Cách Chọn điểm Rơi Khi Sử Dụng Bất đẳng Thức Cosi - Học Toán 123

Trang chủ » Chọn điểm Rơi Là Gì » Cách Chọn điểm Rơi Khi Sử Dụng Bất đẳng Thức Cosi - Học Toán 123

Có thể bạn quan tâm

Học Toán 123 Học Toán 123 Bất đẳng thức THCS Comments MỤC LỤC

LÝ THUYẾT

Điểm rơi có vai trò quan trọng khi sử dụng bất đẳng thức Cosi để chứng minh bất đẳng thức. Vậy dự đoán điểm rơi như nào?

Điểm rơi là gì?

Trả lời: Điểm rơi ở đây chính là giá trị của biến làm dấu bằng xảy ra.

Dự đoán dấu bằng “=”

Các dấu hiệu nhận biết thường thấy:

– Nếu biểu thức có điều kiện ràng buộc thì GTLN, GTNN của biểu thức thường đạt được tại vị trí biên

– Nếu biểu thức có tính đối xứng thì dấu “=” thường xảy ra khi các biến bằng nhau.

– Nếu biểu thức không có tính đối xứng thì tuỳ theo bài toán mà linh hoạt áp dụng.

Mục đích: Xác định giá trị các biến và GTLN, GTNN của biểu thức tại dấu “=” ở dự đoán ban đầu.

ÁP DỤNG

Học cách xác định điểm rơi qua những ví dụ dưới đây.

Ví dụ 1: Cho $a, b, c$ là các số thực thỏa mãn $a + b + c = 1$. Chứng minh rằng $\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a} \leq \sqrt{6}$

Giải:

Nhận thấy: biểu thức có tính đối xứng.

Vì $a + b + c = 1$ ⇒ dấu “=” xảy ra khi $ a=b=c=\dfrac{1}{3}$

Áp dụng BĐT Cosi cho 2 số $(a + b)$ và $k (k>0)$

Khi áp dụng BĐT Cosi thì dấu “=” xảy ra ⇔ $ k=a+b=~\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$

Ta có:

$ \sqrt{\dfrac{2}{3}(a+b)} \leq \dfrac{\dfrac{2}{3}+a+b}{2}$    (1)

$ \sqrt{\dfrac{2}{3}(a+c)} \leq \dfrac{\dfrac{2}{3}+a+c}{2}$    (2)

$ \sqrt{\dfrac{2}{3}(b+c)} \leq \dfrac{\dfrac{2}{3}+b+c}{2}$    (3)

Cộng (1), (2) và (3) lại ta có:

$ \sqrt{{\dfrac{2}{3}(a+b)}}+\sqrt{{\dfrac{2}{3}(a+c)}}+\sqrt{{\dfrac{2}{3}(b+c)}}\le \dfrac{{\dfrac{2}{3}+a+b}}{2}+\dfrac{{\dfrac{2}{3}+a+c}}{2}+\dfrac{{\dfrac{2}{3}+b+c}}{2}$

⇔ $ \sqrt{{\dfrac{2}{3}}}\left( {\sqrt{{(a+b)}}+\sqrt{{(a+c)}}+\sqrt{{(b+c)}}} \right)\le \dfrac{{2+2(a+b+c)}}{2}=2$

⇔ $ \sqrt{{(a+b)}}+\sqrt{{(a+c)}}+\sqrt{{(b+c)}}\le \sqrt{6}$

⇒ Điều phải chứng minh.

Ví dụ 2: Cho x, y, z > 0 thỏa $ x+y+z\le \dfrac{3}{2}$. Tìm GTNN của $A=x^{2}+y^{2}+z^{2}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}$.

Giải:

Do A là biểu thức đối xứng theo x, y, z nên dự đoán A đạt GTNN tại $ x=y=z=\dfrac{1}{2}$.

