Các Dạng Toán Về Số Phức, Cách Giải Và Bài Tập - Toán Lớp 12

Có thể bạn quan tâm

Vì vậy, ở bài viết này HayHocHoi.Vn sẽ hệ thống lại các dạng toán về số phức đồng thời hướng dẫn cách giải các dạng bài tập này. Trước khi bắt tay vào giải các dạng bài tập số phức, các bạn cũng cần nhớ các nội dung về lý thuyết số phức.

I. Lý thuyết về Số phức

1. Số phức là gì?

• Định nghĩa số phức

- Tập hợp số phức: small mathbb{C}

- Số phức (dạng đại số): $small dpi{100} fn_cm small z=a+ib$

( small a,bin mathbb{R} , a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo i2 = -1)

♦ z là số thực ⇔ phần ảo của z bằng 0 (b = 0).

♦ z là thuần ảo ⇔ phần thực của z bằng 0 (a = 0).

♦ Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo

♦ 2 số phức bằng nhau: small a+ib=a'+ib'Leftrightarrow left{egin{matrix} a=a' b=b' end{matrix} ight. , small (a,a',b,b')in mathbb{R}

2. Biểu diễn hình học của số phức

- Số phức: $small dpi{100} fn_cm small z=a+ib$ , ( small a,bin mathbb{R} ) được biểu diễn bởi điểm M(a,b) hay bởi small overrightarrow{u}(a,b) trong mặt phẳng Oxy (mp phức). biểu diễn hình học của số phức

3. Phép cộng, trừ số phức

- Cho 2 số phức: $small dpi{100} fn_cm small z=a+bi,z'=a'+b'i$ , khi đó:

♦ small z+z'=(a+bi)+(a'+b'i) small =(a+a')+(b+b')i

♦ small z-z'=(a+bi)-(a'+b'i) small =(a-a')+(b-b')i

- Số đối của: $small dpi{100} fn_cm small dpi{100} fn_cm small z=a+bi$ là small -z=-a-bi

- Nếu small overrightarrow{u} biểu diễn z, small overrightarrow{u}' biểu diễn z' thì small overrightarrow{u}+overrightarrow{u}' biểu diễn small z+z' và small small overrightarrow{u}-overrightarrow{u}' biểu diễn small z-z' .

4. Phép nhân 2 số phức

- Cho 2 số phức: $small dpi{100} fn_cm small z=a+bi,z'=a'+b'i$ , khi đó:

♦ small z.z'=(a+bi).(a'+b'i) small =(aa'-bb')(ab'+ba')i

♦ small k.z=k(a+bi)=ka+kbi,(kin mathbb{R})

5. Số phức liên hợp

- Số phức liên hợp của số phức small z=a+bi là small ar{z}=a-bi

♦ small overline{overline{z}}=z ; small overline{zpm z'}=overline{z}pm overline{z}' ; small overline{z.z'}=overline{z}.overline{z}' ; $small overline{left ( frac{z}{z'} ight )}=left ( frac{overline{z}}{overline{z}'} ight )$ ; $small z.overline{z}=a^{2}+b^{2}$

♦ z là số thực ⇔ $small dpi{100} fn_cm small z=overline{z}'$

♦ z là số thuần ảo: small z=-overline{z}

6. Phép chia số phức khác 0

♦ $small z^{-1}=frac{1}{left | z ight |^{2}}overline{z},(z eq 0)$

♦ $small frac{z'}{z}=z'.z^{-1}=frac{z'.overline{z}}{left | z ight |^{2}}=frac{z'.overline{z}}{z.overline{z}}$

♦ $small frac{z'}{z}=wLeftrightarrow z'=w.z$

7. Mô-đun của số phức

- Cho số phức: $small dpi{100} fn_cm small dpi{100} fn_cm small z=a+bi$ , thì:

♦ $small dpi{100} fn_cm small left | z ight |=sqrt{a^{2}+b^{2}}=sqrt{z.overline{z}}=left | overrightarrow{OM} ight |$

♦ small left | z ight |geq 0,forall zin mathbb{C} ; small left | z ight |=0Leftrightarrow z=0

♦ $small left | frac{z}{z'} ight |=frac{left | z ight |}{left | z' ight |}$

8. Căn bậc 2 của số phức

♦ small z=x+yi là căn bậc 2 của số phức small w=a+bi $small Leftrightarrow z^{2}=wLeftrightarrow left{egin{matrix} x^{2}-y^{2}=a 2xy=b end{matrix} ight.$

♦ w = 0 có đúng 1 căn bậc 2 là z = 0

♦ w≠ 0 có đúng 2 cặn bậc 2 đối nhau

♦ 2 căn bậc 2 của a > 0 là small pm sqrt{a}

♦ 2 căn bậc 2 của a < 0 là $small dpi{100} fn_cm small pm sqrt{-a}.i$

9. Phương trình bậc 2 của số phức

- Cho phương trình bậc 2 số phức có dạng: Az2 + Bz + C = 0, (*) (A,B,C là các số phức cho trước, A≠0).

- Khi đó: Δ = B2 - 4AC

- Δ ≠ 0, phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt: $small z_{1,2}=frac{-Bpmsqrt{Delta } }{2A}$

- Δ = 0, phương trình (*) có 1 nghiệm kép: $small small z_{1}=z_{2}=frac{-B}{2A}$

* Chú ý: Nếu $small z_{0}in mathbb{C}$ là 1 nghiệm của (*) thì $small small overline{z}_{0}$ cũng là 1 nghiệm của (*).

10. Dạng lượng giác của số phức

• z = r(cosφ + isinφ), r > 0 là dạng lượng giác của $small dpi{100} fn_cm small dpi{100} fn_cm small z=a+bi$ (z≠0).

