Các Dạng Toán Về đại Lượng Tỉ Lệ Thuận, Tỉ Lệ Nghịch Và Bài Tập

Để các em hiểu rõ về đại lượng tỉ lệ thuận và tỉ lệ nghịch trong bài viết này chúng ta cùng hệ thống lại các dạng toán về đại lượng tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch và phương pháp giải các dạng bài tập này một cách chi tiết, cụ thể.

A. Lý thuyết cần nhớ về Đại lượng tỉ lệ thuận và Đại lượng tỉ lệ nghịch

I. Lý thuyết về Đại lượng tỉ lệ thuận

1. Đại lượng tỉ lệ thuận là gì?

- Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức: y = kx ( với k là hằng số khác 0) thì ta nói y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k.

* Chú ý:

- Khi đại lượng y tỉ lệ với đại lượng x thì x cũng tỉ lệ thuận với y và ta nói 2 đại lượng này tỉ lệ thuận với nhau.

- Nếu y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k (k≠0) thì x tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ .

2. Tính chất của đại lượng tỉ lệ thuận

• Nếu hai đại lượng y và x tỉ lệ thuận với nhau, tức là với mỗi giá trị x1, x2, x3,... khác 0 của x ta có 1 giá trị tương ứng y1=kx1, y2=kx2, y3=kx3,... của y thì:

 - Tỉ số hai giá trị tương ứng của chúng luôn không đổi:

 

 - Tỉ số hai giá trị bất kỳ của đại lượng này bằng tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia.

 

II.  Lý thuyết về Đại lượng tỉ lệ nghịch

1. Đại lượng tỉ lệ nghịch là gì?

- Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức:  hay  (a là hằng số khác 0) thì ta nói y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a.

* Chú ý: Khi đại lượng y tỉ lệ thuận nghịch với đại lượng x thì x cũng tỉ lệ nghịch với y và ta nói 2 đại lượng này tỉ lệ nghịch với nhau.

2. Tính chất của đại lượng tỉ lệ nghịch

• Nếu hai đại lượng y và x tỉ lệ nghịch với nhau, tức là với mỗi giá trị x1, x2, x3,... khác 0 của x ta có 1 giá trị tương ứng  của y thì:

 - Tích của 2 giá trị tương ứng của chúng luôn không đổi (bằng hệ số tỉ lệ):

 

 - Tỉ số hai giá trị bất kỳ của đại lượng này bằng nghịch đảo của tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia.

 

B. Các dạng toán về Đại lượng tỉ lệ thuận và tỉ lệ nghịch

° Dạng 1: Nhận biết hai đại lượng là tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch

• Phương pháp:

- Dựa vào bảng giá trị để nhận biết 2 đại lượng có tỉ lệ thuận với nhau không ta tính các tỉ số  nếu cho cùng một kết qủa thì x, y tỉ lệ thuận và ngược lại.

- Dựa vào bảng giá trị để nhận biết 2 đại lượng có tỉ lệ nghịch với nhau không ta tính các tỉ số x.y nếu cho cùng một kết qủa thì x, y tỉ lệ nghịch và ngược lại

* Ví dụ 1: Cho x và y có giá trị như bảng dưới, hỏi x và y có tỉ lệ thuận với nhau không?

- Bảng 1:

x	3	-2	1	5	12	6
y	6	-4	2	10	24	12

- Bảng 2:

x	-3	-2	1	5	12	6
y	6	-4	2	10	24	12

* Hướng dẫn:

◊ Bảng 1: Ta lập tỉ lệ x/y, ta có:

 ; ; ...;

- Ta thấy:   

⇒ x và y tỉ lệ thuận với nhau (ở ví dụ này ta lập tỉ lệ x/y, các em cũng có thể lập tỉ lệ y/x)

◊ Bảng 2: Ta lập tỉ lệ x/y, ta có:

 ; 

- Ta thấy:   vì 

⇒ x và y KHÔNG tỉ lệ thuận với nhau

* Ví dụ 2: Cho x và y có giá trị như bảng dưới, hỏi x và y có tỉ lệ nghịch với nhau không?

