Các Tính Chất Cơ Bản Của Bất đẳng Thức

Chúng tôi trên mạng xã hội

Chúng tôi trên mạng xã hội

Đăng nhập Đăng ký

• Trang nhất
• Chương trình
• Bất đẳng thức

Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức

Thứ bảy - 06/02/2016 21:15 Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức. Các bất đẳng thức cơ bản cần nhớ. Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức $\hbox{(BĐT)}$. Khi chứng minh các bất đẳng thức, ta hay dùng các tính chất sau $\left( a \right)\;\;\;\;\left\{ \begin{gathered} x \geqslant y \hfill \\ y \geqslant z \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow x \geqslant z,\;\;\;\forall x,y,z \in \mathbb{R}.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( b \right)\;\;\;\;\left\{ \begin{gathered} x \geqslant y \hfill \\ a \geqslant b \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow x + a \geqslant y + b,\;\;\;\forall x,y,a,b \in \mathbb{R}.$ $\left( c \right)\;\;\;\;x \geqslant y \Rightarrow x + z \geqslant y + z,\;\;\;\forall x,y,z \in \mathbb{R}.\;\;\;\left( d \right)\;\;\;\;\left\{ \begin{gathered} x \geqslant y \hfill \\ a \geqslant b \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow xa \geqslant yb,\;\;\;\forall x,y \in \mathbb{R},\;\;\;a,b \in {\mathbb{R}^ + }.$ $\left( e \right)\;\;\;{x^2} \geqslant 0,\;\;\;\forall x \in \mathbb{R}.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( {e'} \right)\;\;\;{A_1}x_1^2 + {A_2}x_2^2 + ... + {A_n}x_n^2 \geqslant 0,\;\forall x \in \mathbb{R},{A_i} \in {\mathbb{R}^ + }.$ Chú ý. $\left( {e'} \right)$ là tính chất hay dùng nhất, và dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi ${x_1} = {x_2} = ... = {x_n} = 0.$ Để chứng minh BĐT, ta thường hay dùng các tính chất trên để biến đổi BĐT cần chứng minh về một điều hiển nhiên đúng. Ví dụ 1. Chứng minh với mọi số thực $x \ne 0$ ta luôn có $x + \frac{1}{x} \geqslant 2.\;\;\;\;\;\left( 1 \right)$ Giải. Ta có $$ \left( 1 \right) \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + 1}}{x} \geqslant 2 \Leftrightarrow {x^2} + 1 \geqslant 2x \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 \geqslant 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} \geqslant 0.$$ BĐT cuối cùng hiển nhiên đúng. Như vậy ta đã chứng minh xong BĐT $\left( 1 \right)$. Theo tính chất $\left( 5' \right)$ thì dấu bằng của $\left( 1 \right)$ xảy ra khi $x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1.$ Ví dụ 2. Chứng minh bất đẳng thức $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geqslant 2,\;\;\forall a,b \in {\mathbb{R}^ + }.\;\;\;\;\;\;\left( 2 \right)$ Giải. Ta có $$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geqslant 2 \Leftrightarrow \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{ab}} \geqslant 2 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \geqslant 2ab \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - 2ab \geqslant 0 \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2} \geqslant 0.$$ Điều này luôn đúng với mọi, do đó BĐT $\left( 2 \right)$ xem như được chứng minh xong. Dấu $=$ xảy ra khi $a - b \Leftrightarrow a = b.$ Ví dụ 3. Chứng minh bất đẳng thức ${a^2} + {b^2} + 1 \geqslant 2a,\;\;\;\forall a,b \in \mathbb{R}.\;\;\;\;\;\;\;\left( 3 \right)$ Giải. Ta có ${a^2} + {b^2} + 1 \geqslant 2a \Leftrightarrow {a^2} - 2a + 1 + {b^2} \geqslant 0 \Leftrightarrow {\left( {a - 1} \right)^2} + {b^2} \geqslant 0.$ BĐT cuối cùng luôn đúng, do đó $\left( 3 \right)$ được chứng minh xong. Dấu $=$ xảy ra khi $\left\{ \begin{gathered} a - 1 = 0 \hfill \\ b = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = 1 \hfill \\ b = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right..$ Ví dụ 4. Chứng minh bất đẳng thức ${a^2} + {b^2} + {c^2} \geqslant ab + bc + ba,\;\;\;\forall a,b,c \in \mathbb{R}\;\;\;\;\;\;\;\left( 4 \right).$ Giải. Nhân hai vế của $\left( 4 \right)$ cho $2$ ta được $$\begin{gathered} 2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} \geqslant 2ab + 2bc + 2ba \Leftrightarrow \left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right) + \left( {{b^2} - 2bc + {c^2}} \right) + \left( {{c^2} - 2ac + {a^2}} \right) \geqslant 0 \hfill \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2} \geqslant 0. \hfill \\ \end{gathered} $$ BĐT cuối cùng luôn đúng, dấu $=$ xảy ra khi $\left\{ \begin{gathered} a - b = 0 \hfill \\ b - c = 0 \hfill \\ c - a = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow a = b = c.$ Ví dụ 5. Chứng minh bất đẳng thức ${a^3} + {b^3} \geqslant {a^2}b + a{b^2}\;\;\;\forall a \geqslant 0,b \geqslant 0.\;\;\;\;\;\;\left( 5 \right)$ Giải. Ta có $$\left( 3 \right) \Leftrightarrow \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right) \geqslant ab\left( {a + b} \right) \Leftrightarrow \left( {a + b} \right)\left[ {\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right) - ab} \right] \geqslant 0 \Leftrightarrow \left( {a + b} \right){\left( {a - b} \right)^2} \geqslant 0.$$ Vì $a \geqslant 0,b \geqslant 0$ nên $a + b \geqslant 0$. Suy ra BĐT cuối cùng luôn đúng, nghĩa là ta đã chứng minh xong BĐT $\left( 5 \right)$. Dấu $=$ xảy ra khi $a - b = 0 \Leftrightarrow a = b.$ Bài tập (nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)

