Một Vài Tính Chất Cơ Bản Của Môđun Và Argument

Chúng tôi trên mạng xã hội

Chúng tôi trên mạng xã hội

Đăng nhập Đăng ký
  • Trang nhất
  • Chương trình
  • Số phức

Một vài tính chất cơ bản của môđun và argument

Thứ hai - 18/04/2016 19:40 Một vài tính chất cơ bản của môđun và argument. Công thức Euler cho số phức. Công thức Moirve. Một vài tính chất quan trọng của môđun và argument. Nhắc lại rằng số phức $ z = a + bi $ được biểu diễn bởi điểm $M\left( {a;b} \right)$ trong mặt phẳng phức $Oxy$. Mô-đun hay còn gọi là độ lớn của $z$ là đại lượng $\sqrt {{a^2} + {b^2}} $, và đây cũng chính là độ dài của vector $\overrightarrow {OM} $. Góc hợp bởi $\overrightarrow {OM} $ và chiều dương của trục $Ox$ được gọi là argument của $z$, ký hiệu $\arg \left( z \right)$. $\left( a \right)$ Vì số phức $ z = a + bi $ và liên hợp của nó là ${\bar z} = a - bi$ được biểu diễn bởi hai điểm $M\left( {a;b} \right)$ và $M'\left( {a;-b} \right)$ đối xứng nhau qua trục thực $Ox$ nên ta có $$\left| z \right| = \left| {\bar z} \right|;\;\;\;\;\arg \left( {\bar z} \right) = - \arg \left( z \right).$$
Ví dụ 1. Số phức $z = 1 + \sqrt 3 i$ và liên hợp của nó là $\bar z = 1 - \sqrt 3 i$ lần lượt được biểu diễn bởi $M$ và điểm $M'$. Ta cũng có $$ \begin{gathered} \left| z \right| = \sqrt {{1^2} + {{\sqrt 3 }^2}} = 2 = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - \sqrt 3 } \right)}^2}} = \left| {\bar z} \right|. \\ \arg \left( z \right) = \alpha = {60^o};\;\;\; \arg \left( {\bar z} \right) = - \alpha = - {60^o}. \\ \end{gathered} $$ Dạng lượng giác là $$\begin{gathered} z = 1 + \sqrt 3 i = 2\left( {\frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right) = 2\left( {\cos {{60}^o} + i\sin {{60}^o}} \right). \hfill \\ \bar z = 1 - \sqrt 3 i = 2\left( {\frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right) = 2\left( {\cos {{60}^o} - i\sin {{60}^o}} \right) = 2\left[ {\cos \left( { - {{60}^o}} \right) + i\sin \left( { - {{60}^o}} \right)} \right]. \hfill \\ \end{gathered} $$ $\left( b \right)$ Với hai số phức ${z_1} = {r_1}\left( {\cos {\alpha _1} + i\sin {\alpha _1}} \right)$ và ${z_2} = {r_2}\left( {\cos {\alpha _2} + i\sin {\alpha _2}} \right)$ ta có $$\left| {{z_1} \cdot {z_2}} \right| = \left| {{z_1}} \right| \cdot \left| {{z_2}} \right|;\;\;\;\; \;\;\;\; \arg \left( {{z_1} \cdot {z_2}} \right) = \arg \left( {{z_1}} \right) + \arg \left( {{z_2}} \right).$$ Ví dụ 2. Xét hai số phức ${z_1} = \sqrt 3 - i$ và ${z_2} = 1 + \sqrt 3 i$. Ta kiểm chứng tính chất $\left( b \right)$ cho hai số phức này. Dạng lượng giác của hai số phức này như sau $$\eqalign{ & {z_1} = \sqrt 3 - i = 2\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{1}{2}i} \right) = 2\left[ {\cos \left( { - {{30}^o}} \right) + i\sin \left( { - {{30}^o}} \right)} \right] \cr & {z_2} = 1 + \sqrt 3 i = 2\left( {\frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right) = 2\left( {\cos {{60}^o} + i\sin {{60}^o}} \right). \cr} $$ Như vậy $\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = 2$ và $\arg \left( {{z_1}} \right) = - {30^o},\arg \left( {{z_2}} \right) = {60^o}.