$small Leftrightarrow left{egin{matrix} r=sqrt{a^{2}+b^{2}} cosvarphi =frac{a}{r} sinvarphi =frac{b}{r} end{matrix} ight.$

• φ là 1 acgumen của z, φ = (Ox,OM)

• small left | z ight |=1Leftrightarrow z=cosvarphi +isinvarphi , small (varphi in mathbb{R})

11. Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác

- Cho z = r(cosφ + isinφ) và z' = r'(cosφ' + isinφ')

• small z.z'=r.r'[cos(varphi +varphi ')+isin(varphi +varphi ')]

• $small frac{z}{z'}=frac{r}{r'}[cos(varphi -varphi ')+isin(varphi -varphi ')]$

12. Công thức Moivre (Moa-vrơ).

• $small dpi{100} fn_cm small [r(cosvarphi +isinvarphi) ]^{n}=r^{n}[cos(nvarphi) +isin(nvarphi) ]$ , $small left ( nin mathbb{N}^{*} ight )$

• $small (cosvarphi +isinvarphi) ^{n}=cos(nvarphi) +isin(nvarphi)$

13. Căn bậc 2 của số phức dưới dạng lượng giác

• Cho z = r(cosφ + isinφ), r > 0 có căn bậc 2 là:

$small sqrt{z}=sqrt{r}left ( cosleft ( frac{varphi }{2} ight )+isinleft ( frac{varphi }{2} ight ) ight )$ và $small small sqrt{z}=-sqrt{r}left ( cosleft ( frac{varphi }{2} ight )+isinleft ( frac{varphi }{2} ight ) ight )$ $small =sqrt{r}left [ cosleft (frac{varphi }{2}+pi ight )+isinleft ( frac{varphi }{2}+pi ight ) ight ]$

• Mở rộng: z = r(cosφ + isinφ), r > 0 có n căn bậc n là:

$small small =sqrt[n]{r}left [ cosleft (frac{varphi+k2pi }{n} ight )+isinleft ( frac{varphi+k2pi }{n} ight ) ight ]$ , small k=0,1,2,...,n-1

II. Các dạng toán về Số phức và cách giải

• Dạng 1: Các phép tính về số phức

* Phương pháp giải: Vận dụng các công thức Cộng, Trừ, Nhân, Chia, Luỹ thừa và tính chất phép toán của số phức.

- Chú ý: Khi tính toán các số thức có thể sử dụng hằng đẳng thức như số thực như bình phương của tổng, lập phương của tổng hay hiệu 2 số phức,...

° Ví dụ 1: Cho số phức $small z=frac{sqrt{3}}{2}-frac{1}{2}i.$ Tính các số phức sau: $small overline{z};z^{2};left (overline{z} ight )^{3};1+z+z^{2}$

° Lời giải:

+) Ta có: $small dpi{100} fn_cm small z=frac{sqrt{3}}{2}-frac{1}{2}iRightarrow overline{z}=frac{sqrt{3}}{2}+frac{1}{2}i$

+) Ta có: $small z^{2}=left (frac{sqrt{3}}{2}-frac{1}{2}i ight )^{2}$ $small =frac{3}{4}+frac{1}{4}i^{2}-frac{sqrt{3}}{2}i=frac{1}{2}-frac{sqrt{3}}{2}i$

$small Rightarrow (overline{z})^{2}=left ( frac{sqrt{3}}{2}+frac{1}{2}i ight )^{2}$ $small =frac{3}{4}+frac{1}{4}i^{2}+frac{sqrt{3}}{2}i=frac{1}{2}+frac{sqrt{3}}{2}i$

$small Rightarrow (overline{z})^{3}=(overline{z})^{2}.(overline{z})=left (frac{1}{2}+ frac{sqrt{3}}{2}i ight )left ( frac{sqrt{3}}{2}+frac{1}{2}i ight )$ $small =frac{sqrt{3}}{4}+frac{1}{2}i+frac{3}{4}i-frac{sqrt{3}}{4}=i$

+) Ta có: 1 + z + z2 $small =1+frac{sqrt{3}}{2}-frac{1}{2}i+frac{1}{2}=frac{3+sqrt{3}}{2}-frac{1+sqrt{3}}{2}i$

* Tương tự: Cho số phức $small z=-frac{1}{2}+frac{sqrt{3}}{2}i$ , hãy tính: 1 + z + z2

- Ta có: $small dpi{100} fn_cm small z^{2}=frac{1}{4}-frac{3}{4}-frac{sqrt{3}}{2}i=-frac{1}{2}+frac{sqrt{3}}{2}i$

$small Rightarrow 1+z+z^{2}$ $small =1+left ( -frac{1}{2}+frac{sqrt{3}}{2}i ight )+left ( -frac{1}{2}-frac{sqrt{3}}{2}i ight )=0$

° Ví dụ 2: Tính tổng sau:

a) K = 1 + i + i2 + i3 + ... + i2009

b) M = $small 1+(1+i)^{2}+(1+i)^{4}+...+(1+i)^{10}$

c) N = (1 - i)100

° Lời giải:

a) Ta có: 1 - i2010 = (1 - i)(1 + i + i2 + i3 +...+ i2009)

Mà 1 - i2010 = 1 - (i2)1005 = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2.

⇒ K = 1 + i + i2 + i3 +...+ i2009 = $small dpi{100} fn_cm small dpi{100} fn_cm small frac{2}{1-i}=frac{2(1+i)}{(1-i)(1+i)}$ $small dpi{100} fn_cm small =frac{2(1+i)}{1-i^{2}}=frac{2(1+i)}{2}=1+i$

b) M là tổng của 10 số hạng đầu tiên của 1 cấp số nhân với số hạng đầu tiên là u1 = 1, bội q = (1 + i)2 = 2i. Ta có:

$small M=u_{1}frac{1-q^{10}}{1-q}=1.frac{1-(2i)^{10}}{1-2i}$ $small =frac{1+2^{10}}{1-2i}=frac{1025(1+2i)}{5}=205+410i$

c) $small (1-i)^{100}=left [ (1-i^{2}) ight ]^{50}=(-2i)^{50}$ $small =(-2)^{50}.(i)^{50}=2^{50}(-1)=-2^{50}$

° Ví dụ 3: cho 2 số phức z1, z2 thoả $small left | z_{1} ight |=left | z_{2} ight |=1$ , $small left | z_{1}+z_{2} ight |=sqrt{3}$ tính $small left | z_{_{1}}-z_{2} ight |$

° Lời giải:

- Đặt $small z_{1}=a_{1}+b_{1}i;z_{2}=a_{2}+b_{2}i$

- Từ giải thiết ta có: $small left{egin{matrix} a_{1}^{2}+b_{1}^{2}=a_{2}^{2}+b_{2}^{2}=1 (a_{1}+a_{2})^{2}+(b_{1}+b_{2})^{2}=3 end{matrix} ight.$

⇒ 2(a1b1 + a2b2) = 1

⇒ (a1 - a2)2 + (b1 - b2)2 = 1

⇒ |z1 - z2| = 1.