Để dùng được bất đẳng thức Cosi cần tách:

$ x^{2}+\dfrac{1}{x}=x^{2}+\dfrac{m}{x}+\dfrac{n}{x}$

Khi áp dụng BĐT Cosi cho 3 số thì dấu “=” xảy ra ⇔ $ x^{2}=\dfrac{\mathrm{m}}{x}=\dfrac{\mathrm{n}}{x}$

$ x=\dfrac{1}{2}\Rightarrow m=n=\dfrac{1}{8}$

Khi đó:

$ \begin{array}{l}A=\left( {{{x}^{2}}+\dfrac{1}{x}} \right)+\left( {{{y}^{2}}+\dfrac{1}{y}} \right)+\left( {{{z}^{2}}+\dfrac{1}{z}} \right)\\\,\,\,\,\,=\left( {{{x}^{2}}+\dfrac{1}{{8x}}+\dfrac{1}{{8x}}} \right)+\left( {{{y}^{2}}+\dfrac{1}{{8y}}+\dfrac{1}{{8y}}} \right)+\left( {{{z}^{2}}+\dfrac{1}{{8z}}+\dfrac{1}{{8z}}} \right)+\dfrac{6}{8}\left( {\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}} \right)\\\,\,\,\,\,\ge 3\sqrt[3]{{{{x}^{2}}\dfrac{1}{{8x}}\dfrac{1}{{8x}}}}+3\sqrt[3]{{{{y}^{2}}\dfrac{1}{{8y}}\dfrac{1}{{8y}}}}+3\sqrt[3]{{{{z}^{2}}\dfrac{1}{{8z}}\dfrac{1}{{8z}}}}+\dfrac{3}{4}\dfrac{9}{{(x+y+z)}}\ge \dfrac{9}{4}+\dfrac{{27}}{4}\dfrac{2}{3}=\dfrac{{27}}{4}\end{array}$

Dấu “=” xảy ra ⇔ $ x=y=z=\dfrac{1}{2}$

Có thể bạn quan tâm
  • Một số bài toán Bất đẳng thức chọn lọc thi vào 10 năm 2023
  • 14 bổ đề bất đẳng thức thường gặp
  • 7 kĩ năng quan trọng khi giải các bài toán Bất đẳng thức
  • Tâm sự về bất đẳng thức ở bậc THCS
  • Bất đẳng thức thi HSG Toán 9 cấp huyện 2020-2021 có lời giải
  • Ví dụ chứng minh BĐT bằng phương pháp làm trội, làm giảm
  • Ví dụ chứng minh BĐT bằng phương pháp Côsi ngược dấu
  • Ví dụ chứng minh BĐT bằng phương pháp hệ số bất định UCT
  • Tìm GTLN, GTNN bằng phương pháp cân bằng hệ số
  • Áp dụng BĐT Côsi tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
← Bài trướcBài tiếp →

Để lại một bình luận Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Bình luận *

Tên *

Email *

Lưu tên của tôi, email, và trang web trong trình duyệt này cho lần bình luận kế tiếp của tôi.

Δ

Bài cùng chuyên mục

  • Bất đẳng thức Cosi cho 2 số, 3 số, 4 số, n số
  • Các bất đẳng thức thường gặp trong chứng minh BĐT
  • Ví dụ chứng minh BĐT bằng phương pháp hệ số bất định UCT
  • Bất đẳng thức thi HSG Toán 9 cấp huyện 2020-2021 có lời giải
  • Định nghĩa, tính chất cơ bản của bất đẳng thức
  • Ví dụ chứng minh BĐT bằng phương pháp Côsi ngược dấu
  • Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương chứng minh BĐT
  • Ví dụ chứng minh BĐT bằng phương pháp làm trội, làm giảm