- Bảng 1:

x	4	8	-2	1	16	4
y	9	4	-16	32	2	8

- Bảng 2:

x	4	-2	8	1	12	6
y	6	-12	3	24	2	4

* Hướng dẫn:

◊ Bảng 1: Ta tính các tính x.y tương tứng, ta có:

 x1y1 = 4.9=36; x2y2=8.4=32

- Ta thấy: x1y1≠x2y2

⇒ x và y KHÔNG tỉ lệ nghịch với nhau.

◊ Bảng 2: Ta tính các tính x.y tương tứng, ta có:

 x1y1 = 4.6 = 24; x2y2 = (-2).(-12) = 24; x3y3 = 8.3 = 24;...;x6y6 = 6.4 = 24.

- Ta thấy: x1y1 =  x2y2 =  x3y3 = ... = x6y6 = 24.

⇒ x và y tỉ lệ nghịch với nhau.

* Ví dụ 3 (Bài 5 trang 55 SGK Toán 7 Tập 1): Hai đại lượng x và y có tỉ lệ thuận với nhau hay không nếu:

a) Bảng 1:

x	1	2	3	4	5
y	9	18	27	36	45

b) Bảng 2

x	1	2	5	6	9
y	12	24	60	72	90

* Hướng dẫn:

a) Ta thấy : 

⇒ y=9x ⇒ y tỉ lệ thuận với x.

a) Ta thấy : 

⇒ y không tỉ lệ thuận với x (hay x và y không tỉ lệ thuận với nhau).

° Dạng 2: Tính hệ số tỉ lệ, biểu diễn x theo y, tìm x khi biết y (hoặc tìm y khi biết x)

• Phương pháp:

- Hệ số tỉ lệ thuận của y với x là:  ; sau khi tính được k ta thay vào biểu thức y=k.x để được mối quan hệ giữa y và x.

- Hệ số tỉ lệ thuận của x với y là  ; sau khi tính được k ta thay vào biểu thức x=k.y để được mối quan hệ giữa x và y.

- Hệ số tỉ lệ nghịch là k=x.y; sau khi tính được k ta thay vào biểu thức  hoặc  để được mối quan hệ giữa x và y.

- Sau khi biểu diễn mối quan hệ giữa y và x, ta dựa vào đó để tính y khi biết x và ngược lại để điền vào các ô dữ liệu theo yêu cầu bài toán.

* Ví dụ: Cho x và y là 2 đại lượng tỉ lệ thuận, x = 3 và y = 6.

a) Tìm hệ số tỉ lệ thuận của y với x

b) Biểu diễn y theo x

c) Tính x khi y = 24 và tính y khi x = 6

* Hướng dẫn:

a) Hệ số tỉ lệ thuận: 

b) Vì k = 2 nên y = 2x

c) Với y = 24 ⇒ 2x = 24 ⇒ x = 12

 Với x = 6 ⇒ y = 2x = 2.6 = 12.

° Dạng 3: Cho x và y là 2 đại lượng Tỉ lệ thuận (hoặc tỉ lệ nghịch) với nhau, hoàn thành bảng số liệu

• Phương pháp:

-Tính k và biểu diễn x theo y(hoặc y theo x)

-Thay các giá trị tương ứng để hoàn thành bảng

* Ví dụ 1 (Bài 2 trang 54 SGK Toán 7 Tập 1): Cho biết x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận. Điền số thích hợp vào ô trống trong bảng sau:

x	-3	-1	1	2	5
y				-4

* Lời giải:

- Vì x và y tỉ lệ thuận nên y = k.x

- Theo bảng số liệu cho thì khi x = 2 thi y = -4 nên ta có hệ số tỉ lệ: 

⇒ Vậy y tỉ lệ thuận với x theo tỉ số -2, hay y = -2.x, từ đó ta có:

 Với x = -3 thì y = (-2).(-3) = 6.

 Với x = -1 thì y = (-2).(-1) =2

 Với x = 1 thì y = (-2).1 = -2

 Với x= 5 thì y = (-2).5 = -10

⇒ Ta có bảng sau :

x	-3	-1	1	2	5
y	6	2	-2	-4	-10

* Ví dụ 2 (Bài 13 trang 58 SGK Toán 7 Tập 1): Cho biết x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Điền số thích hợp vào ô trống trong bảng sau:

x	0,5	-1,2			4	6
y			3	-2	1,5

* Lời giải:

- Giả sử hệ số tỉ lệ của x và y là a, thì   hay x.y = a.