• Dạng 2: Tìm số phức thoả điều kiện cho trước (giải phương trình số phức)

* Phương pháp giải: Vận dụng các tính chất của số phức, các phép biến đổi để giải quyết bài toán.

° Ví dụ 1: Tìm số phức z thoả mãn

a) small (2 + 3i)z = z - 1

b) $small dpi{100} fn_cm small left | z ight |^{2}+2z.overline{z}+left | overline{z} ight |^{2}=8; z+overline{z}=2$

° Lời giải:

a) small (2 + 3i)z = z - 1

small Leftrightarrow z(1+3i)=-1 $small Leftrightarrow z=frac{-1}{1+3i}=frac{-(1-3i)}{(1+3i)(1-3i)}$ $small Leftrightarrow z=frac{3i-1}{10}=-frac{1}{10}+frac{3}{10}i$

b) $small dpi{100} fn_cm small left | z ight |^{2}+2z.overline{z}+left | overline{z} ight |^{2}=8; z+overline{z}=2$

$small dpi{100} fn_cm small Leftrightarrow x^{2}+y^{2}Leftrightarrow 4(x^{2}+y^{2})=8$ $small Leftrightarrow (x^{2}+y^{2})=2$ (*)

mà small z+overline{z}=2Rightarrow 2x=2Rightarrow x=1

thế x = 1 vào (*) ta được y = ±1.

Vậy số phức cần tìm là 1 + i và 1 - i.

° Ví dụ 2: Tìm số phức z thoả mãn

a) $small left ( frac{z+i}{z-i} ight )^{4}=1$

b) small left | z ight |=sqrt{2} , và z2 là số thuần ảo.

° Lời giải:

a) $small left ( frac{z+i}{z-i} ight )^{4}=1$

- Ta có: $small left ( frac{z+i}{z-i} ight )^{4}=1$ $small dpi{100} fn_cm small Leftrightarrow left [ left (frac{z+i}{z-i} ight )^{2} -1 ight ]. left [ left (frac{z+i}{z-i} ight )^{2} +1 ight ]=0$

+) TH1: $small left (frac{z+i}{z-i} ight )^{2} -1=0Leftrightarrow frac{z+i}{z-i}=pm 1Leftrightarrow z=0$

+) TH2: $small left (frac{z+i}{z-i} ight )^{2} +1=0Leftrightarrow left (frac{z+i}{z-i} ight )^{2} -i^{2}=0$

$small Leftrightarrow left [ left ( frac{z+i}{z-i} ight )-i ight ].left [ left ( frac{z+i}{z-i} ight )+i ight ]=0Leftrightarrow z=pm 1$

• Dạng 3: Xác định phần thực phần ảo, tìm đối số, nghịch đảo module, liên hợp của số phức và biểu diễn hình học của số phức

* Phương pháp giải: Dạng này chia làm nhiều loại bài toán liên quan tới tính chất của số phức.

♦ Loại 1: Tìm phần thực phần ảo của số phức

- Cách giải: Biến đổi số phức về dạng z = a + bi, suy ra phần thực là a, phần ảo là b.

° Ví dụ 1: Tìm phần thực phần ảo của số phức sau:

a) z = i + (2 - 4i) - (3 - 5i)

b) z = (-1 + i)3 - (2i)3

c) $small z=frac{(1+i)^{2010}}{1-i}$

° Lời giải:

a) z = i + (2 - 4i) - (3 - 5i) = (2 - 3) + (1 - 4 + 5)i = -1 + 2i

⇒ Vậy số phức đã cho có phần thực là -1; phần ảo là 2.

b) z = (-1 + i)3 - (2i)3 = (-1 + i3 + 3i - 3i2) - 8i3 = (-1 - i + 3i + 3) + 8i = 2 + 10i

⇒ Vậy số phức đã cho có phần thực là 2; phần ảo là 10.

c) $small z=frac{(1+i)^{2010}}{1-i}$ $small =frac{left [(1+i)^{2} ight ]^{1005}}{1-i}$ $small =frac{left [(1+2i+i^{2}) ight ]^{1005}}{1-i}=frac{(2i)^{1005}}{1-i}$

$small =frac{(2i)^{1005}(1+i)}{(1-i)(1+i)}=frac{(2i)^{1005}(1+i)}{2}$ $small =2^{1004}i(1+i)=-2^{1004}+2^{1004}i$

° Ví dụ 2: Tìm phần thực phần ảo của số phức sau:

a) u = z1 - 2z2 với z1 = 1 + 2i; z2 = 2 - 3i

b) v = z1z2 với z1 = 2 + 5i; z2 = 3 - 4i

° Lời giải:

a) u = z1 - 2z2 = (1 + 2i) - 2(2 - 3i) = (1 - 4) + (2 + 6)i = -3 + 8i

⇒ Vậy số phức đã cho có phần thực là -3; phần ảo là 8.

b) v = z1z2 với z1 = 2 + 5i; z2 = 3 - 4i = (2 + 5i)(3 - 4i) = (6 - 8i + 15i - 20i2) = 26 + 7i

⇒ Vậy số phức đã cho có phần thực là 26; phần ảo là 7.