Chuyên mục

Toán lớp 1
  • Lý thuyết Toán lớp 1
  • Giải bài tập SGK Toán lớp 1
  • Giải vở bài tập Toán lớp 1
  • Bài tập tuần Toán lớp 1
  • Chuyên đề Toán lớp 1
  • Đề thi Toán lớp 1
  • Sách Toán lớp 1
Toán lớp 2
  • Lý thuyết Toán lớp 2
  • Giải bài tập SGK Toán lớp 2
  • Giải vở bài tập Toán lớp 2
  • Đề thi Toán lớp 2
  • Bài tập tuần Toán lớp 2
  • Chuyên đề Toán lớp 2
  • Sách Toán lớp 2
Toán lớp 3
  • Lý thuyết Toán lớp 3
  • Giải bài tập SGK Toán lớp 3
  • Giải vở bài tập Toán lớp 3
  • Đề thi Toán lớp 3
  • Bài tập tuần Toán lớp 3
  • Chuyên đề Toán lớp 3
  • Sách Toán lớp 3
Toán lớp 4
  • Lý thuyết Toán lớp 4
  • Giải bài tập SGK Toán lớp 4
  • Giải vở bài tập Toán lớp 4
  • Đề thi Toán lớp 4
  • Bài tập tuần Toán lớp 4
  • Chuyên đề Toán lớp 4
  • Sách Toán lớp 4
Toán lớp 5
  • Lý thuyết Toán lớp 5
  • Giải bài tập SGK Toán lớp 5
  • Giải vở bài tập Toán lớp 5
  • Đề thi Toán lớp 5
  • Bài tập tuần Toán lớp 5
  • Đề thi Toán vào lớp 6
  • Chuyên đề Toán lớp 5
  • Sách Toán lớp 5
Toán lớp 6
  • Lý thuyết Toán lớp 6
  • Giải bài tập SGK Toán lớp 6
  • Đề thi Toán lớp 6
  • Chuyên đề Toán lớp 6
  • Sách Toán lớp 6
  • Bài tập tuần Toán 6
Toán lớp 7
  • Lý thuyết Toán lớp 7
  • Giải bài tập SGK Toán lớp 7
  • Đề thi Toán lớp 7
  • Chuyên đề Toán lớp 7
  • Sách Toán lớp 7
  • Bài tập tuần Toán 7
Toán lớp 8
  • Lý thuyết Toán lớp 8
  • Giải bài tập SGK Toán lớp 8
  • Đề thi Toán lớp 8
  • Chuyên đề Toán lớp 8
  • Sách Toán lớp 8
  • Bài tập tuần Toán 8
Toán lớp 9
  • Lý thuyết Toán lớp 9
  • Giải bài tập SGK Toán lớp 9
  • Đề thi Toán lớp 9
  • Đề thi Toán vào lớp 10
  • Chuyên đề Toán lớp 9
  • Sách Toán lớp 9
  • Bài tập tuần Toán 9
Toán lớp 10
  • Lý thuyết Toán lớp 10
  • Giải bài tập SGK Toán lớp 10
  • Đề thi Toán lớp 10
  • Chuyên đề Toán lớp 10
  • Sách Toán lớp 10
Toán lớp 11
  • Lý thuyết Toán lớp 11
  • Giải bài tập SGK Toán lớp 11
  • Đề thi Toán lớp 11
  • Chuyên đề Toán lớp 11
  • Sách Toán lớp 11
Toán lớp 12
  • Lý thuyết Toán lớp 12
  • Giải bài tập SGK Toán lớp 12
  • Đề thi Toán lớp 12
  • Chuyên đề Toán lớp 12
  • Sách Toán lớp 12

