Các Khoảng Của Hàm Tăng Và Giảm Là Ví Dụ. "hàm Tăng Và Giảm"

Từ đồ thị tìm các khoảng tăng, giảm của hàm số bậc hai xy 0 11 Hàm số đang giảm trên khoảng nếu giá trị lớn hơn x tương ứng với giá trị nhỏ hơn của y, tức là khi di chuyển từ trái sang phải, biểu đồ đi xuống (xem khi nhấp chuột) khi nhấp chuột)

8 y x0 11 Tìm từ đồ thị và viết các khoảng tăng, giảm của hàm số bậc 2. Chú ý rằng đồ thị của hàm số bậc hai bao gồm hai nhánh. Các nhánh được kết nối với nhau bằng đỉnh của parabol. Khi ghi các khoảng tăng và giảm, hàm số (x) của đỉnh parabol sẽ đóng vai trò quan trọng nhất. Ví dụ 1. Xét chuyển động dọc theo từng nhánh của parabol riêng biệt: dọc theo nhánh trái, khi chuyển từ trái qua phải, đồ thị đi xuống tức là hàm số giảm dần; ở nhánh bên phải - đồ thị đi lên, có nghĩa là hàm số tăng. Trả lời: khoảng giảm (- ∞; -1]; khoảng tăng [-1; + ∞)

8 y x0 11 Tìm từ đồ thị và viết các khoảng tăng, giảm của hàm số bậc hai Ví dụ 2. Xét chuyển động dọc theo từng nhánh của parabol riêng biệt: dọc theo nhánh trái, khi chuyển động từ trái sang phải thì đồ thị đi lên, có nghĩa là chức năng tăng lên; ở nhánh bên phải - đồ thị đi xuống, nghĩa là hàm số đang giảm. Đáp số: khoảng tăng (- ∞; 3]; khoảng giảm [3; + ∞).

Nhiệm vụ cho quyết định độc lập(làm vào vở) Nhiệm vụ 1 Nhiệm vụ 2 Nhiệm vụ 3 Nhiệm vụ 4 Phụ lục

khoảng tăng (- ∞; -1]; giảm khoảng [-1; + ∞). kiểm tra câu trả lời. Tìm trên đồ thị và ghi các khoảng tăng, giảm của hàm số bậc hai 88 y x0 1 11 xem hoạt hình tự viết câu trả lời

«Khoảng giảm (- ∞; 3]; khoảng tăng [3; + ∞). Tìm trên đồ thị và ghi các khoảng tăng, giảm của hàm số bậc hai y x 11 0 8 2 xem hoạt hình ghi đáp án tự kiểm tra đáp án

Tìm trên đồ thị và ghi các khoảng tăng, giảm của hàm số bậc hai 8 y 0 1 1 x3 xem hoạt hình tự viết đáp án Khoảng giảm (- ∞; 0]; khoảng tăng [0; + ∞). kiểm tra câu trả lời

“Tìm trên đồ thị và ghi các khoảng tăng, giảm của hàm số bậc hai 8 1 y 01 x4 xem hoạt hình viết đáp án cho mình khoảng tăng (- ∞; - 0. 5]; khoảng giảm [- 0. 5; + ∞). kiểm tra câu trả lời

Ứng dụng Điểm biên của các khoảng tăng dần và giảm dần là hoành độ của đỉnh của parabol Điểm biên của các khoảng tăng dần và giảm dần luôn được viết tương ứng với dấu ngoặc vuông, tại vì hàm bậc hai tiếp diễn

1. Tìm miền của hàm

2.Tìm đạo hàm của hàm số

3. Lập phương trình đạo hàm bằng 0 và tìm các điểm tới hạn của hàm số

4. Đánh dấu các điểm tới hạn trên miền định nghĩa

5. Tính dấu của đạo hàm trong mỗi khoảng thu được

6. Tìm ra hoạt động của hàm số trong mỗi khoảng thời gian.

Ví dụ: Tìm khoảng thời gian tăng và giảm của một hàm sốf(x) = và số lượng các số không của hàm này trên khoảng.

