Các Dạng Toán Về Căn Bậc 2, Căn Bậc 3 Và Cách Giải - Toán Lớp 9

Có thể bạn quan tâm

Bài viết này sẽ hệ thống lại toàn bộ kiến thức lí thuyết và các dạng bài tập phổ biến về căn bậc hai và căn bậc ba để bạn có thể nắm vững và tự tin giải bài.

A. Kiến thức cần nhớ

I. Căn bậc 2

1. Khái niệm

Căn bậc hai của số không âm $a$ là số $x$ sao cho $x^2=a$ .
Số dương $a$ có hai căn bậc hai là hai số đối nhau, kí hiệu là $\sqrt{a}$ (số dương) và $\sqrt{a}$ (số âm).
Số $0$ có một căn bậc hai là $0$ , kí hiệu là $$\sqrt{0}=0$.$
Căn bậc hai số học của số không âm $a$ là số không âm $x$ sao cho $x^2=a$ , kí hiệu là $\sqrt{a}$ .

2. Các tính chất

$\sqrt{A}$ có nghĩa khi $A\ge 0$ .
$small dpi{100} fn_cm small sqrt{A^{2}}=left | A ight |=left{egin{matrix} A,(Ageq 0) -A,(A< 0) end{matrix} ight.$ .

Với $A,B\ge 0$ , ta có $\sqrt{A\cdot B}=\sqrt{A}\cdot\sqrt{B}$ và $\sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$ .

3. Các phép biến đổi cơ bản

a) $small dpi{100} fn_cm small sqrt{A^{2}B}=left | A ight |sqrt{B},(Bgeq 0)$

• $small Ageq 0:A.sqrt{B}=sqrt{A^{2}B}$

• $small A< 0:A.sqrt{B}=-sqrt{A^{2}B}$

b) $small sqrt{frac{A}{B}}=sqrt{frac{AB}{B^{2}}}=frac{1}{left | B ight |}sqrt{AB},$ small (ABgeq 0,B eq 0)

c) $small frac{A}{sqrt{B}}=frac{Asqrt{B}}{B},(B> 0)$

d) $small frac{1}{sqrt{A}pm sqrt{B}}=frac{sqrt{A}mp sqrt{B}}{A-B},$ small (A,Bgeq 0;A eq B)

e) $small A+Bpm 2sqrt{AB}=(sqrt{A}pm sqrt{B})^{2},$ small (Ageq 0,Bgeq 0)

f) $small A+B^{2}pm 2Bsqrt{A}=(sqrt{A}pm B)^{2},$ (Ageq 0)

II. Căn bậc 3

1. Khái niệm

Căn bậc ba của số $a$ là số $x$ sao cho $x^3=a$ . Mọi số thực $a$ đều có duy nhất một căn bậc ba, kí hiệu là $\sqrt[3]{a}$ .

2. Các tính chất

$\sqrt[3]{A^3}=A$ .
$\sqrt[3]{A}\cdot\sqrt[3]{B}=\sqrt[3]{A\cdot B}$ .
$\frac{\sqrt[3]{A}}{\sqrt[3]{B}}=\sqrt[3]{\frac{A}{B}}$ (với $B\ne 0$ ).

B. Các dạng toán về căn bậc 2 căn bậc 3

Dạng 1: Tìm điều kiện của biến để biểu thức có nghĩa

* Phương pháp

sqrt{A} có nghĩa khi A ≥0.