- Theo bảng số liệu trên, khi x = 4 thì y = 1,5 ⇒ a = x.y = 4.1,5 = 6.

- Vậy ta có: x.y = 6.

 Với x = 0,5 thì y = 6:0,5 = 12.

 Với x = -1,2 thì y = 6:(-1,2) = -5

 Với y = 3 thì x = 6:3 =2

 Với y = -2 thì x = 6:(-2) = -3.

 Với x = 6 thì y = 6:6 = 1.

⇒ Vậy ta có bảng sau :

x	0,5	-1,2	2	-3	4	6
y	12	-5	3	-2	1,5	1

° Dạng 4: Cho x tỉ lệ thuận (hoặc tỉ lệ nghịch) với y, y tỉ lệ thuận (hoặc tỉ lệ nghịch) với z. Tìm mối liên hệ giữa x và z và tính hệ số tỉ lệ

• Phương pháp:

- Dựa vào đề bài biểu diễn x theo y, y theo z rồi thay y vào biểu thức trên để tìm mối quan hệ giữa x và z, sau đó rút ra kết luận.

* Ví dụ 1: Cho x tỉ lệ thuận với y theo tỉ số k=3, y tỉ lệ thuận với z theo tỉ số k=2. Hỏi x tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch với z và tỉ số bằng bao nhiêu?

* Hướng dẫn:

- Theo bài ra, x tỉ lệ thuận với y theo tỉ số k=3 ⇒ x = 3y (*)

  y tỉ lệ thuận với z theo tỉ số k=2 ⇒ y = 2z (**)

- Thế y ở phương trình (**) vào phương trình (*) ⇒ x = 3y = 3(2z) = 6z.

⇒ Vậy x tỉ lệ thuận với z với tỉ số k = 6.

♦ Lưu ý: như vậy, x TLT với y, y TLT với z ⇒ x TLT với z (Thuận + Thuận → Thuận)

* Ví dụ 2: cho x tỉ lệ nghịch với y theo k=3, y tỉ lệ nghịch với z theo k=6. Hỏi x và z tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch và k bằng bao nhiêu.

* Hướng dẫn:

- Theo bài ra, x tỉ lệ nghịch với y theo k=3 ⇒  (*)

 y tỉ lệ nghịch với z theo k=6 ⇒ yz = 6 ⇒  (**)

- Thế y ở phương trình (**) vào phương trình (*) ⇒ 

⇒ Vậy x tỉ lệ thuận với z với tỉ số .

♦ Lưu ý: như vậy, x TLN với y, y TLN với z ⇒ x TLT với z (Nghịch + Nghịch → Thuận)

* Ví dụ 3. Cho x tỉ lệ thuận với y theo k=5, y tỉ lệ nghịch với z theo k=2. Hỏi x và z tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch và hệ số tỉ lệ k là bao nhiêu.

* Hướng dẫn:

- Theo bài ra, x tỉ lệ thuận với y theo k=5 ⇒ x = 5y (*)

 y tỉ lệ nghịch với z theo k=2 ⇒  (**)

- Thế y ở phương trình (**) vào phương trình (*) ⇒ 

⇒ Vậy x tỉ lệ nghịch với z với tỉ số k=10.

° Dạng 5: Bài toán đố về đại lượng TLT và TLN

• Phương pháp:

- Với những bài toán có hai đại lượng ta có thể lập tỉ số luôn.

