Các Phương Pháp Tìm Nguyên Hàm

Trang chủ » Tính Họ Nguyên Hàm Của Hàm Số Sin ( ) 2cos 3 X F X X » Các Phương Pháp Tìm Nguyên Hàm

Có thể bạn quan tâm

  • Trang Chủ
  • Đăng ký
  • Đăng nhập
  • Upload
  • Liên hệ

Lớp 12, Giáo Án Lớp 12, Bài Giảng Điện Tử Lớp 12

Trang Chủ › Toán Học Lớp 12›Giải Tích Lớp 12 Các phương pháp tìm nguyên hàm Các phương pháp tìm nguyên hàm

SỬ DỤNG BẢNG NGUYÊN HÀM

Tìm nguyên hàm bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm, các tính chất của nguyên hàm và các phép

biến đổi đại số

Bảng các nguyên hàm:

pdf 49 trang Người đăng ngochoa2017 Lượt xem 3296Lượt tải 0 Download Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Các phương pháp tìm nguyên hàm", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trênGiáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498 “ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ 1 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM Bài giảng đang được hoàn thiện mong các bạn thông cảm và góp ý theo địa chỉ Loinguyen1310@gmail.com SỬ DỤNG BẢNG NGUYÊN HÀM Tìm nguyên hàm bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm, các tính chất của nguyên hàm và các phép biến đổi đại số Bảng các nguyên hàm: Nguyên hàm hàm số sơ cấp Nguyên hàm hàm số hợp Trường hợp thường gặp dx x C  1 1 xx dx C        lndx x C x   2 1dx C xx      Cedxe xx   Ca adxa x x ln   Cxdxx sin.cos   Cxdxx cos.sin 2 2 1 (1 tan ). tan cos dx x dx x C x       22 1 1 cot cot sin dx x dx x C x          Cedxe xx 0dx C   Cudu 1 1 uu du C          Culnu du 2 du 1 C u u      Cedue uu   Caln adua u u   Cusinuducos   Cucosudusin 2cos du tgu C u   2 cotsin du gu C u    x 1 n n nxxdx C n        1 1 1 ax b ax b dx C a            Cbaxadxbax ln 1 )( 1    Ceadxe baxbax )()( 1 1 ln mx n mx n aa dx C m a     1cos( ) sin( )ax b dx ax b C a     1sin( ) cos( )ax b dx ax b C a         2 1 tan cos dx ax b C aax b        2 1 cot sin dx ax b C aax b      TQ:  1 f(ax + b)dx = F(ax + b) + C a Mở rộng: 10. ln sin 2 dx xtg x  +C 11. ln ( cos 2 4 dx xtg x    +C 14. 2 2 1 ln 2 dx x a x a a x a     +C 15. 2 2 2 2 lndx x x a x a      +C 16.   Caxx aaxxdxax 22 2 2222 ln 22 17. 2 2 arcsindx x C aa x     10. ln sin 2 du utg u  +C 11. ln ( cos 2 4 du utg u    +C 14. 2 2 1 ln 2 du u a u a a u a     +C 15. 2 2 2 2 lndu u u a u a      +C 16. 2 2 2 2 2 uu a du u a    2 2 2ln 2 a u u a   +C 17. 2 2 arcsindu u C aa u     Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498 “ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ 2 18. 2 2 1dx xarctg C a x a a    19. 2 2 2 2 2 arcsin 2 2 x a xa x dx a x C a      18. 2 2 1du uarctg C a u a a    19. 2 2 2 2 2 arcsin 2 2 u a ua u du a u C a      Chứng minh một số công thức cơ bản : 10. ln sin 2 dx xtg x  +C 11. ln tan cos 2 4 dx x x       +C Chứng minh : 10. Ta có : 2 2sin cos sin cos1 1 2 2 2 2 sin 2sin cos 2sin cos 2cos 2sin 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x xx      sin cos (cos ) (sin )1 12 2 2 2 2 2cos sin cos sin 2 2 2 2 ln cos ln sin ln 2 2 2 x x x xd d I dx dxx x x x x x xC tg C                 11. Ta có: cosx = sin(x+ 2  ) = 2sin( )cos( ) 2 4 2 4 x x    kết quả 14. 