Các Phương Pháp Phân Tích đa Thức Thành Nhân Tử - Tài Liệu Text

Tải bản đầy đủ (.doc) (15 trang)

1. Trang chủ
>>
2. Giáo án - Bài giảng
>>
3. Tư liệu khác

Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (161.44 KB, 15 trang )

CÁC PHƯƠNG PHÁPPHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬA. LÝ THUYẾTI. CÁC PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN1. Phương pháp đặt nhân tử chung–tử.Tìm nhân tử chung là những đơn, đa thức có mặt trong tất cả các hạng–Phân tích mỗi hạng tử thành tích của nhân tử chung và một nhân tửkhác.– Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại củamỗi hạng tử vào trong dấu ngoặc (kể cả dấu của chúng).Ví dụ 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.28a2b2 - 21ab2 + 14a2b = 7ab(4ab - 3b + 2a)2x(y – z) + 5y(z –y ) = 2(y - z) – 5y(y - z) = (y – z)(2 - 5y)xm + xm + 3 = xm (x3 + 1) = xm( x+ 1)(x2 – x + 1)2. Phương pháp dùng hằng đẳng thứctử.Dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân-Cần chú ý đến việc vận dụng hằng đẳng thức.Ví dụ 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.9x2 – 4 = (3x)2 – 22 = ( 3x– 2)(3x + 2)8 – 27a3b6 = 23 – (3ab2)3 = (2 – 3ab2)( 4 + 6ab2 + 9a2b4)25x4 – 10x2y + y2 = (5x2 – y)23. Phương pháp nhóm nhiều hạng tử–Kết hợp các hạng tử thích hợp thành từng nhóm.–Áp dụng liên tiếp các phương pháp đặt nhân tử chung hoặc dùng hằngđẳng thức.Ví dụ 3. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử2x3 – 3x2 + 2x – 3 = ( 2x3 + 2x) – (3x2 + 3) = 2x(x2 + 1) – 3( x2 + 1)= ( x2 + 1)( 2x – 3)x2 – 2xy + y2 – 16 = (x – y)2 - 42 = ( x – y – 4)( x –y + 4)4. Phối hợp nhiều phương pháp-Chọn các phương pháp theo thứ tự ưu tiên.-Đặt nhân tử chung.-Dùng hằng đẳng thức.-Nhóm nhiều hạng tử.Ví dụ 4. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử3xy2 – 12xy + 12x = 3x(y2 – 4y + 4) = 3x(y – 2)23x3y – 6x2y – 3xy3 – 6axy2 – 3a2xy + 3xy == 3xy(x2 – 2y – y2 – 2ay – a2 + 1)= 3xy[( x2 – 2x + 1) – (y2 + 2ay + a2)]= 3xy[(x – 1)2 – (y + a)2]= 3xy[(x – 1) – (y + a)][(x – 1) + (y + a)]= 3xy( x –1 – y – a)(x – 1 + y + a)II. PHƯƠNG PHÁP TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNGTỬ1. Đối với đa thức bậc hai (f(x) = ax2 + bx + c)a)Cách 1 (tách hạng tử bậc nhất bx):Bước 1: Tìm tích ac, rồi phân tích ac ra tích của hai thừa số nguyên bằngmọi cách.a.c = a1.c1 = a2.c2 = a3.c3 = … = ai.ci = …Bước 2: Chọn hai thừa số có tổng bằng b, chẳng hạn chọn tích a.c = ai.civới b = ai + ciBước 3: Tách bx = aix + cix. Từ đó nhóm hai số hạng thích hợp để phân tíchtiếp.Ví dụ 5. Phân tích đa thức f(x) = 3x2 + 8x + 4 thành nhân tử.Hướng dẫnPhân tích ac = 12 = 3.4 = (–3).(–4) = 2.6 = (–2).(–6) = 1.12 = (–1).(–12)-Tích của hai thừa số có tổng bằng b = 8 là tích a.c = 2.6 (a.c = ai.ci).