Tác giả bài viết: Cùng Học Toán

Tổng số điểm của bài viết là: 4 trong 1 đánh giá

Xếp hạng: 4 - 1 phiếu bầu Click để đánh giá bài viết Tweet

Góp ý hoặc một bài toán của Quý học viên hoặc Quý Phụ Huynh

Sắp xếp theo bình luận mới Sắp xếp theo bình luận cũ Sắp xếp theo số lượt thích Mã an toàn

Những tin mới hơn

• Bất đẳng thức trung bình QM⩾AM⩾GM⩾HM cho ba số (21/02/2016)
• Bất đẳng thức trung bình QM⩾AM⩾GM⩾HM cho hai số (07/02/2016)
• Các bất đẳng thức cơ bản (06/02/2016)

Chương trình

• Đại số tổ hợp & Xác suất
• Hình học giải tích không gian
• Bất đẳng thức
• Lượng giác
• Tích phân
• Hàm mũ & logarit
• Khảo sát hàm số
• Hình học không gian
• Dãy số - Giới hạn của dãy số - Đạo hàm
• Phép biến hình trong mặt phẳng
• Hình học giải tích phẳng
• Số phức
• Toán chuyên đề
• Đại số

Thư viện trực tuyến

• Đề thi - Đáp án đại học
• Sách giáo khoa toán
• Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ
• Đề thi thử THPT Quốc Gia 2016

Kiến thức mới

• 06 02.2016

  Hình chiếu vuông góc của đường thẳng lên mặt phẳng

  Hình chiếu vuông góc của đường thẳng lên mặt phẳng trong...

• 25 08.2016

  Phương trình tiếp tuyến song song với một đường thẳng

  Viết phương trình tiếp tuyến song song với một đường thẳng...

• 06 02.2016

  Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

  Công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau....

• 05 02.2016

  Hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng

  Hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng. Tìm toạ độ hình...

• 05 02.2016

  Đối xứng của một điểm qua mặt phẳng

  Đối xứng một điểm qua một mặt. Tìm toạ điểm đối xứng của một...

Thư viện trực tuyến

• 28 02.2016

  Đề thi và đáp án tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2007

  Đề thi và đáp án tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2007

• 28 02.2016

  Đề thi và đáp án tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2006

  Đề thi và đáp án tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2006

• 10 03.2016

  Sách giáo khoa toán lớp 12

  Sách giáo khoa môn toán lớp 12. Sách bài tập môn toán lớp...

• 09 03.2016

  Sách giáo khoa toán lớp 11

  Sách giáo khoa toán lớp 11. Sách bài tập toán lớp 11.

• 09 03.2016

  Sách giáo khoa toán lớp 6

  Sách giáo khoa toán lớp 6. Sách bài tập toán lớp 6.

© Bản quyền thuộc về © 2015 Copyright by Cùng Học Toán. All rights reserved.. Mã nguồn NukeViet CMS. Thiết kế bởi TT Cùng Học Toán. Chúng tôi trên mạng xã hội

Chúng tôi trên mạng xã hội

Bạn đã không sử dụng Site, Bấm vào đây để duy trì trạng thái đăng nhập. Thời gian chờ: 60 giây

Thành viên đăng nhập

Hãy đăng nhập thành viên để trải nghiệm đầy đủ các tiện ích trên site Đăng nhập

Đăng ký thành viên

Để đăng ký thành viên, bạn cần khai báo tất cả các ô trống dưới đây

• Bạn thích môn thể thao nào nhất
• Món ăn mà bạn yêu thích
• Thần tượng điện ảnh của bạn
• Bạn thích nhạc sỹ nào nhất
• Quê ngoại của bạn ở đâu
• Tên cuốn sách "gối đầu giường"
• Ngày lễ mà bạn luôn mong đợi

Tôi đồng ý với Quy định đăng ký thành viên