Từ khóa

bất đẳng thức bồi dưỡng toán 5 giáo án hình học 7 hình học 8 phiếu tuần toán 1 phiếu tuần toán 2 phiếu tuần toán 3 phiếu tuần toán 4 phiếu tuần toán 5 phiếu tuần toán 6 phiếu tuần toán 7 phiếu tuần toán 8 phiếu tuần toán 9 phân số phương trình số học 6 thi THPT quốc gia toán nâng cao lớp 6 đa thức đại số 7 đại số 8 đại số 9 đại số 10 đề cương hk1 đề kiểm tra giữa hk1 toán 8 đề kiểm tra giữa hk1 toán 9 đề kiểm tra giữa hk2 toán 9 đề kscl đề thi 5 vào 6 đề thi hk1 toán 6 đề thi hk1 toán 7 đề thi hk1 toán 8 đề thi hk1 toán 9 đề thi hk2 toán 9 đề thi hsg toán 6 đề thi hsg toán 7 đề thi hsg toán 8 đề thi hsg toán 9 đề thi olympic toán đề thi thử vào 10 đề thi toán chuyên đề thi vào 10 môn toán năm 2022 đề thi vào 10 môn toán năm 2023 đề thi vào 10 môn toán năm 2024 Tìm kiếm cho: Bài viết mới
  • 20 bài toán rút gọn biểu thức lớp 9 cơ bản và nâng cao
  • 20 bài phân tích đa thức thành nhân tử cơ bản và nâng cao có hướng dẫn giải
  • Đề thi HK1 Toán 9 THCS Sơn Đồng 2025-2026
  • Đề kiểm tra HK1 Toán 9 THCS và THPT Tạ Quang Bửu 2025-2026
  • Đề khảo sát Toán 9 tháng 12 năm 2025 THCS Thịnh Quang – Đống Đa có đáp án
Tin tức giáo dục
  • Toàn bộ kiến thức ngữ pháp và bài tập tiếng Anh lớp 4, lớp 5
  • Giáo án Ngữ Văn 6 powerpoint
  • Bài tập bổ trợ tiếng Anh 3 Global Success tập 1+2 file word
  • Đề thi Ngữ Văn vào 10 THPT chuyên Lam Sơn 2022-2023
  • Bài tập tiếng Anh lớp 9 theo chương trình mới – Bùi Văn Vinh có đáp án
  • Đề cương ôn tập học kì 1 môn Vật Lý lớp 9
  • 1000 từ vựng tiếng Anh bằng hình ảnh theo chủ đề
  • Tế bào nào có lưới nội chất hạt phát triển?
  • Giáo án bồi dưỡng HSG giải Toán THCS bằng máy tính casio file word
  • Bài tập bổ trợ kiến thức tiếng Anh lớp 4 Smart start
    • Đề thi
    • Đề thi Toán lớp 1
    • Đề thi Toán lớp 2
    • Đề thi Toán lớp 3
    • Đề thi Toán lớp 4
    • Đề thi Toán lớp 5
    • Đề thi Toán lớp 6
    • Đề thi Toán lớp 7
    • Đề thi Toán lớp 8
    • Đề thi Toán lớp 9
    • Đề thi Toán lớp 10
    • Đề thi Toán lớp 11
    • Đề thi Toán lớp 12
    Các chuyên đề Toán
    • Chuyên đề Toán tiểu học
      • Chuyên đề Toán lớp 1
      • Chuyên đề Toán lớp 2
      • Chuyên đề Toán lớp 3
      • Chuyên đề Toán lớp 4
      • Chuyên đề Toán lớp 5
    • Chuyên đề Toán THCS
      • Bất đẳng thức THCS
      • Chuyên đề Toán lớp 6
      • Chuyên đề Toán lớp 7
      • Chuyên đề Toán lớp 8
      • Chuyên đề Toán lớp 9
    • Chuyên đề Toán THPT
      • Chuyên đề Toán lớp 10
      • Chuyên đề Toán lớp 11
      • Chuyên đề Toán lớp 12
    Series
    • Toán nâng cao lớp 9 (11)
    • Bài tập cơ bản và nâng cao Toán lớp 5 (23)
    • Đề thi HSG Toán lớp 3 (2)
    • Ôn tập Toán 4 theo từng bài học (5)
    • Ôn thi Toán vào lớp 6 (11)
    • Toán nâng cao lớp 6 (27)
    • Đề thi HSG Toán 12 (10)
    • Đề thi HSG Toán 7 (64)
    • Đề thi HSG Toán 6 (44)
    • Đề thi HSG Toán 8 (88)
    • Đề thi HSG Toán 9 (184)
    • Bài tập cơ bản và nâng cao Toán lớp 4 (5)
    • Bài tập cơ bản và nâng cao Toán lớp 3 (9)
    Học Toán 123 © 2021 Liên hệ ↑

    Bài viết liên quan

    × Chứng minh bất đẳng thức bằng định nghĩa

    Chứng minh bất đẳng thức bằng định nghĩa

    15/07/2021 Cách sử dụng bất đẳng thức Cosi qua các bài tập có lời giải

    Cách sử dụng bất đẳng thức Cosi qua các bài tập có lời giải

    18/07/2021 Ví dụ chứng minh BĐT bằng phương pháp hệ số bất định UCT

    Ví dụ chứng minh BĐT bằng phương pháp hệ số bất định UCT

    27/08/2021 Một số bài toán Bất đẳng thức chọn lọc thi vào 10 năm 2023

    Một số bài toán Bất đẳng thức chọn lọc thi vào 10 năm 2023

    10/06/2023 Tìm GTLN, GTNN bằng phương pháp cân bằng hệ số

    Tìm GTLN, GTNN bằng phương pháp cân bằng hệ số

    27/08/2021 Bất đẳng thức thi HSG Toán 9 cấp huyện 2020-2021 có lời giải

    Bất đẳng thức thi HSG Toán 9 cấp huyện 2020-2021 có lời giải

    02/11/2021

    Từ khóa » Chọn điểm Rơi Là Gì