-Tách 8x = 2x + 6x (bx = aix + cix)Lời giải3x2 + 8x + 4 = 3x2 + 2x + 6x + 4 = (3x2 + 2x) + (6x + 4)= x(3x + 2) +2(3x + 2)= (x + 2)(3x +2)b)Cách 2 (tách hạng tử bậc hai ax2)-Làm xuất hiện hiệu hai bình phương :f(x) = (4x2 + 8x + 4) – x2 = (2x + 2)2 – x2 = (2x + 2 – x)(2x + 2 + x)= (x + 2)(3x + 2)-Tách thành 4 số hạng rồi nhóm :f(x) = 4x2 – x2 + 8x + 4 = (4x2 + 8x) – ( x2 – 4) = 4x(x + 2) – (x – 2)(x + 2)= (x + 2)(3x + 2)f(x) = (12x2 + 8x) – (9x2 – 4) = … = (x + 2)(3x + 2)c)Cách 3 (tách hạng tử tự do c)-Tách thành 4 số hạng rồi nhóm thành hai nhóm:f(x) = 3x2 + 8x + 16 – 12 = (3x2 – 12) + (8x + 16) = … = (x + 2)(3x + 2)d)Cách 4 (tách 2 số hạng, 3 số hạng)f(x) = (3x2 + 12x + 12) – (4x + 8) = 3(x + 2)2 – 4(x + 2) = (x + 2)(3x –2)f(x) = (x2 + 4x + 4) + (2x2 + 4x) = … = (x + 2)(3x + 2)e)Cách 5 (nhẩm nghiệm): Xem phần III.Chú ý : Nếu f(x) = ax2 + bx + c có dạng A2 ± 2AB + c thì ta tách như sau :f(x) = A2 ± 2AB + B2 – B2 + c = (A ± B)2 – (B2 – c)Ví dụ 6. Phân tích đa thức f(x) = 4x2 - 4x - 3 thành nhân tử.Hướng dẫnTa thấy 4x2 - 4x = (2x)2 - 2.2x. Từ đó ta cần thêm và bớt 12 = 1 để xuất hiệnhằng đẳng thức.Lời giảif(x) = (4x2 – 4x + 1) – 4 = (2x – 1)2 – 22 = (2x – 3)(2x + 1)Ví dụ 7. Phân tích đa thức f(x) = 9x2 + 12x – 5 thành nhân tử.Lời giảiCách 1 : f(x) = 9x2 – 3x + 15x – 5 = (9x2 – 3x) + (15x – 5) = 3x(3x –1) +5(3x – 1)= (3x – 1)(3x + 5)Cách 2 : f(x) = (9x2 + 12x + 4) – 9 = (3x + 2)2 – 32 = (3x – 1)(3x + 5)2. Đối với đa thức bậc từ 3 trở lên (Xem mục III. Phương pháp nhẩmnghiệm)3. Đối với đa thức nhiều biếnVí dụ 11. Phân tích các đa thức sau thành nhân tửa)2x2 - 5xy + 2y2 ;b)x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y).Hướng dẫna)c.Phân tích đa thức này tương tự như phân tích đa thức f(x) = ax2 + bx +Ta tách hạng tử thứ 2 :2x2 - 5xy + 2y2 = (2x2 - 4xy) - (xy - 2y2) = 2x(x - 2y) - y(x - 2y)= (x - 2y)(2x - y)a) Nhận xét z - x = -(y - z) - (x - y). Vì vậy ta tách hạng tử thứ hai của đathức :x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = x2(y - z) - y2(y - z) - y2(x - y) + z2(x - y) == (y - z)(x2 - y2) - (x - y)(y2 - z2) = (y - z)(x - y)(x + y) - (x - y)(y - z)(y + z)= (x - y)(y - z)(x - z)Chú ý :1) Ở câu b) ta có thể tách y - z = - (x - y) - (z - x) (hoặc z - x= - (y - z) - (x y))2) Đa thức ở câu b) là một trong những đa thức có dạng đa thức đặc biệt.Khi ta thay x = y (y = z hoặc z = x) vào đa thức thì giá trị của đa thức bằng0. Vì vậy, ngoài cách phân tích bằng cách tách như trên, ta còn cách phântích bằng cách xét giá trị riêng (Xem phần VII).III. PHƯƠNG PHÁP NHẨM NGHIỆMTrước hết, ta chú ý đến một định lí quan trọng sau :Định lí : Nếu f(x) có nghiệm x = a thì f(a) = 0. Khi đó, f(x) có một nhântử là x – a và f(x) có thể viết dưới dạng f(x) = (x – a).q(x)Lúc đó tách các số hạng của f(x) thành các nhóm, mỗi nhóm đều chứanhân tử làx – a. Cũng cần lưu ý rằng, nghiệm nguyên của đa thức, nếucó, phải là một ước của