2 2 1 ln 2 dx x a x a a x a     +C Ta có : 2 2 1 1 1 ( ) ( ) 1 1 1 ( )( ) 2 ( )( ) 2 x a x a x a x a x a a x a x a a x a x a                    Do đó : 1 ( ) ( ) 1 ln 2 2 d x a d x a x aI C a x a x a a x a             15. 2 2 2 2 lndx x x a x a      +C Ta đặt : 2 2 2 2 2 2 2 (1 ) ln ln x x x at x x a dt dx dx x a x a x a dx dt dtdx dt I t C x x a C t t tx a                                16. 2 2 2 2 2 2 2ln 2 2 x ax a dx x a x x a      +C Ta đặt: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) xdxduu x a x a dv dx v x x dx x a a dxI x x a x x a x a x a                        Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498 “ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ln ln 2 2 dxx x a x a dx a x a x x a I a x x a x aI x a x x a C                      Ví dụ 1: (SGK – ban cơ bản T 101 và 102) Tìm các nguyên hàm: d.    Ce2 1dxeI 2x32x3 XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA Ví dụ 1: Chứng minh rằng hàm số:        01 0 )( 2 khixxx khixe xF x là một nguyên hàm của hàm số:       012 0)( khixx khixexf x trên R. Giải: Để tính đạo hàm của hàm số F(x) ta xét hai trường hợp sau: - Với x  0, ta có:       012 0 )(' khixx khixe xF x - Với x = 0, ta có: 1lim 0 )0()( lim)0(' 11lim 0 )0()( lim)0(' 0 00 02 00                   x ee x FxFF x exx x FxFF x xx xx Nhận xét rằng:      ’ 0 ’ 0 1 ’ 0 1F F F     , có nghĩa là hàm số F(x) có đạo hàm tại điểm x = 0. Tóm lại: )( 012 0 )(' xf khixx khixe xF x        Vậy F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên R. Ví dụ 2: Tìm xem các hàm số sau là nguyên hàm của các hàm số nào ? a.   1 ln logn x x aF x x x cosx + sinx + tanx + cotx + e a x xx        . b.   ln tan 2 xF x  c.   ln tan 2 4 xF x       d.   2ln ( )F x x x a a R    e.    2 21 .ln2F x x x a a x x a C      . Giải: a.     1 2 2 2 1 1 1 1 1 1’ sin cos .ln .lncos sin2 n x xF x f x nx x x e a a x x ax x xx             . Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498 “ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ 4 b.     2 2 ' 2 xt an ' os 1 12 2’ x s inxtan tan 2cos tan 2 2 2 2 x xc F x f x x x x                 Nhận xét: 1 ln tan sin 2 xdx C x   c.     xt an ' 2 4 1 1’ x osxt an sin x+ 2 4 2 F x f x c                         Nhận xét: 1 ln tan s x 2 4 xdx C co        d.       / 2 2 2 2 2 1 1’ x x x a x aF x f x x x a x x a x a            Nhận xét: 2 2 1 lndx x x a C x a       e.     2 2 2 2 2 1’ 2 x x aF x f x x a x a x a a              Nhận xét:  2 2 21 .ln2x adx x x a a x x a C       Bài tập áp dụng. Bài 1: Tính đạo hàm của hàm số ( ) ln xF x x  từ đó suy ra nguyên hàm: I = 2 1 1( ) lnln dx xx  Bài 2: Cho hàm số ( ) 3f x x x  . Xác định a, b, c để    2 3F x ax bx c x    là nguyên hàm của f(x). Bài 3: Xác định nguyên hàm F(x) của: 2 1(1 2 3 ... )nI x x nx dx     biết  0 0F  . Bài 4: Xác định nguyên hàm F(x) của hàm số    sin 1 sinf x x x  biết rằng 1 4 F        Bài 5: Tính đạo hàm của F(x) = 2ln 1x x C   từ đó suy ra nguyên hàm của hàm số: 2 1( ) 1 f x x   Bài 6: Chứng minh rằng a. ( ) ln 2 xF x tg C  là nguyên hàm của hàm số: 1( ) ( ) sin f x x k x   b. ( ) ln ( ) 2 4 xF x tg C   là nguyên hàm của hàm số: 1( ) ( ) cos 2 f x x k x     Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498 “ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ 5 c. 2 21( ) [ ln( )] 2 F x x x a a x x a     là nguyên hàm của hàm số: f(x) = 2x a . Bài 7: Chứng minh rằng hàm số f(x) có nguyên hàm F(x) thì hàm số   f ax b với a, b là hắng số a khác 0 có nguyên hàm là:  1 F ax b C a   Áp dụng tính các nguyên hàm sau. 3 3 . sin 5 . 