Chọn điểm Rơi Trong Bất đẳng Thức Như Nào? - Abcdonline

Trang chủ » Chọn điểm Rơi Là Gì » Chọn điểm Rơi Trong Bất đẳng Thức Như Nào? - Abcdonline

Có thể bạn quan tâm

Chọn điểm rơi trong bất đẳng thức như nào?Đây là bài thứ 6 of 16 trong chuyên đề Bất đẳng thứcBất đẳng thức
  • Lý thuyết cơ bản chứng minh bất đẳng thức
  • Lời khuyên bổ ích khi học bất đẳng thức
  • Phương pháp biến đổi tương đương chứng minh bất đẳng thức
  • Ứng dụng bất đẳng thức để giải phương trình
  • Một số bất đẳng thức phụ hay dùng
  • Chọn điểm rơi trong bất đẳng thức như nào?
  • Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp đổi biến
  • Bất đẳng thức Schur với t=1. Các kết quả hay sử dụng
  • Sử dụng biểu thức phụ để tìm cực trị của biểu thức
  • Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp ghép cặp
  • Ứng dụng Cosi ngược dấu chứng minh bất đẳng thức
  • Cách chứng minh bất đẳng thức bằng vectơ
  • Bất đẳng thức Côsi (Cauchy) và bài tập áp dụng
  • Bất đẳng thức Bunhiacopxki và các kỹ thuật thường dùng
  • Tuyển tập một số bài toán bất đẳng thức trong kì thi chuyên Toán 2020
  • Bất đẳng thức Svac-xơ (bất đẳng thức cộng mẫu số)

Chúng ta thường chọn điểm rơi khi áp dụng BĐT Cosi để chứng minh bất đẳng thức khi đề bài cho các số dương.

Điểm rơi ở đây chính là giá trị của biến làm dấu bằng xảy ra.

Dự đoán dấu “=”?

Các dấu hiệu nhận biết thường thấy:

– Nếu biểu thức có điều kiện ràng buộc thì GTLN, GTNN của biểu thức thường đạt được tại vị trí biên

– Nếu biểu thức có tính đối xứng thì dấu “=” thường xảy ra khi các biến bằng nhau.

– Nếu biểu thức không có tính đối xứng thì tuỳ theo bài toán mà linh hoạt áp dụng.

Mục đích: Xác định giá trị các biến và GTLN, GTNN của biểu thức tại dấu “=” ở dự đoán ban đầu.

Cách chọn điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức

Xem qua các ví dụ dưới đây.

Ví dụ 1: Cho a, b, c

là các số thực thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng \sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a} \leq \sqrt{6}

Giải:

Nhận thấy: biểu thức có tính đối xứng.

Vì a + b + c = 1

⇒ dấu “=” xảy ra khi \displaystyle a=b=c=\frac{1}{3}

Áp dụng BĐT Cosi cho 2 số (a + b) và k (k>0)

Khi áp dụng BĐT Cosi thì dấu “=” xảy ra ⇔ \displaystyle k=a+b=~\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}

Ta có:

\displaystyle \sqrt{\frac{2}{3}(a+b)} \leq \frac{\frac{2}{3}+a+b}{2} (1)

\displaystyle \sqrt{\frac{2}{3}(a+c)} \leq \frac{\frac{2}{3}+a+c}{2} (2)

\displaystyle \sqrt{\frac{2}{3}(b+c)} \leq \frac{\frac{2}{3}+b+c}{2} (3)

Cộng (1), (2) và (3) lại ta có:

\displaystyle \sqrt{{\frac{2}{3}(a+b)}}+\sqrt{{\frac{2}{3}(a+c)}}+\sqrt{{\frac{2}{3}(b+c)}}\le \frac{{\frac{2}{3}+a+b}}{2}+\frac{{\frac{2}{3}+a+c}}{2}+\frac{{\frac{2}{3}+b+c}}{2}

⇔ \displaystyle \sqrt{{\frac{2}{3}}}\left( {\sqrt{{(a+b)}}+\sqrt{{(a+c)}}+\sqrt{{(b+c)}}} \right)\le \frac{{2+2(a+b+c)}}{2}=2

⇔ \displaystyle \sqrt{{(a+b)}}+\sqrt{{(a+c)}}+\sqrt{{(b+c)}}\le \sqrt{6}

=> Đpcm

Ví dụ 2: Cho x, y, z > 0 thỏa \displaystyle x+y+z\le \frac{3}{2}. Tìm GTNN của A=x^{2}+y^{2}+z^{2}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}.

Giải:

Do A là biểu thức đối xứng theo x, y, z nên dự đoán A đạt GTNN tại \displaystyle x=y=z=\frac{1}{2}.

Để dùng được bất đẳng thức Cosi cần tách:

\displaystyle x^{2}+\frac{1}{x}=x^{2}+\frac{m}{x}+\frac{n}{x}

Khi áp dụng BĐT Cosi cho 3 số thì dấu “=” xảy ra ⇔ \displaystyle x^{2}=\frac{\mathrm{m}}{x}=\frac{\mathrm{n}}{x}

\displaystyle x=\frac{1}{2}\Rightarrow m=n=\frac{1}{8}

Khi đó:

\displaystyle \begin{array}{l}A=\left( {{{x}^{2}}+\frac{1}{x}} \right)+\left( {{{y}^{2}}+\frac{1}{y}} \right)+\left( {{{z}^{2}}+\frac{1}{z}} \right)\\\,\,\,\,\,=\left( {{{x}^{2}}+\frac{1}{{8x}}+\frac{1}{{8x}}} \right)+\left( {{{y}^{2}}+\frac{1}{{8y}}+\frac{1}{{8y}}} \right)+\left( {{{z}^{2}}+\frac{1}{{8z}}+\frac{1}{{8z}}} \right)+\frac{6}{8}\left( {\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}} \right)\\\,\,\,\,\,\ge 3\sqrt[3]{{{{x}^{2}}\frac{1}{{8x}}\frac{1}{{8x}}}}+3\sqrt[3]{{{{y}^{2}}\frac{1}{{8y}}\frac{1}{{8y}}}}+3\sqrt[3]{{{{z}^{2}}\frac{1}{{8z}}\frac{1}{{8z}}}}+\frac{3}{4}\frac{9}{{(x+y+z)}}\ge \frac{9}{4}+\frac{{27}}{4}\frac{2}{3}=\frac{{27}}{4}\end{array}

Dấu “=” xảy ra ⇔ \displaystyle x=y=z=\frac{1}{2}

Cùng chuyên đề:

<< Một số bất đẳng thức phụ hay dùngChứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp đổi biến >>

Kiến thức THCS - Tags: bất đẳng thức, chứng minh bđt, lý thuyết bđt

  • Cách giải phương trình nghiệm nguyên

  • Ứng dụng bất đẳng thức để giải phương trình

  • Lời khuyên bổ ích khi học bất đẳng thức

  • Các bất đẳng thức THCS cơ bản và nâng cao

  • Phương pháp biến đổi tương đương chứng minh bất đẳng thức

  • Lý thuyết cơ bản chứng minh bất đẳng thức

  • Tài liệu học bất đẳng thức THCS hay

Từ khóa » Chọn điểm Rơi Là Gì