Quyết định:

1.D ( f) = R

2. f"(x) =

D ( f") = D ( f) = R

3. Tìm các điểm tới hạn của hàm số bằng cách giải phương trình f"(x) = 0.

x(x – 10) = 0

các điểm quan trọng của chức năng x= 0 và x = 10.

4. Hãy xác định dấu của đạo hàm.

f"(x) + – +

f(x) 0 10x

trong các khoảng (-∞; 0) và (10; + ∞) đạo hàm của hàm số là dương và tại các điểm x= 0 và x = 10 hàm f(x) liên tục, do đó, chức năng nhất định tăng trên các khoảng: (-∞; 0];.

Hãy để chúng tôi xác định dấu hiệu của các giá trị hàm ở cuối đoạn.

f(0) = 3, f(0) > 0

f(10) = , f(10) < 0.

Vì hàm số giảm trên đoạn và dấu các giá trị của hàm số thay đổi, nên hàm số trên đoạn này có một số không.

Trả lời: hàm số f (x) tăng trên các khoảng: (-∞; 0] ;;

trên khoảng, hàm số có một nguyên hàm là nguyên hàm.

2. Điểm cực trị của hàm số: điểm cực đại và điểm cực tiểu. Điều kiện cần và đủ để tồn tại một cực trị của hàm số. Quy tắc kiểm tra một hàm cho điểm cực trị .

Định nghĩa 1:Các điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 được gọi là tới hạn hoặc đứng yên.

Định nghĩa 2. Một điểm được gọi là điểm cực tiểu (cực đại) của hàm nếu giá trị của hàm tại điểm này nhỏ hơn (lớn hơn) các giá trị gần nhất của hàm.

Cần lưu ý rằng mức tối đa và tối thiểu trong trường hợp này là địa phương.

Trên hình. 1. hình cực đại địa phương và mức tối thiểu.

Các chức năng tối đa và tối thiểu kết hợp tên gọi chung: điểm cực trị của hàm.

Định lý 1.(một tiêu chí cần thiết cho sự tồn tại của một cực trị của hàm). Nếu một hàm có thể phân biệt tại một điểm có cực đại hoặc cực tiểu tại điểm này, thì đạo hàm của nó biến mất tại,.

Định lý 2.(một tiêu chí đủ cho sự tồn tại của một điểm cực trị của hàm). Nếu một chức năng liên tục có đạo hàm tại tất cả các điểm của khoảng nào đó có chứa điểm tới hạn (có thể có ngoại lệ của chính điểm này), và Nếu đạo hàm, khi đối số đi từ trái sang phải qua điểm tới hạn, đổi dấu từ cộng sang trừ, thì hàm tại điểm này có cực đại và khi dấu chuyển từ trừ sang cộng, nó có cực tiểu.

Cao Thông tin quan trọng về hành vi của hàm cung cấp các khoảng tăng dần và giảm dần. Tìm chúng là một phần của quá trình khám phá chức năng và vẽ biểu đồ. Ngoài ra, các điểm cực trị, trong đó có sự thay đổi từ tăng sang giảm hoặc từ giảm sang tăng, được đưa ra. Đặc biệt chú ý khi tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng nào đó.

Trong bài viết này, chúng tôi sẽ đưa ra các định nghĩa cần thiết, xây dựng tiêu chí đủ cho sự tăng và giảm của một hàm số trên một khoảng và điều kiện đủ để tồn tại một cực trị, và áp dụng toàn bộ lý thuyết này để giải các ví dụ và bài toán.

Điều hướng trang.

Hàm số tăng, giảm trên một khoảng.

Định nghĩa của một hàm số tăng dần.

Hàm số y = f (x) tăng trên khoảng X nếu với bất kỳ và sự bất bình đẳng được thoả mãn. Nói cách khác, giá trị lớn hơn của đối số tương ứng với giá trị lớn hơn của hàm.

Định nghĩa hàm giảm dần.