1. cos . 2 7 xa xdx b e dx c dx d dx x     Bài 8: Cho g(x) là một hàm số tuỳ ý. Cmr hàm số ( ) ln ( )F x g x C  là nguyên hàm của hàm số: '( )( ) ( ) g xf x g x  . Áp dụng tính các nguyên hàm của các hàm số sau. 2 2 cos. . 1 2sin5 . cot . x xa dx b dx xx c gxdx d tgxdx     Bài 9: Tính đạo hàm của hàm số   2 lng x x x từ đó suy ra nguyên hàm của hàm số:   2 lnf x x x Bài 10: Chứng minh:    2ln 0F x x x k k    là một nguyên hàm của   2 1f x x k   trên các khoảng mà chúng cùng xác định. Áp dụng: tính 3 2 0 16 dxI x    Bài 11: Tính đạo hàm.   2 1u x x x   . Suy ra nguyên hàm các hàm số sau : a.     2 2 2 1 1 x x f x x     b.   2 1 1 h x x   c.    2 2 1 1 1 g x x x x     . Bài 12: Tìm hàm số  f x biết rằng 1.  ’ 2 1f x x  và  1 5 f  HD:        ' 2 21 1 1 5 3 3 f x f x dx x x C f C C f x x x               2.   2’ 2 –f x x và   72 3 f  Đs:   3 2 1 3 xf x x   3.  ’ 4f x x x  và f(4) = 0 Đs:   28 40 3 2 3 x x xf x    4.   2 1’ 2f x x x    và f(1) = 2 Đs:   2 1 32 2 2 xf x x x     5.   2’ , '(1) 0, (1) 4, ( 1) 2 bf x ax f f f x       Đs:   2 1 5 2 2 xf x x    TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH SỬ DỤNG BẢNG NGUYÊN HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM THƯỜNG GẶP VÀ CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA NGUYÊN HÀM Bài 1: (SGK – ban nâng cao T 141) Tìm các nguyên hàm: a.     2010 2009 2 32 3 4020 x I x dx C      Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498 “ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ 6 b. 24sin 2 sin 2I xdx x x C    c. 1 cos 4 1 sin 4 2 2 4 x xI dx x C         Bài 2: Tìm các nguyên hàm sau: a. 3 3 tan 1 cos 3cos xI dx C x x    b. 1 cos 4 1 sin 4 2 2 4 x xI dx x C         Bài 3: Tìm các nguyên hàm sau: a. 2 x xe ey   b. 2 lg 2 xe xy  c. 3 3sin .cos 3 cos .sin 3y x x x x  d. log lnay x x  e. sin .cos y mx nx (m, n là hằng số) Bài 4: Tìm các nguyên hàm sau: a. 33 3x x x my x     b. 4 33 2x x x my x     c. 3 1 2ln my x xx    d. 3( )py qx x   e. cos .cosy px qx (với m, n, p, q là các hằng số) TÍNH NGUYÊN HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ BẰNG CÁCH ĐƯA MỘT BIỂU THỨC VÀO DẤU VI PHÂN (NGUYÊN HÀM CỦA HÀM HỢP) Cho hàm số  y f x xác định trên  ,a b và có đạo hàm trên đoạn đó ta có 1. Vi phân của hàm số  y f x kí hiệu là : dy hoặc df ( Vi phân của biến là dx) 2. Công thức tính: 'dy y dx hoặc    'df x f x dx Muốn tính vi phân của một hàm số ta lấy đạo hàm của hàm số đó nhân với vi phân của biến số 3. Vi phân của các hàm số thường gặp: 1.   . d ax b a dx  2.    2 2d ax bx c ax b dx    3.    3 2 23 2d ax bx cx d ax bx c dx      4.  cos sin . d x x dx  5.  sin cosd x xdx 6.    sin .cos .d ax b a ax b dx     7.    cos sind ax b a ax b dx      8.  x xd e e dx 9.   ax b ax be ae dx  10.   2 1tan cos d x dx x  11.   2 1cot sin d x dx x  12.   1 2 d x dx x  13.   2 ad ax b dx ax b    14.   1lnd x dx x  15. 2 2 1 xd dx x a x a        16.    