Cách Chứng Minh Tứ Giác Là Hình Vuông Hay, Chi Tiết - Toán Lớp 8

Cách chứng minh tứ giác là hình vuông (hay, chi tiết)

• Siêu sale sách Toán - Văn - Anh Vietjack 29-11 trên Shopee mall

Trang trước Trang sau

Với Cách chứng minh tứ giác là hình vuông hay, chi tiết môn Toán lớp 8 phần Hình học sẽ giúp học sinh ôn tập, củng cố kiến thức từ đó biết cách làm các dạng bài tập Toán lớp 8 Chương 1: Tứ giác để đạt điểm cao trong các bài thi môn Toán 8.

• Cách giải bài tập chứng minh tứ giác là hình vuông
• Ví dụ minh họa bài tập chứng minh tứ giác là hình vuông
• Bài tập vận dụng chứng minh tứ giác là hình vuông

Cách chứng minh tứ giác là hình vuông (hay, chi tiết)

A. Phương pháp giải

Sử dụng một trong hai cách sau:

• Cách 1: Chứng minh tứ giác là hình chữ nhật có thêm dấu hiệu hai cạnh kề bằng nhau hoặc hai đường chéo vuông góc hoặc một đường chéo là đường phân giác của một góc.
• Cách 2: Chứng minh tứ giác là hình thoi có thêm dấu hiệu có một góc vuông hoặc hai đường chéo bằng nhau.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hình sau, tứ giác AEDF là hình gì? Vì sao? 

Giải

Tứ giác AEDF là hình vuông.

Theo hình vẽ thì  . Tứ giác AEDF có ba góc vuông nên nó là hình chữ nhật. Hình chữ nhật AEDF có AD là đường phân giác của góc A nên nó là hình vuông.

Ví dụ 2. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD. Gọi M là giao điểm của AF và DE, N là giao điểm của BF và CE.

a) Tứ giác ADFE là hình gì? Vì sao?

b) Tứ giác MENF là hình gì? Vì sao?

Giải

Đặt AD = a thì AB = 2a

Áp dụng tính chất về cạnh và giả thiết vào hình chữ nhật ABCD, ta được:

AE = EB = CF = FD = a.

a) Ta có EF là đường trung bình của hình chữ nhật ABCD nên EF = a

⇒ AE = EF = DF = AD = a

Suy ra tứ giác ADFE có bốn cạnh bằng nhau nên nó là hình thoi.

Hình thoi ADFE có  nên nó là hình vuông.

b) Tứ giác MENF là hình vuông

Chứng minh tương tự câu a) ta cũng có tứ giác EBCF là hình vuông.

Áp dụng tính chất về đường chéo vào hai hình vuông ADFE và EBCF, ta được:

Tứ giác MENF có ba góc vuông nên nó là hình chữ nhật.

Hình chữ nhật MENF lại có EF là đường phân giác của góc  nên nó là hình vuông.

Ví dụ 3. Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt lấy các điểm M, N, P, Q sao cho AM = BN = CP = DQ. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình vuông.

Giải

Vì ABCD là hình vuông nên AB = BC = CD = DA (tính chất).

Gọi độ dài cạnh hình vuông là a và AM = BN = CP = DQ = x.

Áp dụng định nghĩa và giả thiết vào hình vuông ABCD, ta được:

  và MB = NC = PD = QA = a – x, nên bốn tam giác vuông MBN, NCP, PDQ, QAM bằng nhau theo trường hợp (c – g – c) suy ra bốn cạnh tương ứng của các tam giác đó bằng nhau là MN = NP = PQ = QM.

Tứ giác MNPQ có bốn cạnh bằng nhau nên nó là hình thoi.

Áp dụng tính chất về góc và kết quả hai tam giác bằng nhau vào hai tam giác MBN, NCP ta được:

Lại có góc BNC là góc bẹt hay

Từ (1) và (2) suy ra  

Điều này chứng tỏ hình thoi MNPQ có một góc vuông nên nó là hình vuông.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1. Hãy chọn câu đúng. Cho hình vẽ, tứ giác là hình vuông theo dấu hiệu:

A. Hình thoi có một góc vuông.

B. Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau.

C. Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau.

D. Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau.

Lời giải:

Từ hình vẽ ta thấy hai đường chéo của tứ giác vuông góc và giao nhau tại trung điểm mỗi đường nên nó là hình thoi.

Hình thoi này có hai đường chéo bằng nhau nên nó là hình vuông.

Đáp án: D.

Câu 2. Hãy chọn câu đúng. Cho hình vẽ, tứ giác là hình vuông theo dấu hiệu:

A. Hình thoi có một góc vuông.

B. Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau.

C. Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau.

D. Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau.

Lời giải:

Từ hình vẽ ta thấy bốn cạnh của tứ giác này bằng nhau nên tứ giác này là hình thoi. Hình thoi này có một góc vuông nên nó là hình vuông.

Đáp án: A.

Câu 3. Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt lấy các điểm E, F, G, H sao cho AE = BF = CG = DH. Tứ giác EFGH là hình gì?

A. Hình chữ nhật.

B. Hình thoi.

C. Hình bình hành.

D. Hình vuông.

Lời giải:

Vì ABCD là hình vuông nên AB = BC = CD = DA (tính chất).

Mà AE = BF = CG = DH (gt) nên AB – AE = BC – BF = CD – CG = DA – DH 

hay DG = CF = EB =AH.

nên HG = GF = HE = EF.