$frac{1}{sqrt{A}}$ có nghĩa khi A>0

- Giải bất phương trình để tìm giá trị của biến

Ví dụ: Tìm giá trị của x để biểu thức sau có nghĩa

1. sqrt{5-2x}

* Hướng dẫn: sqrt{5-2x} có nghĩa khi (5-2x)≥0

⇔ 5 ≥ 2x ⇔ x ≤ $frac{5}{2}$

2. sqrt{3x-12}

* Hướng dẫn: sqrt{3x-12} có nghĩa khi (3x-12)≥0

⇔ 3x ≥ 12 ⇔ x ≥ 4

3. $sqrt{frac{2}{x^{2}}}$

* Hướng dẫn: $sqrt{frac{2}{x^{2}}}$ có nghĩa khi x2 > 0 ⇔ x > 0

4. $sqrt{frac{-1}{3x-6}}$

* Hướng dẫn: căn thức có nghĩa khi $left ( frac{-1}{3x-6} ight )geq 0$

⇔ 3x - 6 < 0 ⇔ x < 2

Dạng 2: Rút gọn biểu thức chứa căn thức

* Phương pháp

- Vận dụng hằng đẳng thức để rút gọn: $small sqrt{A^{2}}=left | A ight |=left{egin{matrix} A,(Ageq 0) -A,(A< 0) end{matrix} ight.$

Ví dụ: Rút gọn các biểu thức sau

1. $sqrt{left ( 2-sqrt{3}^{} ight )^{2}}$

* Hướng dẫn:

- Ta có: $small sqrt{left ( 2-sqrt{3} ight )^{2}}=left | 2-sqrt{3} ight |=2-sqrt{3}$

vì small 2=sqrt{4}> sqrt{3}

2. $sqrt{left ( 3-sqrt{11}^{} ight )^{2}}$

* Hướng dẫn:

- Ta có: $small sqrt{left ( 3-sqrt{11} ight )^{2}}=left | 3-sqrt{11} ight |=sqrt{11}-3$

- Vì small sqrt{11}> sqrt{9}=3

Dạng 3: Thực hiện phép tính rút gọn biểu thức

* Phương pháp

- Vận dụng các phép biến đổi và đặt nhân tử chung

Ví dụ: Rút gọn các biểu thức sau

1. 3{sqrt{50}}-5sqrt{18}+2sqrt{72}

* Hướng dẫn:

- Ta có: small 3sqrt{50}-5sqrt{18}+2sqrt{72}

= small 3sqrt{25.2}-5sqrt{9.2}+2sqrt{36.2}

= 3.5{sqrt{2}}-5.3sqrt{2}+2.6sqrt{2}= 15{sqrt{2}}-15sqrt{2}+12sqrt{2}=12sqrt{2}

2. $frac{xsqrt{x}-ysqrt{y}}{sqrt{x}-sqrt{y}} ; xgeq 0;ygeq 0;x eq y$

* Hướng dẫn:

- Ta có: $frac{xsqrt{x}-ysqrt{y}}{sqrt{x}-sqrt{y}} =frac{sqrt{x^{3}}-sqrt{y^{3}}}{sqrt{x}-sqrt{y}}$

$=frac{left ( sqrt{x}-sqrt{y} ight )(sqrt{x^{2}}+sqrt{xy}+sqrt{y^{2}})}{sqrt{x}-sqrt{y}}$

$=sqrt{x^{2}}+sqrt{xy}+sqrt{y^{2}}$

Dạng 4: Giải phương trình có chứa căn thức

+ Dạng: $small sqrt{A}=BLeftrightarrow A=B^{2}$ (nếu B>0).

+ Dạng: $small sqrt{A}=BLeftrightarrow left{egin{matrix} Bgeq 0 A=B^{2} end{matrix} ight.$ (nếu B là một biểu thức chứa biến)

+ Dạng: small sqrt{A}=sqrt{B}Leftrightarrow left{egin{matrix} A=B Ageq 0 end{matrix} ight.

+ Dạng: $small sqrt{A^{2}}=B$ , ta đưa về dạng phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối: $small sqrt{A^{2}}=B$ small Leftrightarrow left | A ight |=B

° Trường hợp 1: Nếu B là một số dương thì: small left | A ight |=BLeftrightarrow left [ egin{matrix} A=B -A=B end{matrix}

° Trường hợp 2: Nế B là một biểu thức chứa biến thì: small left | A ight |=BLeftrightarrow left{egin{matrix} Bgeq 0 A=pm B end{matrix} ight.