1 1 m md x m x   Bài 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau (với a, b, c, m, n là các hằng số): 1.  2007y mx n  2. 1y mx n   3. 4 3 2 1 2 2 xy x x x     4. 2 3 2 ( ) ax by ax bx c     5. ln n xy x  6. 2008 cos sin (sin cos ) x xy x x    Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498 “ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ 7 ... ìm nguyên hàm: sin cos 2 dxI x x    HD: Tương tự VD2 Dạng 13: sin .cosm nI x xdx  Trường hợp 1: - Nếu m lẻ đặt cosxu  - Nếu n lẻ đặt sinxu  - Nếu m và n lẻ sin cos Ha bâc nâng cung m n u x m n u x m n           Trường hợp 2: m và n chẵn  ; 0m n  dùng công thức hạ bậc nâng cung Trường hợp 3: m và n chẵn   ; 0m n  đặt tanu x Các trường hợp đặc biệt. +    sin , cos sin , cosR x x R x x   tức là R lẻ đối với sinx ta đặt cost x +    sin , cos sin , cosR x x R x x   ta đặt sint x +    sin , cos sin , cosR x x R x x   ta đặt tan .t x Trường hợp 4: (sin ;cos )R x x dx Phương pháp: Đặt 2 2 2 2 2 1sin ; cos 1 1 2 2 1 t tx xx t tt tg dtdx t             Ví dụ : Tìm nguyên hàm:      0 2 2 .sin2 2sin  dx x xI Giải: Ta có nhận xét rằng:      2 2 2 sin 2 2sin cos 2sin ( cos )(sin ,cos ) (sin , cos ) 2 sin 2 sin 2 sin x x x x xR x x R x x x x x            Từ nhận xét đó giúp ta định hướng được phép biến đổi. Đặt: sint x , khi đó cos .dt xdx Đổi cận: x 0 t 0 x t 1. 2             ; Khi đó: Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498 “ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ 44             00 0 0 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 2 22 2 2 2 2 ln 2 2ln 2 2. 2 22 2 2 ttdtI dt d t t t tt t t                              Bài tập tự giải: a. cos (1 sin ) 2 sin x xI dx x    b. 3sin .cos dxI x x   c. 3 54 sin .cos dxI x x    tant x d. 2 3 cos sin xdxI x   e. sin 2 2sin dxI x x   g. cos sin 1 sin 2 x xdxI x    h. sin cos 2cos sin x xdxI x x    i. 2 sin 2 1 sin xdxI x   k. 2 4sin .cos dxI x x   Dạng 15: Tìm nguyên hàm:    nxdxmxI cos.sin Cách làm: biến đổi tích sang tổng . Dạng 16: Tìm nguyên hàm của các hàm lượng giác bằng cách sử dụng các công thức lượng giác và các phép biến đổi lượng giác - Phép biến đổi tích thành tổng a.    1cos .cos cos cos 2 x y x y x y      b.     1sin .sin cos cos 2 x y x y x y      c.    1sin .cos sin sin 2 x y x y x y      d.     1cos .sin sin sin 2 x y x y x y      - Công thức nhân đôi a. sin 2 2sin cosx x x b. 2 2 2 2cos 2 1 2sin 2cos 1 cos sinx x x x x      - Công thức hạ bậc a. 2 1 cos 2sin 2 xx  b. 2 1 cos 2cos 2 xx  2 1 cos 2tan 1 cos 2 xx x     c. 3 3sin sin 3sin 4 x xx  d. 3 3cos cos3cos 4 x xx  Chú ý: Một số công thức a. 4 4 2 21 1 1 1 3sin cos 1 sin 2 cos 2 cos 4 2 2 2 4 4 x x x x x       b. 6 6 23 3 5sin cos 1 sin 2 cos 4 4 8 8 x x x x     c. 22 1 1 tan cos x x   d. 22 1 1 cot sin x x   e. 2 2sin cos 1x x  VD 1: Tìm nguyên hàm: sin 3 sin 4 cot 2 x xI dx tgx g x   Giải: Ta biến đổi: sin cos 2 sin 2 sin cos 2 cos cos 1cot 2 cos sin 2 sin 2 cos sin 2 cos sin 2 x x x x x x xtgx g x x x x x x x x        Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498 “ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ 45  sin 4 sin 3 1sin 4 sin 3 sin 2 cos cos7 sin 2 cot 2 2 x x x x x x x x tgx g x       1 1 1sin 2 cos sin 2 cos7 sin 3 sin sin 9 sin 5 2 