$ Với lưu ý $ i^2 = -1$ ta có $$\eqalign{ & {z_1} \cdot {z_2} = 2\left[ {\cos \left( { - {{30}^o}} \right) + i\sin \left( { - {{30}^o}} \right)} \right] \cdot 2\left( {\cos {{60}^o} + i\sin {{60}^o}} \right) \cr & \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= 4\left\{ {\left[ {\cos {{60}^o}\cos \left( { - {{30}^o}} \right) - \sin \left( { - {{30}^o}} \right)\sin {{60}^o}} \right] + \left[ {\sin {{60}^o}\cos \left( { - {{30}^o}} \right) + \cos {{60}^o}\sin \left( { - {{30}^o}} \right)} \right]i} \right\} \cr & \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= 4\left[ {\cos \left( {{{60}^o} - {{30}^o}} \right) + i\sin \left( {{{60}^o} - {{30}^o}} \right)} \right] \cr & \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = 4\left( {\cos {{30}^0} + i\sin {{30}^o}} \right). \cr} $$ Rõ ràng $\left| {{z_1} \cdot {z_2}} \right| = 4 = \left| {{z_1}} \right| \cdot \left| {{z_2}} \right|;\;\;\;\arg \left( {{z_1} \cdot {z_2}} \right) = {30^o} = \arg \left( {{z_1}} \right) + \arg \left( {{z_2}} \right).$ Hoặc một cách khác là thao tác trực tiếp trên dạng đại số của $z_1$ và $z_2$ như sau $${z_1} \cdot {z_2} = \left( {\sqrt 3 - i} \right)\left( {1 + \sqrt 3 i} \right) = 2\sqrt 3 + 2i = 4\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i} \right) = 4\left( {\cos {{30}^o} + i\sin {{30}^o}} \right).$$ Một hệ quả quan trọng của tính chất $\left( b \right)$ là $$\left| {{z^n}} \right| = {\left| z \right|^n};\;\;\;\;\arg \left( {{z^n}} \right) = n\arg z.$$ Ví dụ 3. Xét số phức ${z} = \sqrt 3 + i$. Dạng lượng giác của nó là $$z = \sqrt 3 + i = 2\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i} \right) = 2\left( {\cos {{30}^o} + i\sin {{30}^o}} \right).$$ Ta có $$\eqalign{ & {z^2} = {2^2}\left[ {\cos \left( {2 \cdot {{30}^o}} \right) + i\sin \left( {2 \cdot {{30}^o}} \right)} \right] = 4\left( {\cos {{60}^o} + i\sin {{60}^o}} \right) = 2 + 2\sqrt 3 i; \cr & {z^3} = {2^3}\left[ {\cos \left( {3 \cdot {{30}^o}} \right) + i\sin \left( {3 \cdot {{30}^o}} \right)} \right] = 8\left( {\cos {{90}^o} + i\sin {{90}^o}} \right) = 8i; \cr & {z^4} = {2^4}\left[ {\cos \left( {4 \cdot {{30}^o}} \right) + i\sin \left( {4 \cdot {{30}^o}} \right)} \right] = 16\left( {\cos {{120}^o} + i\sin {{120}^o}} \right) = -8 + 8\sqrt 3 i. \cr} $$ Hệ quả trên có ứng dụng mạnh trong chuyện xây dựng công thức tìm căn của số phức. Học sinh xem vấn đề này ở đây. Công thức Euler cho số phức. Người ta chứng minh được rằng với mọi số thực $ \varphi $ ta có $${e^{\varphi i}} = \cos \varphi + i\sin \varphi, $$ trong đó $e = \lim {\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^n} \approx 2,71828...$ còn gọi là hằng số Euler. Từ công thức này, dùng quy tắc tính luỹ thừa ta có $${\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right)^n} = {\left( {{e^{\varphi i}}} \right)^n} = {e^{n\varphi i}} = \cos n\varphi + i\sin n\varphi .$$ Và công thức $${\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right)^n} = \cos n\varphi + i\sin n\varphi $$ được gọi là công thức Moivre. Ví dụ 4. Số phức ${z_2} = 1 + \sqrt 3 i$ được chuyển đổi về dạng Euler như sau $$z = \sqrt 3 + i = 2\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i} \right) = 2\left( {\cos {{30}^o} + i\sin {{30}^o}} \right) = 2 \cdot {e^{i \cdot {{30}^o}}}.$$ Từ đây, ta có $$\eqalign{ & {z^2} = {\left( {2{e^{i \cdot 30}}} \right)^2} = 4{e^{i \cdot 60}} = 4\left( {\cos {{60}^o} + i\sin {{60}^o}} \right) = 2 + 2\sqrt 3 i; \cr & {z^3} = {\left( {2{e^{i \cdot 30}}} \right)^3} = 8{e^{i \cdot 90}} = 8\left( {\cos {{90}^o} + i\sin {{90}^o}} \right) = 8i; \cr & {z^4} = {\left( {2{e^{i \cdot 30}}} \right)^4} = 16{e^{i \cdot 120}} = 16\left( {\cos {{120}^o} + i\sin {{120}^o}} \right) = 8 + 8\sqrt 3 i. \cr} $$