Ví dụ: Giải phương trình sau

1. sqrt{16x}=8

* Hướng dẫn: Để căn thức có nghĩa khi x ≥ 0

sqrt{16x}=8 Leftrightarrow 4sqrt{x}=8Leftrightarrow sqrt{x}=2Leftrightarrow x=4

- Kết luận: x=4 là nghiệm

2. sqrt{9(x-1)}=21

* Hướng dẫn: Để căn thức có nghĩa khi x ≥ 1, ta có

sqrt{9(x-1)}=21Leftrightarrow 3sqrt{x-1}=21

Leftrightarrow sqrt{x-1}=7 Leftrightarrow x-1 = 49 Leftrightarrow x = 50

Dạng 5: Chứng minh các đẳng thức

* Phương pháp:

- Thực hiện các phép biến đổi đẳng thức chứa căn bậc 2

- Vận dụng phương pháp chứng minh đẳng thức A = B

+ Chứng minh A = C và B = C

+ Biến đổi A về B hoặc B về A (tức A = B)

* Ví dụ: Chứng minh đẳng thức

1. ${(sqrt{3}-1)^{2}}=4-2sqrt{3}$

* Hướng dẫn:

- Ta có: $VT={(sqrt{3}-1)^{2}}=(sqrt{3})^{2}-2sqrt{3}+(1)^{2}$

= 4-2sqrt{3}=VP

- Vậy ta có điều cần chứng minh

2. sqrt{4-2sqrt{3}}-sqrt{3}=-1

* Hướng dẫn:

- Ta có: $sqrt{4-2sqrt{3}}=sqrt{(sqrt{}3)^{2}-2sqrt{3}+(1)^{2}}$

$=sqrt{(sqrt{3}-1)^{2}}=left | sqrt{3}-1 ight |=sqrt{3}-1$

- Thay vào vết trái ta có:

VT=sqrt{3}-1-sqrt{3}=-1=VP

- Ta được điều cần chứng minh.

C. Bài tập về Căn bậc 2, Căn bậc 3

Bài 1: So sánh:

a) 2 và √3; b) 6 và √41; c) 7 và √47

Lời giải:

a) Ta có: 2 = √4 mà 4 > 3 ⇒ √4 > √3 (Định lý)

- Kết luận: small 2> sqrt{3}

b) Ta có: 6 = √36 mà 36 < 41 ⇒ √36 < √41

- Kết luận: small 6< sqrt{41}

c) Ta có: 7 = √49 mà 49 > 47 ⇒ √49 > √47

- Kết luận: small 7> sqrt{47}

Bài 2: Tìm số x không âm, biết:

a) small sqrt{x}=15 b) small 2sqrt{x}=14

c) small sqrt{x}< sqrt{2} d) $small dpi{100} fn_cm small sqrt{2x}< 4$

Lời giải:

- Lưu ý: Vì x không âm (tức là x ≥ 0) nên các căn thức trong bài đều xác định.

a) small sqrt{x}=15

- Vì x ≥ 0 nên bình phương hai vế ta được: x = 152 ⇔ x = 225

- Kết luận: x = 225

b) small 2sqrt{x}=14 ⇔ small sqrt{x}=7

- Vì x ≥ 0 nên bình phương hai vế ta được: x = 72 ⇔ x = 49

- Kết luận: x = 49

c) small sqrt{x}< sqrt{2}

- Vì x ≥ 0 nên bình phương hai vế ta được: x < 2

- Kết luận: 0 ≤ x < 2

d) $small dpi{100} fn_cm small sqrt{2x}< 4$

- Vì x ≥ 0 nên bình phương hai vế ta được: 2x < 16 ⇔ x < 8

- Kết luận: 0 ≤ x < 8

Bài 3: Với giá trị nào của a thì mỗi căn thức sau có nghĩa:

a) $small sqrt{frac{a}{3}}$ b) small sqrt{-5a} c) small sqrt{4-a} d) small sqrt{3a+7}

Lời giải:

a) Điều kiện xác định cả $small sqrt{frac{a}{3}}$ là $small frac{a}{3}geq 0Leftrightarrow ageq 0$

b) Tương tự: -5a ≥ 0 ⇔ a ≤ 0

c) Tương tự: 4 – a ≥ 0 ⇔ -a ≥ -4 = > a ≤ 4

d) Tương tự: 3a + 7 ≥ 0 ⇔ 3a ≥ -7 ⇔ a ≥ -7/3.