Hàm số y = f (x) giảm trên khoảng X nếu với bất kỳ và sự bất bình đẳng . Nói cách khác, giá trị lớn hơn của đối số tương ứng với giá trị nhỏ hơn của hàm.

NHẬN XÉT: nếu hàm số xác định và liên tục tại hai đầu khoảng tăng hoặc giảm (a; b), nghĩa là tại x = a và x = b, thì các điểm này được tính vào khoảng tăng hoặc giảm. Điều này không mâu thuẫn với các định nghĩa của một hàm số tăng và giảm trên khoảng X.

Ví dụ, từ các thuộc tính của chính chức năng cơ bản chúng ta biết rằng y = sinx được xác định và liên tục đối với tất cả các giá trị thực của đối số. Do đó, từ sự tăng của hàm sin trên khoảng, chúng ta có thể khẳng định sự tăng trên khoảng.

Điểm cực trị, điểm cực trị của hàm số.

Điểm được gọi là điểm tối đa hàm y = f (x) nếu bất đẳng thức đúng với mọi x từ lân cận của nó. Giá trị của hàm số tại điểm cực đại được gọi là chức năng tối đa và biểu thị.

Điểm được gọi là điểm tối thiểu hàm y = f (x) nếu bất đẳng thức đúng với mọi x từ lân cận của nó. Giá trị của hàm số tại điểm cực tiểu gọi là chức năng tối thiểu và biểu thị.

Vùng lân cận của một điểm được hiểu là khoảng , là một số dương đủ nhỏ.

Điểm tối thiểu và tối đa được gọi là điểm cực trị và các giá trị hàm tương ứng với các điểm cực trị được gọi là chức năng cực đoan.

Đừng nhầm lẫn điểm cực trị của một hàm với điểm lớn nhất và giá trị nhỏ nhất chức năng.

Trên bức tranh đầu tiên giá trị cao nhất hàm số trên đoạn đạt tại điểm cực đại và bằng cực đại của hàm số và theo hình vẽ bên, giá trị cực đại của hàm số tại điểm x = b không phải là điểm cực đại.

Có đủ điều kiện để tăng, giảm hàm.

Trên cơ sở điều kiện đủ (dấu hiệu) cho sự tăng và giảm của hàm số, người ta tìm ra các khoảng tăng và giảm của hàm số.

Dưới đây là công thức tính dấu của hàm số tăng, giảm trên khoảng:

• nếu đạo hàm của hàm số y = f (x) dương với x bất kỳ trên khoảng X thì hàm số tăng trên X;
• Nếu đạo hàm của hàm số y = f (x) âm với x bất kỳ trên khoảng X thì hàm số đang giảm trên X.

Do đó, để xác định khoảng thời gian tăng và giảm của một hàm, cần phải:

Hãy xem xét một ví dụ về việc tìm khoảng của các hàm tăng và giảm để làm rõ thuật toán.

Ví dụ.

Tìm khoảng thời gian tăng và giảm của cơ số.

Quyết định.

Bước đầu tiên là tìm phạm vi của hàm. Trong ví dụ của chúng tôi, biểu thức ở mẫu số không được biến mất.

Hãy chuyển sang tìm đạo hàm của hàm số:

Để xác định khoảng tăng và giảm của một hàm theo một tiêu chí đủ, chúng ta giải các bất đẳng thức và trên miền định nghĩa. Hãy để chúng tôi sử dụng một cách tổng quát của phương pháp khoảng. Căn thực duy nhất của tử số là x = 2 và mẫu số biến mất tại x = 0. Các điểm này chia miền định nghĩa thành các khoảng trong đó đạo hàm của hàm số vẫn giữ nguyên dấu của nó. Hãy đánh dấu những điểm này trên trục số. Bằng các điểm cộng và điểm trừ, chúng ta biểu thị một cách có điều kiện các khoảng mà đạo hàm là dương hoặc âm. Các mũi tên bên dưới hiển thị sơ đồ mức tăng hoặc giảm của hàm trên khoảng thời gian tương ứng.

Vì vậy, và .