♦ Loại 2: Biểu diễn hình học của số phức

- Cách giải: Sử dụng điểm M(a;b) biểu diễn số phức z trên mặt phẳng Oxy

° Ví dụ 1: Trong mặt phẳng toạ độ (hình vẽ dưới), số phức z = 3 - 4i được biểu diễn bởi điểm nào trong các điểm A, B, C, D? biểu diễn hình học của số phức ° Lời giải:

- Đáp án: Điểm D(3;-4) là biểu diễn hình học của số phức z=3-4i

° Ví dụ 2: Số phức nào có biểu diễn hình học là toạ độ điểm M như hình sau: biểu diễn hình học của số phức ° Lời giải:

- Điểm M(-2;1) là biểu diễn hình học của số phức z=-2+i

♦ Loại 3: Tính Module của số phức

- Cách giải: Biến đổi số phức về dạng z = a + bi ⇒ mô-đun là $small left | z ight |=sqrt{a^{2}+b^{2}}$

° Ví dụ 1: Tìm mô-đun của số phức sau: $small z=1+4i+(1-i)^{3}$

° Lời giải:

- Có $small (1-i)^{3}=1^{3}-3i+3i^{2}-i^{3}$ = 1 - 3i - 3 + i = -2 - 2i

⇒ $small z=1+4i+(1-i)^{3}$ $small =-1+2iRightarrow left | z ight |=sqrt{(-1)^{2}+2^{2}}=sqrt{5}$

° Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn $small overline{z}=frac{left ( 1-sqrt{3}i ight )^{2}}{1-i}$ , tìm mô-đun của số phức small overline{z}+iz

° Lời giải:

- Ta có: $small left (1-sqrt{3}i ight )^{3}=1^{3}+3.1^{2}(-sqrt{3}i)+3.1left ( -sqrt{3}i ight )^{2}-3sqrt{3}i^{3}=-8$

$small Rightarrow overline{z}=frac{-8}{1-i}=frac{-8(1+i)}{2}=-4(1+i)$

small Rightarrow overline{z}+iz=-4-4i+i(-4+4i)=-8-8i

♦ Loại 4: Tìm số đối của số phức

- Cách giải: Biến đổi số phức về dạng z = a + bi ⇒ đối số của z là -z = -a - bi

° Ví dụ: Tìm số đối của số phức sau:

a) small z= (1+i)(3-2i)

b) small z=(5+i)(2-3i)

° Lời giải:

a) small z= (1+i)(3-2i)

$small Leftrightarrow z=3-2i+3i-2i^{2}=5+iRightarrow -z=-5-i$

b) small z=(5+i)(2-3i)

$small dpi{100} fn_cm small Leftrightarrow z=10-15i+2i-3i^{2}=13-13i$ small Rightarrow -z=-13+13i

♦ Loại 5: Tìm số phức liên hợp của số phức z

- Cách giải: Biến đổi số phức về dạng z = a + bi ⇒ số phức liên hợp của z là small overline{z}=a-bi

° Ví dụ 1: Tìm số phức liên hợp của số phức sau: $small z=(1+i)(3-2i)+frac{1}{3+i}$

° Lời giải:

- Ta có: $small z=5+i+frac{3-i}{(3+i)(3-i)}$ $small =5+i+frac{3-i}{10}=frac{53}{10}+frac{9}{10}i$

⇒ Số phức liên hợp của z là: $small overline{z}=frac{53}{10}-frac{9}{10}i$

° Ví dụ 2: Cho z = a+ bi tìm số phức liên hợp của z và giải phương trình $small overline{z}=z^{2}$ .

° Lời giải:

- Ta có small z = a+ bi Rightarrow overline{z}=a-bi , $small z^{2}=left (a^{2}-b^{2 ight )}+2abi$

- Khi đó: $small overline{z}=z^{2}Leftrightarrow left{egin{matrix} a^{2}-b^{2}=a 2ab=-b end{matrix} ight.$

- Giải hệ này ta được các nghiệm $small (0;0), (1;0), left ( -frac{1}{2};frac{sqrt{3}}{2} ight );left ( -frac{1}{2};-frac{sqrt{3}}{2} ight )$

♦ Loại 6: Tìm số phức nghịch đảo của số phức

- Cách giải: Sử dụng công thức: $small frac{1}{z}=frac{1}{left | z ight |^{2}}overline{z}$

° Ví dụ : Tìm nghịch đảo của số phức sau:

a) $small dpi{100} fn_cm small z=1+2i$

b) small z=sqrt{2}-3i

° Lời giải:

a) $small dpi{100} fn_cm small z=1+2i$

- Ta có: $small dpi{100} fn_cm small overline{z}=1-2i$ , $small left | z ight |^{2}=1^{2}+2^{2}=5$

$small Rightarrow z^{-1}=frac{1}{z}=frac{1}{left | z ight |^{2}}.overline{z} =frac{1-2i}{5}=frac{1}{5}-frac{2}{5}i$

b) small z=sqrt{2}-3i

- Ta có: small overline{z}=sqrt{2} +3i , $small dpi{100} fn_cm small left | z ight |^{2}=left ( sqrt{2} ight )^{2}+ left ( -3 ight )^{2}=11$

$small Rightarrow z^{-1}=frac{1}{z}=frac{1}{left | z ight |^{2}}.overline{z} =frac{sqrt{2}+3i}{11}=frac{sqrt{2}}{11}+frac{3}{11}i$

♦ Loại 7: Tìm các số thực khi 2 số phức bằng nhau.

- Cách giải: Sử dụng công thức: small z=z'Leftrightarrow left{egin{matrix} a=a' b=b' end{matrix} ight.

° Ví dụ : Tìm các số nguyên x và y sao cho z = x + yi thỏa mãn z3 = 18 + 26i

° Lời giải:

- Ta có: $small (x+yi)^{3}=18+26iLeftrightarrow left{egin{matrix} x^{3}-3xy^{2}=18 3x^{2}y-y^{3}=26 end{matrix} ight.$

$small Rightarrow 18(x^{2}y-y^{3})=26(x^{3}-3xy^{2})$

- Giải phương trình trên bằng cách đặt y = tx (x≠0) ta được $small t=frac{1}{3}Rightarrow x=3,y=1$

⇒ z = 3+ i

• Dạng 4: Tìm quỹ tích số phức (tập hợp các điểm) thoả mãn điều kiện cho trước.

* Phương pháp giải:

♦ Loại 1: Số phức z thoả mãn về độ dài (module) khi đó ta sử dụng công thức $small left | z ight |=sqrt{a^{2}+b^{2}}$

♦ Loại 2: Số phức z là số thực (âm hoặc dương), khi đó ta sử dụng kết quả

- Để z là số thực ⇔ b=0

- Đẻ z là số thực âm ⇔ a < 0 và b = 0.