hệ số tự do.Ví dụ 8. Phân tích đa thức f(x) = x3 + x2 + 4 thành nhân tử.Lời giảiLần lượt kiểm tra với x = ± 1, ± 2, 4, ta thấy f(–2) = (–2)3 + (–2)2 + 4 =0. Đa thức f(x) có một nghiệm x = –2, do đó nó chứa một nhân tử là x + 2.Từ đó, ta tách như sauCách 1 : f(x) = x3 + 2x2 – x2 + 4 = (x3 + 2x2) – (x2 – 4) = x2(x + 2) – (x – 2)(x+ 2)= (x + 2)(x2 – x + 2).Cách 2 : f(x) = (x3 + 8) + (x2 – 4) = (x + 2)(x2 – 2x + 4) + (x – 2)(x + 2)= (x + 2)(x2 – x + 2).Cách 3 : f(x) = (x3 + 4x2 + 4x) – (3x2 + 6x) + (2x + 4)= x(x + 2)2 – 3x(x + 2) + 2(x + 2) = (x + 2)(x2 – x + 2).Cách 4 : f(x) = (x3 – x2 + 2x) + (2x2 – 2x + 4) = x(x2 – x + 2) + 2(x2 – x + 2)= (x + 2)(x2 – x + 2).Từ định lí trên, ta có các hệ quả sau :Hệ quả 1. Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) có một nghiệm là x = 1.Từ đó f(x) có một nhân tử là x – 1.Chẳng hạn, đa thức x3 – 5x2 + 8x – 4 có 1 + (–5) + 8 + (–4) = 0 nên x = 1 làmột nghiệm của đa thức. Đa thức có một nhân tử là x – 1. Ta phân tích nhưsau :f(x) = (x3 – x2) – (4x2 – 4x) + (4x – 4) = x2(x – 1) – 4x(x – 1) + 4(x – 1)= (x – 1)( x – 2)2Hệ quả 2. Nếu f(x) có tổng các hệ số của các luỹ thừa bậc chẵn bằng tổngcác hệ số của các luỹ thừa bậc lẻ thì f(x) có một nghiệm x = –1. Từ đó f(x)có một nhân tử là x + 1.Chẳng hạn, đa thức x3 – 5x2 + 3x + 9 có 1 + 3 = –5 + 9 nên x = –1 là mộtnghiệm của đa thức. Đa thức có một nhân tử là x + 1. Ta phân tích như sau :f(x) = (x3 + x2) – (6x2 + 6x) + (9x + 9) = x2(x + 1) – 6x(x + 1) + 9(x + 1)= (x + 1)( x – 3)2Hệ quả 3. Nếu f(x) có nghiệm nguyên x = a và f(1) và f(–1) khác 0 thìvàđều là số nguyên.Ví dụ 9. Phân tích đa thức f(x) = 4x3 - 13x2 + 9x - 18 thành nhân tử.Hướng dẫnCác ước của 18 là ± 1, ± 2, ± 3, ± 6, ± 9, ± 18.f(1) = –18, f(–1) = –44, nên ± 1 không phải là nghiệm của f(x).Dễ thấy không là số nguyên nên –3, ± 6, ± 9, ± 18 không là nghiệm củaf(x). Chỉ còn –2 và 3. Kiểm tra ta thấy 3 là nghiệm của f(x). Do đó, ta táchcác hạng tử như sau := (x – 3)(4x2 – x + 6)Hệ quả 4. Nếu (là các số nguyên) có nghiệm hữu tỉ, trong đó p, q Z và (p , q)=1, thì p là ước a0, q là ước dương của an .Ví dụ 10. Phân tích đa thức f(x) = 3x3 - 7x2 + 17x - 5 thành nhân tử.Hướng dẫnCác ước của –5 là ± 1, ± 5. Thử trực tiếp ta thấy các số này không lànghiệm của f(x). Như vậy f(x) không có nghiệm nghuyên. Xét các số, ta thấy là nghiệm của đa thức, do đó đa thức có một nhân tử là 3x– 1. Ta phân tích như sau :f(x) = (3x3 – x2) – (6x2 – 2x) + (15x – 5) = (3x – 1)(x2 – 2x + 5).IV. PHƯƠNG PHÁP THÊM VÀ BỚT CÙNG MỘT HẠNG TỬ1. Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hiệu hai bình phươngVí dụ 12. Phân tích đa thức x4 + x2 + 1 thành nhân tửLời giảiCách 1 : x4 + x2 + 1 = (x4 + 2x2 + 1) – x2 = (x2 + 1)2 – x2 = (x2 – x + 1)(x2 + x+ 1).Cách 2 : x4 + x2 + 1 = (x4 – x3 + x2) + (x3 + 1) = x2(x2 – x + 1) + (x + 1)(x2 – x + 1)= (x2 – x + 1)(x2 + x + 1).Cách 3 : x4 + x2 + 1 = (x4 + x3 + x2) – (x3 – 1) = x2(x2 + x + 1) + (x – 1)(x2 +x + 1)= (x2 – x + 1)(x2 + x + 1).Ví dụ 13. Phân tích đa thức x4 + 16 thành nhân tửLời giảiCách 1 : x4 + 4 = (x4 + 4x2 + 4) – 4x2 = (x2 + 2)2 – (2x)2 = (x2 – 2x + 2)(x2 +2x + 2)Cách 2 : x4 + 4 = (x4 + 2x3 + 2x2) – (2x3 + 4x2 + 4x) + (2x2 + 4x + 4)= (x2 – 2x + 2)(x2 + 2x + 2)2. Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện nhân tử chungVí dụ 14. Phân tích đa thức x5 + x - 1 thành nhân tửLời giảiCách 1.x5 + x - 1 = x5 - x4 + x3 + x4 - x3 + x2 - x2 + x - 1= x3(x2 - x + 1) - x2(x2 - x + 1) - (x2 - x + 1)= (x2 - x + 1)(x3 - x2 - 1).Cách 2. Thêm và bớt x2 :x5 + x - 1 = x5 + x2 - x2 + x - 1 = x2(x3 + 1) - (x2 - x + 1)= (x2 - x + 1)[x2(x + 1) - 1] = (x2 - x + 1)(x3 - x2 - 1).Ví dụ 15. Phân tích đa thức x7 + x + 1 thành nhân tửLời giảix7 + x2 + 1 = x7 – x + x2 + x + 1 = x(x6 – 1) + (x2 + x + 1)= x(x3 – 1)(x3 + 1) + (x2+ x + 1)= x(x3 + 1)(x - 1)(x2 + x + 1) + ( x2 + x + 1)= (x2 + x + 1)(x5 - x4 – x2 - x + 1)Lưu ý : Các đa thức dạng x3m + 1 + x3n + 2 + 1 như x7 + x2 + 1, x4 + x5 + 1 đềuchứa nhân tử là x2 + x + 1.V. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾNĐặt ẩn phụ để đưa về dạng tam thức bậc hai rồi sử dụng các phương phápcơ bản.Ví dụ 16. Phân tích đa thức sau thành nhân tử :x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128Lời giảix(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = (x2 + 10x)(x2 + 10x + 24) + 128Đặt x2 + 10x + 12 = y, đa thức đã cho có dạng :(y - 12)(y + 12) + 128 = y2 - 16 = (y + 4)(y - 4) = (x2 + 10x + 16)(x2 +10x + 8)= (x + 2)(x + 8)(x2 + 10x + 8)Nhận xét: Nhờ phương pháp đổi biến ta đã đưa đa thức bậc 4 đối với xthành đa thức bậc 2 đối với y.Ví dụ 17. Phân tích đa thức sau thành nhân tử :A = x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + 1.Lời giảiCách 1. Giả sử x ≠ 0. Ta viết đa thức dưới dạngĐặtthì. Do đó :A = x2(y2 + 2 + 6y + 7) = x2(y + 3)2 = (xy + 3x)2== (x2 + 3x - 1)2.Dạng phân tích này cũng đúng với x = 0.Cách 2. A = x4 + 6x3 - 2x2 + 9x2 - 6x + 1 = x4 + (6x3 -2x2) + (9x2 - 6x +1)= x4 + 2x2(3x - 1) + (3x - 1)2 = (x2 + 3x - 1)2.VI. PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNHVí dụ 18. Phân tích đa thức sau thành nhân tử :x4 - 6x3 + 12x2 - 14x - 3Lời giảiThử với x= ±1; ±3 không là nghiệm của đa thức, đa thức không cónghiệm nguyên cũng không có nghiệm hữu tỷ. Như vậy đa thức trên phântích được thành nhân tử thì phải có dạng(x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 +(a + c)x3 + (ac+b+d)x2 + (ad+bc)x + bd= x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3.