Tại điểm x = 2 hàm được xác định và liên tục, vì vậy nó phải được thêm vào cả hai khoảng tăng dần và giảm dần. Tại điểm x = 0, hàm chưa xác định nên điểm này không nằm trong khoảng bắt buộc.

Ta trình bày đồ thị của hàm số để so sánh kết quả thu được với nó.

Trả lời:

Hàm tăng ở , giảm trên khoảng (0; 2].

Điều kiện đủ để có cực trị của hàm số.

Tất nhiên, để tìm cực đại và cực tiểu của một hàm số, bạn có thể sử dụng bất kỳ dấu hiệu cực trị nào trong số ba dấu hiệu cực trị nếu hàm số đó thỏa mãn các điều kiện của chúng. Phổ biến nhất và thuận tiện là người đầu tiên trong số họ.

Điều kiện đủ đầu tiên cho một điểm cực trị.

Cho hàm số y = f (x) khả vi theo một tích của điểm và liên tục tại chính điểm đó.

Nói cách khác:

Thuật toán tìm điểm cực trị theo dấu đầu tiên của điểm cực trị của hàm số.

• Tìm phạm vi của chức năng.
• Ta tìm đạo hàm của hàm số trên miền xác định.
• Chúng tôi xác định các số không của tử số, các số không của mẫu số của đạo hàm và các điểm của miền mà đạo hàm không tồn tại (tất cả các điểm được liệt kê được gọi là các điểm có thể có, đi qua các điểm này, đạo hàm chỉ có thể đổi dấu).
• Các điểm này chia miền của hàm thành các khoảng trong đó đạo hàm giữ nguyên dấu của nó. Chúng ta xác định các dấu của đạo hàm trên mỗi khoảng (ví dụ, bằng cách tính giá trị của đạo hàm của hàm tại bất kỳ điểm nào trên một khoảng duy nhất).
• Chúng ta chọn các điểm mà tại đó hàm là liên tục và đi qua đó, đạo hàm thay đổi dấu - chúng là các điểm cực trị.

Quá nhiều lời, chúng ta hãy xem xét một vài ví dụ về việc tìm điểm cực trị và điểm cực trị của một hàm số bằng cách sử dụng điều kiện đủ đầu tiên cho điểm cực trị của một hàm số.

Ví dụ.

Tìm cực trị của hàm số.

Quyết định.

Miền của hàm là toàn bộ tập hợp số thực trừ x = 2.

Chúng tôi tìm đạo hàm:

Các số không của tử số là các điểm x = -1 và x = 5, mẫu số về 0 tại x = 2. Đánh dấu những điểm này trên trục số

Chúng tôi xác định các dấu hiệu của đạo hàm trên mỗi khoảng, vì điều này, chúng tôi tính giá trị của đạo hàm tại bất kỳ điểm nào của mỗi khoảng, ví dụ, tại các điểm x = -2, x = 0, x = 3 và x = 6.

Do đó, đạo hàm là dương trên khoảng (trong hình bên ta đặt dấu cộng trên khoảng này). Tương tự

Do đó, chúng tôi đặt một số trừ trên khoảng thời gian thứ hai, một số trừ trên khoảng thời gian thứ ba và cộng trên khoảng thời gian thứ tư.

Nó vẫn còn để chọn các điểm mà tại đó hàm là liên tục và dấu hiệu thay đổi đạo hàm của nó. Đây là những điểm cực trị.

Tại điểm x = -1 thì hàm số liên tục và đạo hàm đổi dấu từ cộng sang trừ nên theo dấu cực trị đầu tiên thì x = -1 là điểm cực đại, tương ứng với cực đại của hàm số .

Tại điểm x = 5 thì hàm số liên tục và đạo hàm đổi dấu từ trừ sang cộng nên x = -1 là điểm cực tiểu, tương ứng với cực tiểu của hàm số .

Hình minh họa đồ họa.

Trả lời:

XIN LƯU Ý: dấu hiệu đủ đầu tiên của một điểm cực trị không yêu cầu chức năng phải có thể phân biệt được tại chính điểm đó.

Ví dụ.