- Để z là số thực dương ⇔ a > 0 và b = 0.

- Để z là số thuần ảo ⇔ a = 0.

° Ví dụ : Tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thoả

a) $small frac{2z-i}{z-2i}$ có phần thực = 3

b) small z+4+3i là số thực

c) small left | z-1+2i ight |=1

° Lời giải:

a) Gọi điểm M(x;y) ta có:

small z=x+yiRightarrow left{egin{matrix} 2z-i=2x+(2y-1)i z-2i=x+(y-1)i end{matrix} ight.

$small Rightarrow frac{2z-i}{z-2i}=frac{left [ 2x+(2y-1)y ight ].left [ x-(y-2)i ight ]}{x^{2}+(y-2)^{2}}=a+bi$

Với $small a=frac{2x^{2}+(2y-1)(y-2)}{x^{2}+(y-2)^{2}}=frac{2x^{2}+2y^{2}-5y+2}{x^{2}+y^{2}-4y+4}$

- Theo bài ra,

$small a=3Leftrightarrow 2x^{2}+2y^{2}-5y+2=3(x^{2}+y^{2}-4y+4)$

- Với x ≠ 0 và y≠ 2 ta có:

$small x^{2}+y^{2}-17y+10=0Leftrightarrow x^{2}+left ( y-frac{17}{2} ight )^{2}=frac{249}{4}$

⇒ Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm $small Ileft ( 0;frac{17}{2} ight )$ bán kính $small R=frac{sqrt{249}}{2}$

b) Gọi N là điểm biểu diễn số phức $small z_{1}=-4-4iRightarrow N(-4;-3)$

small Rightarrow z+4+3i là số thực ⇔ small overrightarrow{MN} song song với Ox

- Vậy quỹ tích của M là đường thẳng qua N và song song với Ox, đó là đường thẳng y = -3.

c) Gọi I là điểm biểu diễn của số phức $small z_{2}=1-2iRightarrow I(1;-2)$

- Khi đó: $small left | z-1+2i ight |=1Leftrightarrow left | z-z_{2} ight |=1Leftrightarrow IM=1$

- Vậy quỹ tích của M là đường tròn tâm I(1;-2) bán kính R = 1.

• Dạng 5: Chứng minh các biểu thức về số phức

* Phương pháp giải: Vận dụng các phép toán về số phức (cộng, trừ, nhân, chia, số phức liên hợp, mô-đun).

° Ví dụ 1: Cho số phức z thoả điều kiện $small 11z^{10}+10iz^{9}+10iz-11=0$ . Chứng minh small left | z ight |=1

° Lời giải:

- Ta có: $small 11z^{10}+10iz^{9}+10iz-11=0$ $small Leftrightarrow z^{9}(11z+10i)=11-10iz$

hay $small z^{9}=frac{11-10iz}{11z+10i}$ (1)

- Đặt z=x+yi, với x,y ∈ R, từ (1) ta có:

$small left | z ight |^{9}=left | frac{11-10iz}{11z+10i} ight |$ $small =frac{sqrt{10^{2}(x^{2}+y^{2})+11^{2}+220y}}{sqrt{11^{2}(x^{2}+y^{2})+10^{2}+220y}}$

$small Rightarrow left | z ight |^{18}-1=frac{21(1-x^{2}-y^{2})}{11^{2}(x^{2}+y^{2})+100+220y}$ $small =frac{21(1-left | z ight |)^{2}}{11^{2}(x^{2}+y^{2})+100+220y}$

$small dpi{100} fn_cm small Rightarrow left ( left | z ight |^{18}-1 ight )left ( 1-left | z ight |^{2} ight )$ $small dpi{100} fn_cm small =frac{21(1-left | z ight |)^{2}}{11^{2}(x^{2}+y^{2})+100+220y}geq 0$

$small Rightarrow left ( left | z ight |^{2}-1 ight )^{2}leq 0Leftrightarrow left | z ight |^{2}=1Leftrightarrow left | z ight |=1$ (đpcm).

° Ví dụ 2: Cho 2 số phức z1 và z2 , chứng minh rằng:

a) $small left | z_{1}+z_{2} ight |^{2}+left | z_{1}-z_{2} ight |^{2}=2(left | z_{1} ight |^{2}+left | z_{2} ight |^{2})$

b) $small left | 1-overline{z}_{1}z_{2} ight |^{2}-left | z_{1}-z_{2} ight |^{2}=left ( 1+left | z_{1}z_{2} ight |^{2} ight )-left (left | z_{1} ight | +left | z_{2} ight | ight )^{2}$

° Lời giải:

a) Ta có:

$small VT= left | z_{1}+z_{2} ight |^{2}+left | z_{1}-z_{2} ight |^{2}$ $small =(z_{1}+z_{2})overline{(z_{1}+z_{2})}+(z_{1}-z_{2})overline{(z_{1}-z_{2})}$

$small =(z_{1}+z_{2})(overline{z}_{1}+overline{z}_{2})+(z_{1}-z_{2})(overline{z}_{1}-overline{z}_{2})$ $small =2left (z_{1}overline{z}_{1}+ z_{2}overline{z}_{2} ight )=2left ( left | z_{1} ight |^{2}+left | z_{2} ight |^{2} ight )$

⇒ Vậy VT=VP (đpcm).

b) Ta có:

$small VT= left | 1-overline{z}_{1}z_{2} ight |^{2}-left | z_{1}-z_{2} ight |^{2}$

$small =left (1-overline{z}_{1}z_{2} ight )overline{left (1-overline{z}_{1}z_{2} ight )}-=left (z_{1}-z_{2} ight )overline{left (z_{1}-z_{2} ight )}$

$small =left (1-overline{z}_{1}z_{2} ight ){left (1-z_{1}overline{z}_{2})}-left (z_{1}-z_{2} ight ){left (overline{z}_{1}-overline{z}_{2} ight )}$

$small =1+left | z_{1} ight |^{2}left | z_{2} ight |^{2}-left | z_{1} ight |^{2}-left | z_{2} ight |^{2}$ (1)

- Mặt khác:

$small VP=left ( 1+left | z_{1}z_{2} ight |^{2} ight )-left (left | z_{1} ight | +left | z_{2} ight | ight )^{2}$ $small =1+2left | z_{1} z_{2} ight |+left | z_{1} z_{2} ight |^{2}-left | z_{1} ight |^{2}-2left | z_{1} z_{2} ight |-left | z_{2} ight |^{2}$

Vì $small left | z_{1}z_{2} ight |=left | z_{1} ight |left | z_{2} ight |$ nên $small left ( 1+left | z_{1}z_{2} ight | ight )^{2}-left ( left | z_{1} ight |+left | z_{2} ight | ight )^{2}$ $small =1+left | z_{1} ight |^{2}left | z_{2} ight |^{2}-left | z_{1} ight |^{2}-left | z_{2} ight |^{2}$ (2)

- Từ (1) và (2) có VT=VP (đpcm)

• Dạng 6: Căn bậc 2 của số phức và phương trình bậc 2

* Phương pháp giải:

° Cho số phức: z = a + bi, số phức w = x + yi, được gọi là căn bậc 2 của số phức z nếu w2 = z hay (x + yi)2 = a + bi.

- Lưu ý:

♦ Khi b = 0 thì z = a, ta có 2 trường hợp đơn giản sạ:

◊ TH1: a > 0 ⇒ small omega =pm sqrt{a}

◊ TH1: a < 0 ⇒ $small z=i^{2}left | a ight |Rightarrow omega =pm isqrt{left | a ight |}$

♦ Khi b ≠ 0, để tìm căn bậc 2 của z ta giải hệ phương trình từ đồng nhất thức (x + yi)2 = a + bi, hay x2 - y2 + 2xyi = a + bi $small Leftrightarrow left{egin{matrix} x^{2}-y^{2}=a 2xy=b end{matrix} ight.$ , giải hệ này ta được x,y.

° Phương trình bậc 2 với hệ số phức

- Là phương trình có dạng: az2 + bz + c = 0, trong đó a, b, c là các số phức a≠0

- Cách giải: Xét biệt thức $small Delta =b^{2}-4ac$ .

» Nếu Δ=0 phương trình có nghiệp kép: $small z=-frac{b}{2a}$

» Nếu Δ≠0 phương trình có 2 nghiệm phân biệt: $small z_{1}=frac{-b+sqrt{Delta }}{2a};z_{1}=frac{-b-sqrt{Delta }}{2a};$

- Định lý Vi-ét: Gọi z1, z2 là 2 nghiệm của phương trình az2 + bz + c = 0 khi đó, ta có: $small z_{1}+z_{2}=-frac{b}{a};$ $small z_{1}z_{2}=frac{c}{a}$

° Ví dụ 1: Tìm căn bậc 2 của số phức sau:

a) z = 5

b) z = -7

c) small z=-1-2 sqrt{6}i

* Lời giải:

a) small z=5Rightarrow omega =pm sqrt{5}

b) small z=-7Rightarrow omega =pm isqrt{7}

c) Gọi small w=x+yi là căn bậc 2 của số phức small z=-1-2 sqrt{6}i , ta có:

$small (x+yi)^{2}=-1-2sqrt{6}i$ $small Leftrightarrow x^{2}-y^{2}+2xyi=-1-2sqrt{6}i$

$small Leftrightarrow left{egin{matrix} x^{2}-y^{2}=-1 2xy=-2sqrt{6} end{matrix} ight.$ $small Leftrightarrow left{egin{matrix} y=frac{-sqrt{6}}{x} x^{2}-left ( frac{-sqrt{6}}{x} ight )^{2}=-1 end{matrix} ight.$ $small Leftrightarrow left{egin{matrix} x^{2}=2 y=frac{-sqrt{6}}{x} end{matrix} ight.$ small Leftrightarrow left [ egin{matrix} x=sqrt{2}Rightarrow y=-sqrt{3} x=-sqrt{2}Rightarrow y=sqrt{3} end{matrix}

Vậy hệ pt trên có 2 nghiệm small left ( sqrt{2};-sqrt{3} ight ); left (- sqrt{2};sqrt{3} ight ) .

° Ví dụ 2: Trên tập số phức, tìm m để phương trình bậc hai: z2 + mz + i = 0 (*) có $small z_{1}^{2}+z_{2}^{2}=-4i$ với z1, z2 là nghiệm của (*).

* Lời giải:

- Gọi m=a+bi với a,b∈R.

- Theo bài toán, ta có: $small z_{1}^{2}+z_{2}^{2}=-4i$ $small Leftrightarrow left ( z_{1}+z_{2} ight )^{2}-2z_{1}z_{2}=-4i$

Theo Vi-ét: z1+z2=-m, z1z2=i nên: $small m^{2}-2i=-4iLeftrightarrow m^{2}=-2i$ .

- Vậy ta có hệ: $small left{egin{matrix} a^{2}-b^{2}=0 2ab=-2 end{matrix} ight.Leftrightarrow left [ egin{matrix} a=1Rightarrow b=-1 a=-1Rightarrow b=1 end{matrix}$

⇒ m=1-i hoặc m=-1+i.

° Ví dụ 3: Giải phương trình sau trên tập số phức:

a) z2 - 2z + 17 = 0

b) z2 + (2i+1)z + 1 - 5i = 0

c) $small frac{4z-3-7i}{z-i}=z-2i$

* Lời giải:

a) Ta có: z2 - 2z + 17 = 0 ⇔ z2 - 2z + 1 = -16 ⇔ (z + 1)2 = 16i2

⇔ (z + 1)2 = (4i)2 nên phương trình có 2 nghiệm phức: z1 = -1-4i; z2 = -1+4i

b) Ta có: $small Delta =(2i+1)^{2}-4(1-5i)$ $small =-7+24i=(3+4i)^{2}$ small Rightarrow sqrt{Delta }=3+4i

⇒ phương trình đã cho có 2 nghiệm z1=1+i; z2=-2-3i.

• Dạng 7: Phương trình quy về phương trình bậc 2

* Phương pháp giải: Đặt ẩn phụ và đưa về phương trình bậc 2 tính Δ.

