (2-sqrt{3} ight )^{2}}$ b) $small sqrt{left (3-sqrt{11} ight )^{2}}$

c) $small 2sqrt{a^{2}}$ với a≥0. d) $small 3sqrt{(a-2)^{2}}$ với a<2.

* Lời giải bài 8 trang 10 SGK Toán 9 Tập 1:

a) $small sqrt{left (2-sqrt{3} ight )^{2}}$ small =left |2-sqrt{3} ight |=2-sqrt{3} (vì small 2-sqrt{3} > 0 do small 2=sqrt{4} > sqrt{3} )

b) $small sqrt{left (3-sqrt{11} ight )^{2}}$ small =left | 3-sqrt{11} ight |=sqrt{11}-3 (vì √11 - 3 > 0 do 3 = √9 mà √11 > √9)

c) 2√a2 = 2|a| = 2a với a ≥ 0

d) $small 3sqrt{(a-2)^{2}}$ small =3left | a-2 ight |=3(2-a) (vì a < 2 nên 2 – a > 0)

* Bài 9 (trang 11 SGK Toán 9 Tập 1): Tìm x biết:

a) $small sqrt{x^{2}}=7$ b) $small sqrt{x^{2}}=left | -8 ight |$ c) $small sqrt{4x^{2}}=16$ d) $small sqrt{9x^{2}}=left |-12 ight |$

* Lời giải bài 9 trang 11 SGK Toán 9 Tập 1:

a) $small sqrt{x^{2}}=7Leftrightarrow left | x ight |=7$ small Leftrightarrow left [ egin{matrix} x=7 x=-7 end{matrix}

b) $small sqrt{x^{2}}=left | -8 ight |Leftrightarrow sqrt{x^{2}}=8$ small Leftrightarrow left | x ight |=8Leftrightarrow left [ egin{matrix} x=8 x=-8 end{matrix}

c) $small sqrt{4x^{2}}=6Leftrightarrow small sqrt{left (2x ight )^{2}}=6$ small Leftrightarrow left | 2x ight |=6Leftrightarrow left |x ight |=3 small Leftrightarrow left [ egin{matrix} x=3 x=-3 end{matrix}

d) $small sqrt{9x^{2}}=left | -12 ight |Leftrightarrow sqrt{(3x)^{2}}=12$ small Leftrightarrow left | 3x ight |=12Leftrightarrow left | x ight |=4 small Leftrightarrow left [ egin{matrix} x=4 x=-4 end{matrix}

* Bài 10 (trang 11 SGK Toán 9 Tập 1): Chứng minh:

a) $small left ( sqrt{3}-1 ight )^{2}=4-2sqrt{3}$

b) small sqrt{4-2sqrt{3}}-sqrt{3}=-1

* Lời giải bài 10 trang 11 SGK Toán 9 Tập 1:

a) Ta có: VT = (√3 - 1)2 = (√3)2 - 2√3 + 1 = 3 - 2√3 + 1 = 4 - 2√3 = VP

⇒ (√3 - 1)2 = 4 - 2√3 (đpcm)

b) Ta có: small VT=sqrt{4-2sqrt{3}}-sqrt{3} $small =sqrt{(sqrt{3})^{2}-2sqrt{3}+1^{2}}-sqrt{3}$

$small =sqrt{(sqrt{3}-1)^{2}}-sqrt{3}$ small =left | sqrt{3}-1 ight |-sqrt{3} small =sqrt{3}-1-sqrt{3}=-1 = VP (đpcm).

* Bài 14 (trang 11 SGK Toán 9 Tập 1): Phân tích thành nhân tử:

a) x2 – 3. b) x2 – 6 c) x2 + 2√3 x + 3. d) x2 - 2√5 x + 5

* Lời giải bài 14 trang 11 SGK Toán 9 Tập 1:

a) x2 - 3 = x2 - (√3)2 = (x - √3)(x + √3)

b) x2 - 6 = x2 - (√6)2 = (x - √6)(x + √6)

c) x2 + 2√3.x + 3 = x2 + 2√3.x + (√3)2 = (x + √3)2

d) x2 - 2√5.x + 5 = x2 - 2√5.x + (√5)2 = (x - √5)2

* Bài 67 (trang 36 SGK Toán 9 Tập 1): Hãy tìm small sqrt[3]{512} ; small sqrt[3]{-729} ; small sqrt[3]{0,064} ; small sqrt[3]{-0,216} ; small sqrt[3]{-0,008}

* Lời giải bài 67 trang 36 SGK Toán 9 Tập 1:

- Ta có: $small dpi{100} fn_cm small sqrt[3]{512}=sqrt[3]{8^{3}}=8$

- Ta có: $small dpi{100} fn_cm small sqrt[3]{-729}$ $small =sqrt[3]{(-9)^{3}}=-9$

- Ta có: $small dpi{100} fn_cm small sqrt[3]{0,064}$ $small =sqrt[3]{left (0,4 ight )^{3}}=0,4$

- Ta có: $small dpi{100} fn_cm small sqrt[3]{-0,216}$ $small =sqrt[3]{left (-0,6 ight )^{3}}=-0,6$

- Ta có: $small dpi{100} fn_cm small sqrt[3]{-0,008}$ $small =sqrt[3]{(-0,2)^{3}}=-0,2$

* Lưu ý: Bạn có thể tìm các căn bậc ba ở trên bằng máy tính bỏ túi và ghi nhớ một số lũy thừa bậc 3 của các số < 10: 23 = 8; 33 = 27; 43 = 64; 53 = 125; 63 = 216; 73 = 343; 83 = 512; 93 = 729;

* Bài 68 (trang 36 SGK Toán 9 Tập 1): Tính

a) small sqrt[3]{27}-sqrt[3]{-8}-sqrt[3]{125}

b) $small frac{sqrt[3]{135}}{sqrt[3]{5}}-sqrt[3]{54}.sqrt[3]{4}$

* Lời giải bài 68 trang 36 SGK Toán 9 Tập 1:

a) small sqrt[3]{27}-sqrt[3]{-8}-sqrt[3]{125} $small =sqrt[3]{3^{3}}-sqrt[3]{(-2)^{3}}-sqrt[3]{5^{3}}$ small = 3 - (-2) - 5 = 3 + 2 - 5 = 0

b) $small frac{sqrt[3]{135}}{sqrt[3]{5}}-sqrt[3]{54}.sqrt[3]{4}$ $small = sqrt[3]{frac{135}{5}}-sqrt[3]{54.5}$ small = sqrt[3]{27}-sqrt[3]{216} $small =sqrt[3]{3^{3}}-sqrt[3]{6^{3}}=3-6=-3$

* Bài 69 (trang 36 SGK Toán 9 Tập 1): So sánh

a) 5 và ∛123. b) 5∛6 và 6∛5.

* Lời giải bài 69 trang 36 SGK Toán 9 Tập 1:

a) Ta có: $small 5=sqrt[3]5^{3}{}=sqrt[3]{125}$ > small sqrt[3]{123} ⇒ small 5> sqrt[3]{123}

b) Ta có: $small dpi{100} fn_cm small 5sqrt[3]{6}=sqrt[3]{5^{3}.6}=sqrt[3]{125.6}=sqrt[3]{750}$ ; $small 6sqrt[3]{5}=sqrt[3]{6^{3}.5}=sqrt[3]{216.5}=sqrt[3]{1080}$