Tìm điểm cực trị và cực trị của hàm số .

Quyết định.

Miền của hàm là toàn bộ tập các số thực. Bản thân hàm có thể được viết là:

Hãy tìm đạo hàm của hàm số:

Tại điểm x = 0 không tồn tại đạo hàm, vì giá trị của các giới hạn một phía không trùng nhau khi đối số có xu hướng bằng không:

Đồng thời, nguyên hàm liên tục tại điểm x = 0 (xem phần khảo sát hàm liên tục):

Tìm các giá trị của đối số mà tại đó đạo hàm biến mất:

Ta đánh dấu tất cả các điểm thu được trên đường thực và xác định dấu của đạo hàm trên mỗi khoảng. Để làm điều này, chúng tôi tính toán các giá trị của đạo hàm trong điểm tùy ý mỗi khoảng thời gian, ví dụ, khi x = -6, x = -4, x = -1, x = 1, x = 4, x = 6.

I E,

Vì vậy, theo dấu hiệu đầu tiên của một điểm cực trị, các điểm tối thiểu là , điểm tối đa là .

Ta tính giá trị cực tiểu tương ứng của hàm

Chúng tôi tính điểm cực đại tương ứng của hàm

Hình minh họa đồ họa.

Trả lời:

.

Dấu cực trị thứ hai của hàm số.

Như bạn có thể thấy, dấu cực trị của hàm này yêu cầu sự tồn tại của đạo hàm ít nhất lên đến bậc hai tại điểm.

phát sinh. Nếu đạo hàm của một hàm số dương tại bất kỳ điểm nào trong khoảng đó thì hàm số đó đang tăng; nếu đạo hàm của hàm số đó đang giảm.

Để tìm khoảng tăng và giảm của một hàm số, bạn cần tìm miền xác định của nó, đạo hàm, giải các bất phương trình dạng F ’(x)> 0 và F’ (x)

Quyết định.

3. Giải các bất phương trình y ’> 0 và y’ 0; (4 - x) / x³

Quyết định. 1. Tìm miền của hàm số. Rõ ràng, biểu thức ở mẫu số phải luôn khác 0. Do đó, 0 bị loại khỏi miền xác định: hàm xác định với x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; + ∞).

2. Tính đạo hàm của hàm số: y '(x) = ((3 x² + 2 x - 4)' x² - (3 x² + 2 x - 4) (x²) ') / x ^ 4 = ((6 x + 2) x² - (3 x² + 2 x - 4) 2 x) / x ^ 4 = (6 x³ + 2 x² - 6 x³ - 4 x² + 8 x) / x ^ 4 \ u003d (8 x - 2 x²) / x ^ 4 \ u003d 2 (4 - x) / x³.

3. Giải các bất phương trình y ’> 0 và y’ 0; (4 - x) / x³

4. Vế trái của bất đẳng thức có một số thực x = 4 và biến thành x = 0. Do đó, giá trị x = 4 là khoảng và trong khoảng giảm, còn điểm 0 thì không. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng x ∈ (-∞; 0) ∪.

4. Vế trái của bất đẳng thức có một số thực x = 4 và biến thành x = 0. Do đó, giá trị x = 4 là khoảng và trong khoảng giảm, còn điểm 0 thì không. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng x ∈ (-∞; 0) ∪.

Nguồn:

• cách tìm khoảng giảm trên một hàm

Hàm là sự phụ thuộc chặt chẽ của một số vào một số khác, hoặc giá trị của hàm (y) vào đối số (x). Mỗi quá trình (không chỉ trong toán học) có thể được mô tả bằng hàm riêng của nó, sẽ có đặc trưng: khoảng thời gian giảm và tăng, điểm cực tiểu và cực đại, v.v.

Bạn sẽ cần

• - giấy;
• - cái bút.