Tác giả bài viết: Cùng Học Toán

Tổng số điểm của bài viết là: 11 trong 6 đánh giá

Xếp hạng: 1.8 - 6 phiếu bầu Click để đánh giá bài viết Tweet

Góp ý hoặc một bài toán của Quý học viên hoặc Quý Phụ Huynh

Sắp xếp theo bình luận mới Sắp xếp theo bình luận cũ Sắp xếp theo số lượt thích Mã an toàn Mã bảo mật

Những tin mới hơn

  • Nghiệm của phương trình bậc hai (21/04/2016)
  • Căn của số phức (19/04/2016)

Bài viết cùng chuyên mục

  • Sự biểu diễn của số phức (05/04/2016)
  • Số phức (31/03/2016)
Chương trình Thư viện trực tuyến Kiến thức mới
  • 06 02.2016

    Hình chiếu vuông góc của đường thẳng lên mặt phẳng

    Hình chiếu vuông góc của đường thẳng lên mặt phẳng trong...

  • 25 08.2016

    Phương trình tiếp tuyến song song với một đường thẳng

    Viết phương trình tiếp tuyến song song với một đường thẳng...

  • 06 02.2016

    Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

    Công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau....

  • 05 02.2016

    Hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng

    Hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng. Tìm toạ độ hình...

  • 05 02.2016

    Đối xứng của một điểm qua mặt phẳng

    Đối xứng một điểm qua một mặt. Tìm toạ điểm đối xứng của một...

Thư viện trực tuyến
  • 28 02.2016

    Đề thi và đáp án tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2007

    Đề thi và đáp án tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2007

  • 28 02.2016

    Đề thi và đáp án tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2006

    Đề thi và đáp án tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2006

  • 10 03.2016

    Sách giáo khoa toán lớp 12

    Sách giáo khoa môn toán lớp 12. Sách bài tập môn toán lớp...

  • 09 03.2016

    Sách giáo khoa toán lớp 11

    Sách giáo khoa toán lớp 11. Sách bài tập toán lớp 11.

  • 09 03.2016

    Sách giáo khoa toán lớp 6

    Sách giáo khoa toán lớp 6. Sách bài tập toán lớp 6.

© Bản quyền thuộc về © 2015 Copyright by Cùng Học Toán. All rights reserved.. Mã nguồn NukeViet CMS. Thiết kế bởi TT Cùng Học Toán. Chúng tôi trên mạng xã hội

Chúng tôi trên mạng xã hội

Bạn đã không sử dụng Site, Bấm vào đây để duy trì trạng thái đăng nhập. Thời gian chờ: 60 giây

Thành viên đăng nhập

Hãy đăng nhập thành viên để trải nghiệm đầy đủ các tiện ích trên site Đăng nhập

Đăng ký thành viên

Để đăng ký thành viên, bạn cần khai báo tất cả các ô trống dưới đây
  • Bạn thích môn thể thao nào nhất
  • Món ăn mà bạn yêu thích
  • Thần tượng điện ảnh của bạn
  • Bạn thích nhạc sỹ nào nhất
  • Quê ngoại của bạn ở đâu
  • Tên cuốn sách "gối đầu giường"
  • Ngày lễ mà bạn luôn mong đợi
Mã bảo mật Tôi đồng ý với Quy định đăng ký thành viên

Từ khóa » Công Thức Tính Argument Của Số Phức