Đồng nhất các hệ số ta được :Xét bd= 3 với b, d Î Z, b Î {± 1, ± 3}. Với b = 3 thì d = 1, hệ điều kiệntrên trở thành2c = -14 - (-6) = -8. Do đó c = -4, a = -2.Vậy x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3= (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1).VII. PHƯƠNG PHÁP XÉT GIÁ TRỊ RIÊNGTrong phương pháp này, trước hết ta xác định dạng các nhân tử chứabiến của đa thức, rồi gán cho các biến các giá trị cụ thể để xác định các nhântử còn lại.Ví dụ 19. Phân tích đa thức sau thành nhân tử :P = x2(y – z) + y2(z – x) + z(x – y).Lời giảiThay x bởi y thì P = y2(y – z) + y2( z – y) = 0. Như vậy P chứa thừa số (x –y).Ta thấy nếu thay x bởi y, thay y bởi z, thay z bởi x thì p không đổi (đa thứcP có thể hoán vị vòng quanh). Do đó nếu P đã chứa thừa số (x – y) thì cũngchứa thừa số (y – z), (z – x). Vậy P có dạng k(x – y)(y – z)(z – x).Ta thấy k phải là hằng số vì P có bậc 3 đối với tập hợp các biến x, y, z, còntích(x – y)(y – z)(z – x) cũng có bậc 3 đối với tập hợp các biến x, y, z.Vì đẳng thức x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) = k(x – y)(y – z)(z – x) đúngvới mọi x, y, z nên ta gán cho các biến x ,y, z các giá trị riêng, chẳng hạn x =2, y = 1, z = 0 ta được:4.1 + 1.(–2) + 0 = k.1.1.(–2) suy ra k =1Vậy P = –(x – y)(y – z)(z – x) = (x – y)(y – z)(x – z)VIII. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ MỘT SỐ ĐA THỨC ĐẶC BIỆT1. Đưa về đa thức : a3 + b3 + c3 - 3abcVí dụ 20. Phân tích đa thức sau thành nhân tử :a)a3 + b3 + c3 - 3abc.b)(x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3.Lời giảia)a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b)3 - 3a2b - 3ab2 + c3 - 3abc= [(a + b)3 + c3] - 3ab(a + b + c)= (a + b + c)[(a + b)2 - (a + b)c + c2] - 3ab(a + b + c)= (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc -ca)b)Đặt x - y = a, y - z = b, z - x = c thì a + b + c. Theo câu a) ta có :a3 + b3 + c3 - 3abc = 0 Þ a3 + b3 + c3 = 3abc.Vậy (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 = 3(x - y)(y - z)(z - x)2. Đưa về đa thức : (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3Ví dụ 21. Phân tích đa thức sau thành nhân tử :a)(a + b + c)3 - a3 - b3 - c3.b)8(x + y + z)3 - (x + y)3 - (y + z)3 - (z + x)3.Lời giảia)(a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = [(a + b) + c]3 - a3 - b3 - c3= (a + b)3 + c3 + 3c(a + b)(a + b + c) - a3 - b3 - c3= (a + b)3 + 3c(a + b)(a + b + c) - (a + b)(a2 - ab + b2)= (a + b)[(a + b)2 + 3c(a + b + c) - (a2 - ab + b2)]= 3(a + b)(ab + bc + ca + c2) = 3(a + b)[b(a + c) + c(a + c)]= 3(a + b)(b + c)(c + a).b)Đặt x + y = a, y + z = b, z + x = c thì a + b + c = 2(a + b + c).Đa thức đã cho có dạng : (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3Theo kết quả câu a) ta có :(a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a)Hay 8(x + y + z)3 - (x + y)3 - (y + z)3 - (z + x)3= 3(x + 2y + z)(y + 2z + x)(z + 2x + y)B. BÀI TẬPBài tập 1: Phân tích đa thức thành nhân tử.1.16x3y + 0,25yz321. (a + b + c)2 + (a + b – c)2 – 4c22.x 4 – 4x3 + 4x222. 