Hướng dẫn

Ví dụ 2 Tìm khoảng giảm của f (x) = sinx + x. Đạo hàm của hàm này sẽ bằng: f '(x) = cosx + 1. Giải bất phương trình cosx + 1

khoảng thời gian đơn điệu Một hàm có thể được gọi là một khoảng trong đó hàm chỉ tăng hoặc chỉ giảm. Hàng ngang hành động nhất định sẽ giúp tìm các phạm vi như vậy cho hàm, thường được yêu cầu trong các bài toán đại số loại này.

Hướng dẫn

Bước đầu tiên trong việc giải bài toán xác định khoảng thời gian mà hàm số tăng hoặc giảm một cách đơn điệu là tính toán của hàm số này. Để thực hiện việc này, hãy tìm tất cả các giá trị của các đối số (giá trị trên trục x) mà bạn có thể tìm thấy giá trị của hàm. Đánh dấu những điểm mà các khoảng trống được quan sát thấy. Tìm đạo hàm của hàm số. Sau khi xác định biểu thức đại diện cho đạo hàm, hãy cân bằng nó bằng không. Sau đó, bạn nên tìm gốc rễ của kết quả. Không phải về khu vực của \ u200b \ u200 có thể xoay được.

Các điểm mà tại đó hàm số hoặc tại đó đạo hàm của nó bằng 0 là ranh giới của các khoảng đơn điệu. Các phạm vi này, cũng như các điểm ngăn cách chúng, phải được nhập tuần tự vào bảng. Tìm dấu của đạo hàm của hàm số trong các khoảng kết quả. Để làm điều này, hãy thay thế bất kỳ đối số nào từ khoảng vào biểu thức tương ứng với đạo hàm. Nếu kết quả là dương, hàm trong khoảng này tăng, ngược lại thì nó giảm. Kết quả được nhập vào một bảng.

Dòng biểu thị đạo hàm của hàm f '(x) được viết tương ứng với các giá trị của các đối số: "+" - nếu đạo hàm là dương, "-" - âm hoặc "0" - bằng không. Trên dòng tiếp theo, lưu ý tính đơn điệu của chính biểu thức ban đầu. Mũi tên lên tương ứng với tăng, mũi tên xuống tương ứng với giảm. Kiểm tra các tính năng. Đây là những điểm mà đạo hàm bằng không. Điểm cực trị có thể là điểm cao hoặc điểm thấp. Nếu phần trước của chức năng đang tăng và phần hiện tại đang giảm, thì đây là điểm tối đa. Trong trường hợp khi hàm đang giảm đến một điểm nhất định và bây giờ nó đang tăng lên thì đây là điểm tối thiểu. Nhập vào bảng các giá trị của hàm tại các điểm cực trị.

Nguồn:

• định nghĩa của monotonicity là gì

Điều tra hành vi của một chức năng có nghiện phức tạp từ đối số, được thực hiện bằng cách sử dụng đạo hàm. Theo bản chất của sự thay đổi trong đạo hàm, người ta có thể tìm thấy các điểm tới hạn và các khu vực tăng hoặc giảm của hàm.

Các cực trị của hàm

Định nghĩa 2

Một điểm $ x_0 $ được gọi là điểm cực đại của hàm $ f (x) $ nếu tồn tại một vùng lân cận của điểm này sao cho với tất cả $ x $ từ vùng lân cận này thì bất đẳng thức $ f (x) \ le f (x_0 ) $ hài lòng.

Định nghĩa 3

Một điểm $ x_0 $ được gọi là điểm cực đại của hàm $ f (x) $ nếu tồn tại một vùng lân cận của điểm này sao cho với tất cả $ x $ từ vùng lân cận này thì bất đẳng thức $ f (x) \ ge f (x_0) $ hài lòng.

Khái niệm điểm cực trị của một hàm số liên quan chặt chẽ đến khái niệm điểm tới hạn của một hàm số. Hãy để chúng tôi giới thiệu định nghĩa của nó.

Định nghĩa 4

$ x_0 $ được gọi là Điểm cốt lõi các hàm $ f (x) $ nếu:

1) $ x_0 $ - điểm bên trong các miền định nghĩa;

2) $ f "\ left (x_0 \ right) = 0 $ hoặc không tồn tại.