Bài 4: Tính:

a) $small sqrt{left (0,1 ight )^{2}}$ b) $small sqrt{left (-0,3 ight )^{2}}$ c) $small -sqrt{left (-1,3 ight )^{2}}$ d) $small -0,4sqrt{left (-0,4 ight )^{2}}$

Lời giải:

a) Ta có: $small sqrt{(0,1)^{2}}=left | 0,1 ight |=0,1$ $small sqrt{left (0,1 ight )^{2}}$ small =left | 0,1 ight |=0,1

b) Ta có: $small small sqrt{left (-0,3 ight )^{2}}=left | -0,3 ight |=0,3$

c) Ta có: $small -sqrt{left (-1,3 ight )^{2}}$ small =-left | -1,3 ight |=-1,3

d) Ta có: $small -0,4sqrt{left (-0,4 ight )^{2}}$ small =-0,4left | -0,4 ight |=-0,4.0,4=-0,16

Bài 5: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $small sqrt{left (2-sqrt{3} ight )^{2}}$ b) $small sqrt{left (3-sqrt{11} ight )^{2}}$

c) $small 2sqrt{a^{2}}$ với a≥0. d) $small 3sqrt{(a-2)^{2}}$ với a<2.

Lời giải:

a) $small sqrt{left (2-sqrt{3} ight )^{2}}$ small =left |2-sqrt{3} ight |=2-sqrt{3} (vì small 2-sqrt{3} > 0 do small 2=sqrt{4} > sqrt{3} )

b) $small sqrt{left (3-sqrt{11} ight )^{2}}$ small =left | 3-sqrt{11} ight |=sqrt{11}-3 (vì √11 - 3 > 0 do 3 = √9 mà √11 > √9)

c) 2√a2 = 2|a| = 2a với a ≥ 0

d) $small 3sqrt{(a-2)^{2}}$ small =3left | a-2 ight |=3(2-a) (vì a < 2 nên 2 – a > 0)

Bài 6: Tìm x biết:

a) $small sqrt{x^{2}}=7$ b) $small sqrt{x^{2}}=left | -8 ight |$ c) $small sqrt{4x^{2}}=16$ d) $small sqrt{9x^{2}}=left |-12 ight |$

Lời giải:

a) $small sqrt{x^{2}}=7Leftrightarrow left | x ight |=7$ small Leftrightarrow left [ egin{matrix} x=7 x=-7 end{matrix}

b) $small sqrt{x^{2}}=left | -8 ight |Leftrightarrow sqrt{x^{2}}=8$ small Leftrightarrow left | x ight |=8Leftrightarrow left [ egin{matrix} x=8 x=-8 end{matrix}

c) $small sqrt{4x^{2}}=6Leftrightarrow small sqrt{left (2x ight )^{2}}=6$ small Leftrightarrow left | 2x ight |=6Leftrightarrow left |x ight |=3 small Leftrightarrow left [ egin{matrix} x=3 x=-3 end{matrix}

d) $small sqrt{9x^{2}}=left | -12 ight |Leftrightarrow sqrt{(3x)^{2}}=12$ small Leftrightarrow left | 3x ight |=12Leftrightarrow left | x ight |=4 small Leftrightarrow left [ egin{matrix} x=4 x=-4 end{matrix}

Bài 7: Chứng minh:

a) $small left ( sqrt{3}-1 ight )^{2}=4-2sqrt{3}$

b) small sqrt{4-2sqrt{3}}-sqrt{3}=-1

Lời giải:

a) Ta có: VT = (√3 - 1)2 = (√3)2 - 2√3 + 1 = 3 - 2√3 + 1 = 4 - 2√3 = VP

⇒ (√3 - 1)2 = 4 - 2√3 (đpcm)

b) Ta có: small VT=sqrt{4-2sqrt{3}}-sqrt{3} $small =sqrt{(sqrt{3})^{2}-2sqrt{3}+1^{2}}-sqrt{3}$

$small =sqrt{(sqrt{3}-1)^{2}}-sqrt{3}$ small =left | sqrt{3}-1 ight |-sqrt{3} small =sqrt{3}-1-sqrt{3}=-1 = VP (đpcm).