2 4 x x x x x x x x       1 1 1 1 1sin 3 sin sin 9 sin 5 cos3 cos cos9 cos5 4 12 4 36 20 I x x x x dx x x x x C           VD2: Tìm nguyên hàm: cos sin cos 2 sin x x xI dx x    Giải: Ta biến đổi: cos sin cos cos (1 sin ) 2 sin 2 sin x x x x xI dx dx x x        Đặt: sin cost x dt xdx   1 2 1 ln 2 sin ln sin 2 2 2 2 t t dtI dt dt dt t t C x x C t t t                       VD 3: Tìm nguyên hàm: 3sin cos dxI x x   Giải: Ta biến đổi: 3 4sin cos tan cos dx dxI x x x x    Đặt: 2 1tan cos t x dt dx x    2 2 21 1 1ln tan ln tan 2 2 t dtI dt tdt t t C x x C t t              VD 3: Tìm nguyên hàm: 3 84 tan cos dxI x x   Giải: Ta biến đổi: 3 8 2 34 4tan cos cos tan dx dxI x x x x    Đặt : 2 1tan cos t x dt dx x    3 44 4 3 4 4 4dtB t dt t C tgx C t          Bài 6: Tìm các nguyên hàm: a. (ĐHAN 1997) 1 1 1cos3 .cos5 . sin 8 sin 2 2 8 2 I x x dx x x C        b. (ĐHBKHN – 1999) 1 1 1 1sin .sin 2 .cos5 . sin 2 sin 4 sin8 4 2 4 8 I x x x dx x x x C         Bài 7: (HVQHQT – 1997) Tìm nguyên hàm:   10 10 6 6 1 3sin cos sin cos 33 7sin 4 sin 864 8I x x x x dx x x x C            Bài 8: (HVQHQT – 1998) Tìm các nguyên hàm: a.  3 1sin .sin 3 . 3cos 2 3cos 4 6cos 1 8 I x x dx x x x C      b.  3 3 3sin .cos3 cos .sin 3 cos 416I x x x x dx x C     Bài 9: (ĐHNT TPHCM – 1999) Tìm các nguyên hàm: Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498 “ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ 46 a. sin cos ln sin cos sin cos x xI dx x x C x x        C1: đặt sin cosu x x  C2:  sin cos sin cos d x x I x x     C3:     2 sin cos sin cos cos 2 1 sin 2sin cos x x x x xI dx dx xx x        b. cos 2 sin cos sin cos xI dx x x C x x      Bài 10: Tìm các nguyên hàm: a. (ĐHSPHN П – 1999) 3sin 1 sin 3 1ln 3sin 4 6sin 6 3sin 2 48 sin 3 1 x xI dx C x x x x         b. (ĐHNTHN – 1997) sin 3 .sin 4 1 1 1 1cos cos3 cos5 cos9 tan cot 2 4 3 5 9 x xI dx x x x x C x x            Bài 11: (ĐHNT TPHCM – 1997) Tìm nguyên hàm: cos sin .cos sin ln 2 sin 2 sin x x xI dx x x C x        Dạng 16: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến Bài 12: (ĐH TCKT HN – 1996) Tìm nguyên hàm: 4 3 54 1 4 tan sin .cos I dx x C x x    Bài 13: (ĐHHH – 1999) Tìm nguyên hàm: 1 1 2 cos 1ln sin 2 2sin 8 1 cos cos 1 xI dx C x x x x             Bài 14: (HVQY – 1998) Tìm nguyên hàm: 2 .cot ln sinsin xI dx x x x C x      Bài 15: Tìm nguyên hàm: 2 3 2 cos cos ln tan 2sin 2sin x x xI dx C x x      Bài 16: (ĐHCĐ – 2001) Tìm nguyên hàm: 2cot 2 cot 2 4 4 I x dx x x C                  Bài 17: (ĐHNTCS П – 2001) Tìm nguyên hàm: 9 9 9 cot 1 sinln 91 sin 1 sin x xI dx C x x      Bài 19: (ĐHNT – 1997) Tìm nguyên hàm: sin 3 sin 4 1 1 1 1cos cos3 cos5 cos9 tan cot 2 4 12 20 36 x xI dx x x x x C x x         Bài 20: (HVQHQT – 1997) Tìm nguyên hàm:   4 4 6 6 33 7 3sin cos sin cos sin 4 sin 8 64 64 512 I x x x x dx x x x C       Bài 28: ( ĐHNT CSП – D 1998 ) Tìm các nguyên hàm: a. 3 1 3 3 1cos cos3 . sin 2 sin 4 sin 6 8 2 4 6 I x dx x x x x C          b. 2 1 1 1cos cos 2 . sin 2 sin 4 4 4 16 I x dx x x x C     Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498 “ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ 47 Bài 33: (ĐHNT CS П – 2000) Tìm các nguyên hàm: a. 5 316 20cos5 .tan . cos cos 5cos 