Đối với khái niệm về một điểm cực trị, người ta có thể xây dựng các định lý về đủ và điều kiện cần thiết sự tồn tại của anh ấy.

Định lý 2

Đủ điều kiện cực đoan

Đặt điểm $ x_0 $ là quan trọng của hàm $ y = f (x) $ và nằm trong khoảng $ (a, b) $. Để cho mỗi khoảng $ \ left (a, x_0 \ right) \ và \ (x_0, b) $ tồn tại đạo hàm $ f "(x) $ và giữ một dấu không đổi. Khi đó:

1) Nếu trên khoảng $ (a, x_0) $ đạo hàm $ f "\ left (x \ right)> 0 $ và trên khoảng $ (x_0, b) $ đạo hàm $ f" \ left (x \ đúng)

2) Nếu đạo hàm $ f "\ left (x \ right) 0 $ trên khoảng $ (a, x_0) $ thì điểm $ x_0 $ là điểm cực tiểu của hàm số này.

3) Nếu cả trên khoảng $ (a, x_0) $ và trên khoảng $ (x_0, b) $ thì đạo hàm $ f "\ left (x \ right)> 0 $ hoặc đạo hàm $ f" \ left (x \đúng)

Định lý này được minh họa trong Hình 1.

Hình 1. Điều kiện đủ để tồn tại cực trị

Ví dụ về cực trị (Hình 2).

Hình 2. Các ví dụ về điểm cực trị

Quy tắc kiểm tra một hàm cho điểm cực trị

2) Tìm đạo hàm $ f "(x) $;

7) Rút ra kết luận về sự có mặt của cực đại và cực tiểu trên mỗi khoảng, sử dụng Định lý 2.

Hàm tăng dần và giảm dần

Đầu tiên chúng ta hãy giới thiệu các định nghĩa của hàm tăng và giảm.

Định nghĩa 5

Một hàm $ y = f (x) $ được xác định trong khoảng thời gian $ X $ được gọi là tăng nếu với bất kỳ điểm nào $ x_1, x_2 \ in X $ với $ x_1

Định nghĩa 6

Một hàm $ y = f (x) $ được xác định trên khoảng $ X $ được gọi là giảm nếu đối với bất kỳ điểm nào $ x_1, x_2 \ in X $ với $ x_1f (x_2) $.

Kiểm tra một chức năng để tăng và giảm

Bạn có thể điều tra các hàm tăng và giảm bằng cách sử dụng đạo hàm.

Để kiểm tra một hàm cho các khoảng thời gian tăng và giảm, bạn phải làm như sau:

1) Tìm miền của hàm $ f (x) $;

2) Tìm đạo hàm $ f "(x) $;

3) Tìm các điểm tại đó đẳng thức $ f "\ left (x \ right) = 0 $;

4) Tìm các điểm mà $ f "(x) $ không tồn tại;

5) Đánh dấu trên đường tọa độ tất cả các điểm tìm được và miền của hàm số đã cho;

6) Xác định dấu của đạo hàm $ f ”(x) $ trên mỗi khoảng kết quả;

7) Kết luận: trong khoảng thời gian mà $ f "\ left (x \ right) 0 $ thì hàm tăng.

Ví dụ về các bài toán nghiên cứu các hàm tăng, giảm và sự hiện diện của các điểm cực trị

ví dụ 1

Khảo sát hàm tăng và giảm, và sự hiện diện của các điểm cực đại và cực tiểu: $ f (x) = (2x) ^ 3-15x ^ 2 + 36x + 1 $

Vì 6 điểm đầu tiên giống nhau nên chúng ta sẽ bốc thăm trước.

1) Miền xác định - tất cả các số thực;

2) $ f "\ left (x \ right) = 6x ^ 2-30x + 36 $;

3) $ f "\ left (x \ right) = 0 $;

\ \ \

4) $ f ”(x) $ tồn tại tại mọi điểm thuộc miền xác định;

5) Đường tọa độ:

Hình 3

6) Xác định dấu của đạo hàm $ f "(x) $ trên mỗi khoảng:

\ \}