° Ví dụ 1: Giải phương trình phức sau: $small z^{4}-z^{3}+frac{z^{2}}{2}+z+1=0$

* Lời giải:

- Nhận thấy, z=0 không phải nghiệm của phương trình nên chia 2 vế cho z2, ta được: $small z^{2}-z+frac{1}{2}+frac{1}{z}+frac{1}{z^{2}}=0$

$small Leftrightarrow left (z^{2}-2.z.frac{1}{z}+frac{1}{z^{2}} ight )-left ( z-frac{1}{z} ight )+2+frac{1}{2}=0$

$small Leftrightarrow left (z-frac{1}{z} ight )^{2}-left ( z-frac{1}{z} ight )+frac{5}{2}=0 ,(*)$

- Đặt $small t=z-frac{1}{z}$ , thi (*) trở thành: $small t^{2}-t+frac{5}{2}=0$

$small Leftrightarrow t^{2}-t+frac{1}{4}=-frac{9}{4}$ $small Leftrightarrow left ( t-frac{1}{2} ight )^{2}=left ( frac{3i}{2} ight )^{2}$

$small Leftrightarrow t=frac{1+3i}{2}$ hoặc $small t=frac{1-3i}{2}$

- Với $small t=frac{1+3i}{2}Rightarrow z-frac{1}{z}= frac{1+3i}{2}$ $small Leftrightarrow 2z^{2}-(1+3i)z-2=0$

small Leftrightarrow z=1+i hoặc $small dpi{100} fn_cm small z=-frac{1}{2}+frac{1}{2}i$

- Với $small t=frac{1-3i}{2}Rightarrow z-frac{1}{z}=frac{1-3i}{2}$ $small Leftrightarrow 2z^{2}-(1-3i)z-2=0$

small Leftrightarrow z=1-i hoặc $small z=-frac{1}{2}-frac{1}{2}i$

- Vậy phương trình (*) có 4 nghiệm: $small z=1-i;z=1+i;z=-frac{1}{2}-frac{1}{2}i;z=-frac{1}{2}+frac{1}{2}i$

° Ví dụ 2: Giải các phương trình phức sau:

a) $small z^{4}-(2-i)z^{2}-2i=0$

b) $small 2z^{4}-7z^{3}+9z^{2}-7z+2=0$

c) $small 4z^{4}-(6+10i)z^{3}+(15i-8)z^{2}+(6+10i)z+4=0$

d) $small 25(5z^{2}+2)^{2}+4(25z+6)^{2}=0$

e) $small z^{4}-(3+i)z^{3}+(4+3i)z^{2}-2(3+i)z+4=0$

* Lời giải:

a) Đặt t = z2, khi đó pt trở thành:

$small t^{2}-(2-i)t-2i=0Leftrightarrow left [ egin{matrix} t=2 t=-i end{matrix}$

- Với small t=2Rightarrow z=pm isqrt{2}

- Với $small t=-iRightarrow z=pm frac{sqrt{2}}{2}(-1+i)$

b) Nhận thấy z=0 không phải là nghiệm của phương trình nên chia 2 vế pt cho z2 ta được:

$small 2left ( z^{2}+frac{1}{z^{2}} ight )-7left ( z+frac{1}{z} ight )+9=0$

$small Leftrightarrow small 2left ( z^{2}+2.z^{2}.frac{1}{z^{2}}+frac{1}{z^{2}} ight )-7left ( z+frac{1}{z} ight )+5=0$

$small Leftrightarrow 2left ( z+frac{1}{z} ight )^{2}-7left ( z+frac{1}{z} ight )+5=0$ (*)

- Đặt $small t=z+frac{1}{z}$ , khi đó pt (*) trở thành: $small 2t^{2}-7t+5=0$ small Leftrightarrow t=1 hoặc $small t=frac{5}{2}$

- Với $small t=1Rightarrow z=frac{1+isqrt{3}}{2}$ và $small z=frac{1-isqrt{3}}{2}$

- Với $\small t=\frac{5}{2}\Rightarrow z=2$ hoặc $small z=frac{1}{2}$

c) Đáp án: $small z_{1}=2;z_{2}=-frac{1}{2};z=2i;z=frac{1}{2}i$

d) Đáp án: $small z_{1}=frac{1-11i}{5};z_{2}=frac{-1+i}{5}$ ; $small z_{3}=frac{1+11i}{5};z_{4}=frac{-1-i}{5}$

• Dạng 8: Dạng lượng giác của số phức

* Phương pháp giải:

° Công thức De - Moivre: Là công thức nền tảng cho một loạt công thức quan trọng khác như phép luỹ thừa, khai căn số phức, công thức Euler.

- Công thức 1: small (cosx + isinx)(cosy + isiny)=cos(x+y)+isin(x+y)

- Công thức 2: $small (cosx + isinx)^{n}=cos(nx)+isin(nx)$

- Số phức z=a+bi ta có: $small z=a+bi=sqrt{a^{2}+b^{2}}left ( frac{a}{sqrt{a^{2}+b^{2}}}+frac{b}{sqrt{a^{2}+b^{2}}}i ight )$

small =left | z ight |left ( cosvarphi +isinvarphi ight )=rleft ( cosvarphi +isinvarphi ight ) ,

với small r=left | z ight | và góc φ được gọi là argument của z ký hiệu là arg(z). Ngược lại với phép luỹ thừa ta có phép khai căn.

