Kỹ Thuật Chọn điểm Rơi Chứng Minh Bất đẳng Thức - Toán Cấp 2

Đây là bài thứ 13 of 15 trong series Chuyên đề: Bất đẳng thức THCS

Chuyên đề: Bất đẳng thức THCS

• Nhắc lại định nghĩa, tính chất cơ bản của bất đẳng thức
• Phương pháp chứng minh bất đẳng thức bằng định nghĩa
• Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp biến đổi tương đương
• Áp dụng bất đẳng thức để chứng minh bất đẳng thức
• Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp phản chứng
• Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp làm trội, làm giảm
• Một số loại bài chứng minh bất đẳng thức thường gặp
• Mở rộng một số bất đẳng thức
• Ứng dụng của bất đẳng thức trong Toán THCS
• Một số bài tập bất đẳng thức
• Phương pháp đổi biến chứng minh bất đẳng thức
• Một số ví dụ chứng minh BĐT bằng phương pháp cân bằng hệ số
• Kỹ thuật chọn điểm rơi chứng minh bất đẳng thức
• Một số ví dụ chứng minh BĐT bằng phương pháp hệ số bất định UCT
• Một số ví dụ chứng minh BĐT bằng phương pháp Cauchy ngược dấu

Kỹ thuật chọn điểm rơi thường dùng trong chứng minh bất đẳng thức áp dụng với BĐT Cosi cho các số dương.

Dấu hiệu nhận biết bài toán dùng chọn điểm rơi:

Dự đoán dấu “=” xảy ra:

Dấu hiệu:

• 50 bài toán hình học ôn thi vào lớp 10 có lời giải
• Cách giải bài toán BĐT và tìm GTNN, GTLN trong đề thi vào 10 môn Toán
• Chuyên đề ôn thi vào lớp 10 chuyên – Hệ phương trình
• Chuyên đề ôn thi vào lớp 10 chuyên – Hàm số
• Một số ví dụ chứng minh BĐT bằng phương pháp ghép cặp

– Nếu biếu thức có điều kiện ràng buộc thì GTLN, GTNN của biểu thức thường đạt đươc tại vị trí biên

– Nếu biểu thức có tính đối xứng thì dấu “=” thường xảy ra khi các biến bằng nhau.

– Nếu biếu thức không có tinh đối xứng thì tuỳ theo bài toán mà linh hoạt áp dụng.

Mục đích: Xác định giá trị các biến và GTLN, GTNN của biểu thức tại dấu “=” ở dự đoán ban đầu.

Ví dụ 1: Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng $\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a} \leq \sqrt{6}$

Giải:

Nhận thấy: biểu thức có tính đối xứng.

Vì a + b + c = 1 => dấu “=” xảy ra khi $ \displaystyle a=b=c=\frac{1}{3}$

Áp dụng BĐT Cosi cho 2 số (a + b) và k (k>0)

Khi áp dụng BĐT Cosi thì dấu “=” xảy ra ⇔ $ \displaystyle k=a+b=~\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$

Ta có:

$\sqrt{\frac{2}{3}(a+b)} \leq \frac{\frac{2}{3}+a+b}{2}$    (1)

$\sqrt{\frac{2}{3}(a+c)} \leq \frac{\frac{2}{3}+a+c}{2}$    (2)

$\sqrt{\frac{2}{3}(b+c)} \leq \frac{\frac{2}{3}+b+c}{2}$    (3)

Cộng (1), (2) và (3) lại ta có:

$ \displaystyle \sqrt{{\frac{2}{3}(a+b)}}+\sqrt{{\frac{2}{3}(a+c)}}+\sqrt{{\frac{2}{3}(b+c)}}\le \frac{{\frac{2}{3}+a+b}}{2}+\frac{{\frac{2}{3}+a+c}}{2}+\frac{{\frac{2}{3}+b+c}}{2}$

⇔ $ \displaystyle \sqrt{{\frac{2}{3}}}\left( {\sqrt{{(a+b)}}+\sqrt{{(a+c)}}+\sqrt{{(b+c)}}} \right)\le \frac{{2+2(a+b+c)}}{2}=2$

⇔ $ \displaystyle \sqrt{{(a+b)}}+\sqrt{{(a+c)}}+\sqrt{{(b+c)}}\le \sqrt{6}$

=> Đpcm

Ví dụ 2: Cho x, y, z > 0 thỏa $ \displaystyle x+y+z\le \frac{3}{2}$. Tìm GTNN của $A=x^{2}+y^{2}+z^{2}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$.

Giải:

Do A là biểu thức đối xứng theo x, y, z nên dự đoán A đạt GTNN tại $ \displaystyle x=y=z=\frac{1}{2}$.

Để dùng được bất đẳng thức Cosi cần tách:

$x^{2}+\frac{1}{x}=x^{2}+\frac{m}{x}+\frac{n}{x}$

Khi áp dụng BĐT Cosi cho 3 số thì dấu “=” xảy ra ⇔ $x^{2}=\frac{\mathrm{m}}{x}=\frac{\mathrm{n}}{x}$

$ \displaystyle x=\frac{1}{2}\Rightarrow m=n=\frac{1}{8}$

Khi đó:

$ \displaystyle \begin{array}{l}A=\left( {{{x}^{2}}+\frac{1}{x}} \right)+\left( {{{y}^{2}}+\frac{1}{y}} \right)+\left( {{{z}^{2}}+\frac{1}{z}} \right)\\\,\,\,\,\,=\left( {{{x}^{2}}+\frac{1}{{8x}}+\frac{1}{{8x}}} \right)+\left( {{{y}^{2}}+\frac{1}{{8y}}+\frac{1}{{8y}}} \right)+\left( {{{z}^{2}}+\frac{1}{{8z}}+\frac{1}{{8z}}} \right)+\frac{6}{8}\left( {\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}} \right)\\\,\,\,\,\,\ge 3\sqrt[3]{{{{x}^{2}}\frac{1}{{8x}}\frac{1}{{8x}}}}+3\sqrt[3]{{{{y}^{2}}\frac{1}{{8y}}\frac{1}{{8y}}}}+3\sqrt[3]{{{{z}^{2}}\frac{1}{{8z}}\frac{1}{{8z}}}}+\frac{3}{4}\frac{9}{{(x+y+z)}}\ge \frac{9}{4}+\frac{{27}}{4}\frac{2}{3}=\frac{{27}}{4}\end{array}$

Dấu “=” xảy ra ⇔ $ \displaystyle x=y=z=\frac{1}{2}$

*Chú ý: Cần ghi nhớ các bất đẳng thức phụ dưới đây:

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \geq \frac{4}{(a+b)}$ với a, b > 0 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \geq \frac{4}{(a+b)}$ với a, b > 0 $\frac{1}{a+b} \leq \frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)$ với a, b > 0 Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b

$(a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right) \geq 9$ với a, b, c > 0 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \geq \frac{9}{a+b+c}$ với a, b, c > 0 $\frac{1}{a+b+c} \leq \frac{1}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)$ với a, b, c > 0 Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b = c

Series Navigation<< Một số ví dụ chứng minh BĐT bằng phương pháp cân bằng hệ sốMột số ví dụ chứng minh BĐT bằng phương pháp hệ số bất định UCT >>