 + Nếu 2 đại lượng tỉ lệ thuận thì:  hay 

 + Nếu hai đại lượng tỉ lệ nghịch thì:   hay 

- Đối với bài toán chia số phần, ta gọi các giá trị cần tìm là x, y, z rồi đưa về dãy tỉ số bằng nhau để giải, chú ý:

 + Nếu các ẩn số x, y, z tỉ lệ thuận với a, b, c thì: 

 + Nếu các ẩn số x, y, z tỉ lệ nghịch với a, b, c thì: a.x=b.y=c.z;

* Ví dụ 1 (Bài 6 trang 55 SGK Toán 7 Tập 1): Thay cho việc đo chiều dài các cuộn dây thép người ta thường cân chúng. Cho biết mỗi mét dây nặng 25 gam.

a) Giả sử x mét dây nặng y gam. Hãy biểu diễn y theo x

b) Cuộn dây dài bao nhiêu mét biết rằng nó nặng 4,5kg?

* Lời giải:

a) Vì khối lượng của cuộn dây thép tỉ lệ thuận với chiều dài nên y = k.x

- Theo bài ra, ta có y = 25(g) thì x = 1(m).

⇒ Thay vào công thức ta được 25=k.1 ⇒ k=25

- Vậy y = 25x;

b) Vì y = 25x nên khi y = 4,5kg = 4500g

⇒ x = 4500:25 = 180(m)

- Vậy cuộn dây dài 180m.

C. Bài tập luyện tập về đại lượng tỉ lệ thuận tỉ lệ nghịch

* Bài 7 (trang 56 SGK Toán 7 Tập 1): Hạnh và Vân định làm mứt dẻo từ 2,5kg dâu. Theo công thức cứ 2kg dâu thì cần 3kg đường. Hạnh bảo cần 3,75kg đường còn Vân bảo cần 3,25kg. Theo em ai đúng và vì sao?

* Lời giải bài 7 trang 56 SGK Toán 7 Tập 1:

- Vì khối lượng dâu y(kg) tỉ lệ thuận với khối lượng đường x(kg) nên ta có y = kx

- Theo bài ra khi y=2 thì x=3 ⇒ 2 = k.3 ⇒ .⇒ .

- Vậy để là 2,5kg dâu tức y = 2,5(kg) thì số kg đường x cần là:

 

⇒ Vậy khi làm 2,5kg dâu thì cần 3,75kg đường, tức là Hạnh nói đúng.

* Bài 8 (trang 56 SGK Toán 7 Tập 1): Học sinh của ba lớp 7 cần phải trồng và chăm sóc 24 cây xanh. Lớp 7A có 32 học sinh lớp 7B có 28 học sinh lớp 7C có 36 học sinh. Hỏi mỗi lớp phải trồng và chăm sóc bao nhiêu cây xanh biết rằng số cây xanh tỉ lệ với số học sinh?

* Lời giải bài 8 trang 56 SGK Toán 7 Tập 1:

- Gọi x, y, z lần lượt là số cây trồng của các lớp 7A, 7B, 7C.

- Theo bài ra, số cây xanh tỉ lệ với số học sinh, tức là: x : y : z = 32:28:36,

 hay  

- Theo bài ra, tổng số cây xanh phải chăm sóc là 24 cây nghĩa là x + y + z = 24.

- Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

 

 

 

 

- Kết luận: Số cây trồng của các lớp 7A, 7B, 7C theo thứ tự 8, 7, 9 (cây)

* Bài 9 (trang 56 SGK Toán 7 Tập 1): Đồng bạch là một loại hợp kim của niken, kẽm và đồng vói khối lượng của chúng lần lượt tỉ lệ với 3; 4 và 13. Hỏi cần bao nhiêu kilogam niken, kẽm và đồng để sản xuất 150kg đồng bạch?

* Lời giải bài 9 trang 56 SGK Toán 7 Tập 1:

- Gọi x, y, z (kg) lần lượt là khối lượng của niken, kẽm, đồng.

- Khối lượng các chất lần lượt tỉ lệ với 3, 4 và 13 nghĩa là x:y:z = 3:4:13,

 hay   .

- Theo bài ra, khối lượng đồng bạch cần 150kg nghĩa là x+y+z = 150.

- Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

 

⇒ x = 7,5 .3 = 22,5(kg); y = 7,5 .4 = 30 (kg); z =7,5.13 = 97,5 (kg)

- Kết luận: Vậy khối lượng của niken là 22,5kg, kẽm là 30kg; và đồng là 97,5kg.