° Ví dụ 1: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác, từ đó hãy viết dạng đại số của z2012

a) small z=-2+2i

b) small z=sqrt{6}-sqrt{2}i

c) $small z=1-cosleft ( frac{pi }{8} ight )+isinleft (frac{ pi }{8} ight )$

* Lời giải:

a) Ta có:

$small r=sqrt{(-2)^{2}+2^{2}}=2sqrt{2};$ $small sinvarphi =frac{2}{2sqrt{2}}=frac{1}{sqrt{2}}$ ; $small cosvarphi =-frac{1}{sqrt{2}}$

$small Rightarrow r=2sqrt{2};varphi =frac{3pi }{4}$

- Vậy $small z=2sqrt{2}left ( cosfrac{3pi }{4}+ isinfrac{3pi }{4} ight )$

$small Rightarrow z^{2012}=(2sqrt{2})^{2012}left ( cosfrac{3pi }{4} +isinfrac{3pi }{4} ight )^{2012}$ $small =2^{3018}( cos503pi +isin503pi)=-2^{3018}$

- Vậy z2012=-23018

b) Ta có:

$small z=2sqrt{2}left ( frac{sqrt{3}}{2} -frac{1}{2}i ight )$ $small =2sqrt{2}left [ cosleft ( -frac{pi }{6} ight )+isinleft ( -frac{pi }{6} ight ) ight ]$

$small Rightarrow z^{2012}=2^{3018}left ( cosfrac{-1006pi }{3}+isinfrac{-1006pi }{3} ight )$ $small =2^{3018}left ( cosfrac{2pi }{3}+isinfrac{2pi }{3} ight )$ $small =2^{3018}left ( -frac{1}{2}+frac{sqrt{3}}{2}i ight )=2^{3017}(-1+sqrt{3}i)$

c) Ta có:

$small z=2sin^{2}frac{pi }{16}+2isinfrac{pi }{16}cosfrac{pi }{16}$ $small =2sinfrac{pi }{16}left ( sinfrac{pi }{16} +icosfrac{pi }{16} ight )$ $small =2sinfrac{pi }{16}left ( cosfrac{7pi }{16} +isinfrac{7pi }{16} ight )$

$small Rightarrow z^{2012}=left (2sinfrac{pi }{16} ight )^{2012}left ( cosfrac{7pi }{16} +isinfrac{7pi }{16} ight )^{2012}$

$small =left (2sinfrac{pi }{16} ight )^{2012}left ( cosfrac{3521pi }{4} +isinfrac{3521pi }{4} ight )$

$small =left (2sinfrac{pi }{16} ight )^{2012}left ( cosfrac{pi }{4} +isinfrac{pi }{4} ight )$

$small small =left (2sinfrac{pi }{16} ight )^{2012}left ( frac{sqrt{2}}{2}+frac{sqrt{2}}{2}i ight )$

° Ví dụ 2: Gọi z1, z2 là nghiệp của phương trình: $small z^{2}-(1+sqrt{3})(1-i)z-4i=0$ , tính giá trị của biểu thức: Q=z12012 + z22012

* Lời giải:

- Ta có: small Delta =2i(4-2sqrt{3})

- Lại có: $small 4-2sqrt{3}=(sqrt{3}-1)^{2}$ và $small 2i=(i+1)^{2}$ $small Rightarrow Delta =left [ left ( sqrt{3}-1 ight )left ( i+1 ight ) ight ]^{2}$

⇒ Phương trình đã cho có 2 nghiệm: $small z_{1}=sqrt{3}-i;z_{2}=1-isqrt{3}$

- Mặt khác $small z_{1}=sqrt{3}-i=2left [ cosleft ( -frac{pi }{6} ight )+ isinleft ( -frac{pi }{6} ight ) ight ]$

$small z_{2}=1-isqrt{3}=2left [ cosleft ( -frac{pi }{3} ight )+ isinleft ( -frac{pi }{3} ight ) ight ]$

$small Rightarrow Q=2^{2012}left [ cosleft ( -frac{2012pi }{6} ight ) +isinleft ( -frac{2012pi }{6} ight )+cosleft ( -frac{2012pi }{3} ight )+isinleft ( -frac{2012pi }{3} ight ) ight ]$

$small Leftrightarrow Q=2^{2012}left ( -frac{1}{2}+ifrac{sqrt{3}}{2}-frac{1}{2}-ifrac{sqrt{3}}{2} ight )=-2^{2012}$

° Ví dụ 3: Giải phương trình: $small cosx-cos2x+cos3x=frac{1}{2}$

* Lời giải:

- Đặt small z=cosx+isinx thì $small cosx=frac{z^{2}+1}{2z},cos2x=frac{z^{4}+1}{2z^{2}}, cos3x=frac{z^{6}+1}{z^{3}}$

- Phương trình đã cho trở thành: $small frac{z^{2}+1}{2z}-frac{z^{4}+1}{2z^{2}}+frac{z^{6}+1}{2z^{3}}=frac{1}{2}$

$small Leftrightarrow z^{6}-z^{5}+z^{4}-z^{3}+z^{2}-z+1=0$ (*)

- Vì z=-1 không phải là nghiệm của phương trình nên nhân 2 vế (*) với (z+1) ta được:

$small (z+1)left (z^{6}-z^{5}+z^{4}-z^{3}+z^{2}-z+1 ight )=0$ $small Leftrightarrow z^{7}+1=0$

$small Leftrightarrow z^{7}=-1=cospi +isinpi$

- Nên $small z=cosleft ( frac{pi +k2pi }{7} ight )+isinleft ( frac{pi +k2pi }{7} ight ),k=overline{0;6}$ vì z≠-1 nên không nhận giá trị k=3.

- Vậy phương trình đã cho có nghiệm: $small x=frac{pi }{7}+m2pi ;$ $small x=frac{3pi }{7}+m2pi ;$ $small x=frac{5pi }{7}+m2pi ;$ $small x=frac{9pi }{7}+m2pi ;$ $small x=frac{11pi }{7}+m2pi ;$ $small x=frac{13pi }{7}+m2pi ;$ với small min mathbb{Z} .

• Dạng 9: Tìm cực trị của số phức

* Phương pháp giải: Vận dụng kiến thức tìm cực trị

° Ví dụ 1: Cho số phức z thoả mãn small left | z-4+3i ight |=3 , tìm số phức z có modul nhỏ nhất.

* Lời giải:

- Đặt small z=a+bi,(a,bin mathbb{R}) , khi đó small left | z-4+3i ight |=3Leftrightarrow left | (a-4)+(b+3)i ight |

$small dpi{100} fn_cm small Leftrightarrow (a-4)^{2}+(b+3)^{2}=9$ . Vì vậy các điểm M biểu diễn số phức z thoả mãn bài toán nằm trên đường tròn tâm I(4;-3) bán kính R=3.

- Vậy |z| đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi điểm M∈(C) và gần O nhất. Khi đó M là giao điểm của (C) và đường thẳng OI, với M là giao điểm gần O hơn và $small OI=sqrt{4^{2}+(-3)^{2}}=5$