4a2b2 – (a2 + b2 – c2)23.2ab2 – a2b – b323. a 4 + b4 + c4 – 2a2b2 – 2b2c2 – 2a2c24.a 3 + a2b – ab2 – b324. a(b3 – c3) + b(c3 – a3) + c(a3 – b3)5.x 3 + x2 – 4x - 425. a 6 – a4 + 2a3 + 2a26.x 3 – x2 – x + 126. (a + b)3 – (a – b)37.x 4 + x3 + x2 - 127. X 3 – 3x2 + 3x – 1 – y38.x 2y2 + 1 – x2 – y228. X m + 4 + xm + 3 – x - 110. x 4 – x2 + 2x - 129. (x + y)3 – x3 – y311. 3a – 3b + a2 – 2ab + b230. (x + y + z)3 – x3 – y3 – z312. a 2 + 2ab + b2 – 2a – 2b + 131. (b – c)3 + (c – a)3 + (a – b)313. a 2 – b2 – 4a + 4b32. x3 + y3+ z3 – 3xyz14. a 3 – b3 – 3a + 3b33. (x + y)5 – x5 – y515. x 3 + 3x2 – 3x - 134. (x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 – (y2 + z2)316. x 3 – 3x2 – 3x + 117. x 3 – 4x2 + 4x - 118. 4a2b2 – (a2 + b2 – 1)219. (xy + 4)2 – (2x + 2y)220. (a2 + b2 + ab)2 – a2b2 – b2c2 – c2a2Bài tập 2: Phân tích đa thức thành nhân tử.1.x2 – 6x + 823.x3 – 5x2y – 14xy22.x2 – 7xy + 10y224.x4 – 7x2 + 13.a2 – 5a - 1425.4x4 – 12x2 + 14.2m2 + 10m + 826.x2 + 8x + 75.4p2 – 36p + 5627.x2 – 13x + 366.x3 – 5x2 – 14x28.x2 + 3x – 187.a4 + a2 + 129.x2 – 5x – 248.a4 + a2 – 230.3x2 – 16x + 59.x4 + 4x2 + 531.8x2 + 30x + 710. x3 – 10x - 1232.2x2 – 5x – 1211. x3 – 7x - 633.6x2 – 7x – 2012. x2 – 7x + 1234.x2 – 7x + 1013. x2 – 5x – 1435.x2 – 10x + 1614. 4 x2 – 3x – 136.3x2 – 14x + 1115. 3 x2 – 7x + 437.5x2 + 8x – 1316. 2 x2 – 7x + 338.x2 + 19x + 6017. 6x3 – 17x2 + 14x – 339.x4 + 4x2 - 518. 4x3 – 25x2 – 53x – 2440.x3 – 19x + 3019. x4 – 34x2 + 22541.x3 + 9x2 + 26x + 2420. 4x4 – 37x2 + 942.4x2 – 17xy + 13y221. x4 + 3x3 + x2 – 12x - 2043.- 7x2 + 5xy + 12y222. 2x4 + 5x3 + 13x2 + 25x + 1544.x3 + 4x2 – 31x - 7

Tài liệu liên quan

• CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
  • 14
  • 1
  • 6
• Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
  • 7
  • 751
  • 3
• Giúp học sinh vận dụng tốt các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
  • 16
  • 718
  • 1
• Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
  • 15
  • 700
  • 1
• skkn các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
  • 22
  • 1
  • 7
• skkn các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng vào giải nột số bài tập toán 8
  • 53
  • 700
  • 0
• SKKN Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
  • 32
  • 971
  • 2
• Rèn luyện kỹ năng vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải các bài toán đại số lớp 8 trường THCS Trần Phú
  • 105
  • 560
  • 0
• Chuyên đề Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Toán 8
  • 16
  • 516
  • 2
• Vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để giải một số dạng bài toán ở môn đại số lớp 8
  • 18
  • 539
  • 0

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

(166 KB - 15 trang) - Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Tải bản đầy đủ ngay ×