5 3 I x x dx x x x C      b. 34cos3 .tan . cos 3cos 3 I x x dx x x C     Bài 35: (ĐHHĐ – A 2000) Tìm nguyên hàm: 3cos cos5 .I x x dx  Bài 23: (ĐHTCKT – 1995) Tìm nguyên hàm: 2 2 2 2 1 2sin .cos 1cos sin khi b c bx xI b x c x khi b c b c               Bài 26: (ĐHQG TPHCM – 1999) Tìm nguyên hàm: cos .cos 0 khi p q I px qxdx khi p q        Bài 27: Tìm nguyên hàm: 1 1 sin cos I dx x x    HD: HD: Đặt 2 2 2 2 2 1sin ; cos 1 1 2 2 1 t tx xx t tt tg dtdx t             khi đó ln 1 1 dtI t C t      Bài : Xác định A, B, C sao cho với mọi x ta có:  sin – cos 1 sin 2cos 3 (cos – 2sin )x x A x x B x x     . Từ đó tính: sin cos 1 3 sin 2cos x xI dx x x      Bài tập tổng hợp: Bài 1: (ĐHBKHN-99) Tìm nguyên hàm: . 2 . 5I sinx sin x cos xdx  HD:    1 1sin .sin 2 .cos5 cos 2 cos 4 cos8 1 4sin 2 2sin 4 sin 8 4 32 x x xdx x x x dx x x x C         PHƯƠNG PHÁP DÙNG NGUYÊN HÀM PHỤ: Phương pháp xác định nguyên hàm của hàm số f(x) bằng kỹ thuật dùng hàm phụ xuất phát từ ý tưởng chủ đạo là tìm kiếm một hàm g(x) sao cho nguyên hàm của các hàm số    f x g x dễ xác định hơn, từ đó suy ra nguyên hàm F(x) của hàm số f(x). Để xác định nguyên hàm của hàm số f(x) theo phương pháp này, ta tiến hành thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Tìm kiếm hàm số g(x). Bước 2: Xác định các nguyên hàm của các hàm số  f x g(x) , tức là:      ')()()( )()()( CxBxGxF CxAxGxF Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498 “ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ 48 Bước 3: Từ hệ trên ta nhận được:       .F x A x B x C     Đối với phương pháp này, điều khó là cách tìm hàm số g(x) như thế nào để sao cho việc giải bài toán là dễ dàng hơn. Ví dụ: Tìm nguyên hàm của hàm số:   sin sin cos xf x x x   . Giải: Chọn hàm số phụ:   cos sin cos xg x x x   . Gọi F(x) và G(x) theo thứ tự là nguyên hàm của các hàm số f(x), g(x). Ta có:     sin cosf x g x sin cos x x x x     Suy ra:   CxxxxF CxxGxF CxxxGxF CxdxxGxF xx xxxgxf Cxx xx xxddx xx xxxGxF                      cossinln 2 1)( ')()( cossinln)()( ')()( 1 cossin cossin)()( cossinln cossin )cos(sin cossin cossin)()( VD : Tìm nguyên hàm: cos cos s inx xI dx x   Giải: Xét nguyên hàm: sin cos sin xJ dx x x   khi đó ta có: I + J = cos sin cos x dx x x + sin sin cos x dx x x = 1dx x c  Mà: I – J = cos sin cos x dx x x - sin sin cos x dx x x = 2 cos sin ln sin cos sin cos x x dx x x c x x      Vậy I = 1 1ln sin cos 2 2 x x x C   Bài tập áp dụng. Bài 1: Tính các nguyên hàm sau. 2 2 2 2 1. cos(ln ) 2. cos 3. cos 4. cos cos 2 cos5. cos 2 x ax I x dx I e xdx I e bxdx I x xdx xI dx x           Bài 2: Tính các tích phân sau : a. cos cos s inx xI dx x   và s inx cos s inx J dx x   Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498 “ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ 49 Ta có: 1 ( ln cos s inx ) 2 ln cos sinx 1 ( ln cos s inx ) 2 I x x CI J x I J x C J x x C                   b. 2os os2 c xI dx c x   và 2sin os2 xJ dx c x   . ĐS 1 1 sin 2 1ln 2 4 sin 2 1 1 1 sin 2 1ln 2 4 sin 2 1 xI x C x xJ x C x                       Bài 3: Tính các tích phân sau: a. sin cos sin xdxI x x   b. 4 4 4 sin cos sin xdxI x x   c. x x x eI dx e e   d. 2sin .cos2I x xdx  e. 2cos .sin 2I x xdx  f. x x x eI dx e e  

