Cách Chứng Minh Phương Trình Luôn Có Nghiệm Hay Nhất - TopLoigiai

Mục lục nội dung A. Phương pháp giảiB. Ví dụ minh họaC. Bài tập áp dụng

A. Phương pháp giải

+) Áp dụng định lý: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0, thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm nằm trong khoảng (a; b).

+) Các bước làm bài chứng minh phương trình có nghiệm.

- Bước 1: Biến đổi phương trình cần chứng minh về dạng f(x) = 0.

- Bước 2: Tìm 2 số a và b (a < b) sao cho f(a) . f(b) < 0

- Bước 3: Chứng minh hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b].

Từ đó suy ra phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (a; b).

Lưu ý: Các bước trên có thể thay đổi thứ tự.

+) Một số chú ý:

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Chứng minh rằng phương trình 4x3 - 8x2 + 1 = 0 có nghiệm trong khoảng (–1;2).

Hướng dẫn giải:

Hàm số f(x) = 4x3 - 8x2 + 1 liên tục trên R. 

Ta có: f(-1) = -11, f(2) = 1 nên f(-1).f(2) < 0.

Do đó theo tính chất hàm số liên tục, phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (–1;2).

Ví dụ 2: Chứng minh rằng phương trình x3 + x - 1 = 0 có nghiệm.

Hướng dẫn giải:

Đặt f(x) = x3 + x - 1

Hàm f(x) là hàm đa thức nên f(x) liên tục trên R (định lý cơ bản về tính liên tục)

Suy ra hàm f(x) liên tục trên đoạn [0; 1] (vì [0; 1] ⊂ R) (1)

Ta có: f(0) = 03 + 0 – 1 = - 1 ; f(1) = 13 + 1 – 1 = 1

⇒ f(0) . f(1) = - 1. 1 = - 1 < 0 (2)

Từ (1) và (2) suy ra f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (0; 1) (tính chất hàm số liên tục).

Vậy phương trình x3 + x - 1 = 0 có nghiệm (đpcm).

Ví dụ 3: Chứng minh 4x4 + 2x2 - x - 3 = 0 có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng (-1; 1).

Hướng dẫn giải:

+ Đặt f(x) = 4x4 + 2x2 - x - 3

Vì f(x) là hàm đa thức nên f(x) liên tục trên R.

Suy ra f(x) liên tục trên các đoạn [-1 ; 0] và [0; 1].

+ Ta có: f(-1) = 4.(-1)4 + 2.(-1)2 - (-1) - 3 = 4

f(0) = 4.0 + 2.0 - 0 - 3 = -3

f(1) = 4.14 + 2.12 - 1 - 3 = 2

+ Vì f(-1).f(0) = 4.(-3) = -12 < 0 nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (-1; 0)

Vì f(0) . f(1) = -3 . 2 = -6 < 0 nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (0; 1)

Mà hai khoảng (-1; 0) và (0; 1) không giao nhau. Từ đó suy ra phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm thuộc (-1; 1). (đpcm)

Ví dụ 4: Chứng minh rằng phương trình x5 - 5x3 + 4x - 1 = 0 có đúng 5 nghiệm.

Hướng dẫn giải:

Đặt f(x) = x5 - 5x3 + 4x - 1 thì f(x) liên tục trên R (vì f(x) là hàm đa thức).

Ta có:

Ví dụ 5: Chứng minh rằng phương trình (m2 - m + 3)x2n - 2x - 4 = 0 với n ∈ N* luôn có ít nhất 1 nghiệm âm với mọi giá trị của tham số m.

Hướng dẫn giải:

Đặt f(x) =  (m2 - m + 3)x2n - 2x - 4

Ta có:

Mặt khác hàm số f(x) xác định là liên tục trên R nên hàm số liên tục trên đoạn [-2; 0]

Do đó phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (-2; 0).

Vậy phương trình đã cho luôn có ít nhất 1 nghiệm âm với mọi giá trị của tham số m.

Ví dụ 6: Chứng minh rằng với mọi a, b, c phương trình x3 + ax2 + bx + c = 0 luôn có nghiệm.

Hướng dẫn giải:

C. Bài tập áp dụng

Bài 1. Chứng minh phương trình sau có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (-2;1): 2x5-5x3-1=0.

Bài 2. CMR phương trình:2x3-5x2+x+1=0 có ít nhất hai nghiệm.

Bài 3. CMR phương trình: 3x3 + 2x – 5 = 0  có ít nhất một nghiệm.

Bài 4. CMR phương trình: 4x4 + 2x2 – x = 3 có ít nhất hai nghiệm phân biệt trên khoảng (-1; 1).

Bài 5. CMR phương trình 2x3 – 6x + 1 = 0 có ba nghiệm phân biệt trên đoạn 

Bài 6. Chứng minh phương trình sau có nghiệm:

                     (m2 – 4)(x – 1)6 + 5x2 – 7x + 1=0

Bài 7. Chứng minh rằng phương trình:

a. x5 + 7x4 – 3x2 + x + 2 = 0 có ít nhất một nghiệm.

b. cos2x = 2sinx – 2 có ít nhất hai nghiệm trong (-p/6; p)

c. x5 – 5x3 + 4x – 1 = 0     có năm nghiệm phân biệt

d. (m2 – 1)x5 – (11m2 – 10)x + 1 = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (0;2)*

Bài 8. CMR các phương  sau luôn có nghiệm:

a) m(x - 1)(x - 2) + 2x + 1 = 0

b) (m2 - 2m)x3 + 2x - 1 = 0

c) cosx + mcoss2x = 0

d) (1 - m2)(x + 1)3 + x2 - x - 3 = 0

Bài 9. Chứng minh rằng phương trình:

a. 2x5 + 3x4 + 3x2 – 1 = 0 có ít nhất 3 nghiệm.

b. 2x3 + 3x2 + 10x + 200 = 0 luôn có nghiệm.

c. 4x4 + 2x2 – x – 28 = 0 luôn có nghiệm