* Bài 10 (trang 56 SGK Toán 7 Tập 1): Biết các cạnh của một tam giác tỉ lệ với 2 : 3 : 4 và chu vi của nó là 45cm. Tính các cạnh của tam giác đó.

* Lời giải bài 10 trang 56 SGK Toán 7 Tập 1:

- Gọi x, y, z (cm) là chiều dài của các cạnh của tam giác.

- Các cạnh của tam giác tỉ lệ với 2, 3, 4 nghĩa là x:2 = y:3 = z:4,

 hay 

- Theo bài ra, chu vi tam giác bằng 45, nghĩa là x + y+ z = 45

- Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

   

⇒ x = 5.2 = 10 ; y = 5.3 = 15 ; z = 5.4 = 20

- Kết luận: Vậy các cạnh của tam giác có chiều dài lần lượt là 10cm ; 15cm ; 20cm.

* Bài 11 (trang 56 SGK Toán 7 Tập 1): Đố. Đố em tính được trên một chiếc đồng hồ khi kim giờ quay được một vòng thì kim phút, kim giây quay được bao nhiêu vòng ?

* Lời giải bài 11 trang 56 SGK Toán 7 Tập 1:

- Như ta đã biết: 1 giờ = 60 phút = 3600 giây;

 Kim giây quay 1 vòng = 60 giây

 Kim phút quay 1 vòng = 60 phút =60.60 giây = kim giây quay 60 vòng

 Kim giờ đi được 1 giờ thì kim phút quay được 1 vòng và kim giây quay được 60 vòng trên mặt đồng hồ.

⇒ Kim giờ quay được 1 vòng nghĩa là đi hết 12 giờ thì kim phút quay được 1.12 = 12 (vòng) và kim giây quay được 60.12 = 720 (vòng).

D. Bài tập về các dạng toán tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch

* Bài tập 1: Cho biết 2 đại lượng x và y tỉ lệ thuận với nhau và khi x = 2 và y = 10

a) Tìm hệ số tỉ lệ k của y đối với x.

b) Hãy biểu diễn y theo x.

c) Tính giá trị của y khi x = -3; x = 5

* Bài tập 2: Cho hai đại lượng x và y tỉ lệ nghịch với nhau và khi x =3 thì y = 6.

a) Tìm hệ số tỉ lệ a;

b) Hãy biểu diễn x theo y;

c) Tính giá trị của x khi y = -2 ; y = 1.

* Bài tập 3: Cho biết x và y là hai đại lượng tỷ lệ thuận và khi x = 4, y = 12.

a) Tìm hệ số tỷ lệ k của y đối với x và hãy biểu diễn y theo x

b) Tính giá trị của x khi y = 180.

* Bài tập 4: Hoàn thành bảng dữ liệu sau biết:

a) x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận

x	5	3			2
y	10		12	-4

b) x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch

x	4	2		-10
y	5		-4		20

* Bài tập 5: Cho bảng dữ liệu sau:

a) Hãy cho biết x và y có là hai đại lượng tỉ lệ thuận không?

x	6	2	5	15	-7
y	12	4	10	30	-14

b) Hãy cho biết x và y có là hai đại lượng tỉ lệ nghịch không?

x	2	6	-1	-5	-15
y	15	5	-30	-6	-2

* Bài tập 6: cho x tỉ lệ thận với y theo k=2, y tỉ lệ nghịch với z theo k=6. Hỏi x và z tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch với hệ số tỉ lệ k bằng bao nhiêu?

* Bài tập 7: Cho x tỉ lệ thuận với y theo k=10, y tỉ lệ nghịch với z theo k=2. Hỏi x và z tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch với hệ số tỉ lệ k bằng bao nhiêu?

* Bài tập 8:

a) Tìm hai số x; y biết x; y tỉ lệ thuận với 3; 4 và x + y = 21.

b) Tìm hai số a; b biết a; b tỉ lệ thuận với 7; 9 và 3a – 2b = 30.

c) Tìm ba số x; y; z biết x; y; z tỉ lệ thuận với 3; 4; 5 và x – y + z = 20.

d) Tìm ba số a; b; c biết a; b; c tỉ lệ thuận với 4; 7; 10 và 2a + 3b + 4c = 69.