Tài liệu đính kèm:

  • pdfCAC PHUONG PHAP TIM NGUYEN HAM.pdf
Tài liệu liên quan
  • docGiáo án Giải tích lớp 12 - Tiết 31 - Bài 3: Lôgarít ( 3 tiết)

    Lượt xem Lượt xem: 931 Lượt tải Lượt tải: 0

  • docKỳ thi tốt nghiệp THPT năm 2010 Môn: Toán - Đề số 4

    Lượt xem Lượt xem: 1141 Lượt tải Lượt tải: 0

  • docGiáo án Giải tích 12 bài: Luỹ thừa

    Lượt xem Lượt xem: 1426 Lượt tải Lượt tải: 0

  • docChuyên đề 4: Khảo sát hàm số các bài toán liên quan

    Lượt xem Lượt xem: 850 Lượt tải Lượt tải: 0

  • docGiáo án tự chọn lớp 12(CB) môn Toán

    Lượt xem Lượt xem: 1083 Lượt tải Lượt tải: 1

  • docChuyên đề Đại số sơ cấp

    Lượt xem Lượt xem: 3562 Lượt tải Lượt tải: 0

  • docGiáo án Toán 12 - Tiết thứ 21: Kiểm tra chương I

    Lượt xem Lượt xem: 1064 Lượt tải Lượt tải: 0

  • docĐề kiểm tra lần 1 năm học 2009 - 2010

    Lượt xem Lượt xem: 873 Lượt tải Lượt tải: 0

  • docBài tập nguyên hàm và tích phân (Trần Lê Thuấn)

    Lượt xem Lượt xem: 1196 Lượt tải Lượt tải: 0

  • docGiáo án môn Giải tích 12 - Chương I: Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

    Lượt xem Lượt xem: 890 Lượt tải Lượt tải: 0

Copyright © 2024 Lop12.net - Giáo án điện tử lớp 12, Sáng kiến kinh nghiệm hay, chia sẻ thủ thuật phần mềm

Facebook Twitter

Từ khóa » Tính Họ Nguyên Hàm Của Hàm Số Sin ( ) 2cos 3 X F X X