Bài 8: Phân tích thành nhân tử:

a) x2 – 3. b) x2 – 6 c) x2 + 2√3 x + 3. d) x2 - 2√5 x + 5

Lời giải:

a) x2 - 3 = x2 - (√3)2 = (x - √3)(x + √3)

b) x2 - 6 = x2 - (√6)2 = (x - √6)(x + √6)

c) x2 + 2√3.x + 3 = x2 + 2√3.x + (√3)2 = (x + √3)2

d) x2 - 2√5.x + 5 = x2 - 2√5.x + (√5)2 = (x - √5)2

Bài 9: Hãy tìm small sqrt[3]{512} ; small sqrt[3]{-729} ; small sqrt[3]{0,064} ; small sqrt[3]{-0,216} ; small sqrt[3]{-0,008}

Lời giải:

- Ta có: $small dpi{100} fn_cm small sqrt[3]{512}=sqrt[3]{8^{3}}=8$

- Ta có: $small dpi{100} fn_cm small sqrt[3]{-729}$ $small =sqrt[3]{(-9)^{3}}=-9$

- Ta có: $small dpi{100} fn_cm small sqrt[3]{0,064}$ $small =sqrt[3]{left (0,4 ight )^{3}}=0,4$

- Ta có: $small dpi{100} fn_cm small sqrt[3]{-0,216}$ $small =sqrt[3]{left (-0,6 ight )^{3}}=-0,6$

- Ta có: $small dpi{100} fn_cm small sqrt[3]{-0,008}$ $small =sqrt[3]{(-0,2)^{3}}=-0,2$

* Lưu ý: Bạn có thể tìm các căn bậc ba ở trên bằng máy tính bỏ túi và ghi nhớ một số lũy thừa bậc 3 của các số < 10: 23 = 8; 33 = 27; 43 = 64; 53 = 125; 63 = 216; 73 = 343; 83 = 512; 93 = 729;

Bài 10: Tính

a) small sqrt[3]{27}-sqrt[3]{-8}-sqrt[3]{125}

b) $small frac{sqrt[3]{135}}{sqrt[3]{5}}-sqrt[3]{54}.sqrt[3]{4}$

Lời giải:

a) small sqrt[3]{27}-sqrt[3]{-8}-sqrt[3]{125} $small =sqrt[3]{3^{3}}-sqrt[3]{(-2)^{3}}-sqrt[3]{5^{3}}$ small = 3 - (-2) - 5 = 3 + 2 - 5 = 0

b) $small frac{sqrt[3]{135}}{sqrt[3]{5}}-sqrt[3]{54}.sqrt[3]{4}$ $small = sqrt[3]{frac{135}{5}}-sqrt[3]{54.5}$ small = sqrt[3]{27}-sqrt[3]{216} $small =sqrt[3]{3^{3}}-sqrt[3]{6^{3}}=3-6=-3$

Bài 11: So sánh

a) 5 và ∛123. b) 5∛6 và 6∛5.

Lời giải:

a) Ta có: $small 5=sqrt[3]5^{3}{}=sqrt[3]{125}$ > small sqrt[3]{123} ⇒ small 5> sqrt[3]{123}

b) Ta có: $small dpi{100} fn_cm small 5sqrt[3]{6}=sqrt[3]{5^{3}.6}=sqrt[3]{125.6}=sqrt[3]{750}$ ; $small 6sqrt[3]{5}=sqrt[3]{6^{3}.5}=sqrt[3]{216.5}=sqrt[3]{1080}$