Vì HG = GF = HE = EF nên tứ giác EFGH là hình thoi.

Hình thoi EFGH có  nên EFGH là hình vuông.

Đáp án: D.

Câu 4. Cho hình thoi ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Các tia phân giác 4 góc đỉnh O cắt các cạnh AB, BC, CD, DA theo thứ tự ở E, F, G, H. Tứ giác EFGH là hình gì?

A. Hình chữ nhật.

B. Hình thoi.

C. Hình bình hành.

D. Hình vuông.

Lời giải:

Vì ABCD là hình thoi nên  (tính chất).

Mà OE, OF, OG, OH lần lượt là phân giác  nên ta có  

Suy ra   

nên H, O, F thẳng hàng.

Tương tự ta có: E, O, G thẳng hàng.

Xét ta có OD = OB; (đối đỉnh); (so le trong) nên  (g – c - g) suy ra OE = OG (1)

Tương tự ta có:  (g – c – g) ⇒ OF = OH         (2)

Từ (1) và (2) suy ra: tứ giác EFGH là hình bình hành vì có hai đường chéo EG; HF giao nhau tại trung điểm mỗi đường.

Lại xét  có:

Suy ra: hình bình hành EFGH có hai đường chéo bằng nhau EG = HF nên EFGH là hình chữ nhật.

Lại có:

Hình chữ nhật EFGH có:  nên EFGH là hình vuông.

Đáp án: D.

Câu 5. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên cạnh BC lấy các điểm H, G sao cho BH = HG = GC. Qua H và G kẻ các đường vuông góc với BC, chúng cắt AB và AC theo thứ tự tại E và F. Tứ giác EFGH là hình gì?

A. Hình chữ nhật.

B. Hình thoi.

C. Hình bình hành.

D. Hình vuông.

Lời giải:

Ta có: ΔABC vuông cân tại A nên  

Xét tam giác vuông FGC có:

 

Suy ra ∆FGC là tam giác vuông cân tại  

Chứng minh tương tự: 

Xét tam giác vuông EHB có 

 

Suy ra tam giác EBH vuông cân tại H  

Mà BH = HG = GC(gt) nên FG = EH = HG

Lại có: 

Xét tứ giác EFGH có:

 

 ⇒Tứ giác EFGH là hình bình hành. 

Mà  nên hình bình hành EFGH là hình chữ nhật.

Mặt khác EH = HG (cmt) nên hình chữ nhật EFGH là hình vuông.

Đáp án: D.

Câu 6. Cho hình vuông ABCD, trên tia đối của tia CB lấy điểm E, trên tia đối của tia DC lấy điểm F sao cho DF = BE. Qua E kẻ Ex//AF, qua F kẻ Fy//AE. Gọi P là giao điểm của Ex và Fy. AEPF là hình gì?

A. Hình chữ nhật.

B. Hình thoi.

C. Hình bình hành.

D. Hình vuông.

Lời giải:

Xét hai tam giác ABE và ADF có:

AB = AD (do ABCD là hình vuông)

Mặt khác lại do EP//AF; FP//AE  ⇒AEPF là hình bình hành (3)

Từ (1), (2), (3) ⇒ AEPF là hình vuông.

Đáp án: D.

Câu 7. Cho ΔABC vuông cân tại B. Từ điểm D thuộc cạnh AB vẽ  tại E, tia ED cắt tia CB tại F. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AD, DF, FC, CA. Khi đó MNPQ là hình gì?

A. Hình chữ nhật.

B. Hình thoi.

C. Hình bình hành.

D. Hình vuông.

Lời giải:

Từ giả thiết M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AD, DF, FC, CA ta suy ra:

MN là đường trung bình của ΔADF và  

PQ là đường trung bình của ΔACF và 

Từ (1) và (2) suy ra MNPQ là hình bình hành.

Mặt khác D là giao điểm của hai đường cao AB và FE trong tam giác AFC suy ra CD là đường cao còn lại

  (do NP là đường trung bình của tam giác FDC nên NP//DC)

Nên tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

ΔFEC  vuông tại E và có (Tam giác ABC vuông cân tại A) nên ΔFEC vuông cân tại E

 vuông cân tại B suy ra BD = BF

Xét hai tam giác ABF và CBD có:

BF = BD (cmt)

 

Do đó MNPQ là hình vuông.

Đáp án: D.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 8 chọn lọc hay khác:

• Chứng minh hai đoạn thẳng, hai góc bằng nhau trong hình thoi
• Chứng minh hai đường thẳng vuông góc dựa vào hình thoi
• Tìm điều kiện của hình A để hình B trở thành hình vuông
• Chứng minh hai đoạn thẳng, hai góc bằng nhau trong hình vuông
• Chứng minh hai đường thẳng vuông góc dựa vào hình vuông

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:

• Giải bài tập Toán 8
• Giải sách bài tập Toán 8
• Top 75 Đề thi Toán 8 có đáp án

• Tài liệu cho giáo viên: Giáo án, powerpoint, đề thi giữa kì cuối kì, đánh giá năng lực, thi thử THPT, HSG, chuyên đề, bài tập cuối tuần..... độc quyền VietJack, giá hợp lí

Tủ sách VIETJACK shopee lớp 6-8 cho phụ huynh và giáo viên (cả 3 bộ sách):

• Trọng tâm Toán, Anh, KHTN lớp 6 (303 trang - từ 99k)
• Trọng tâm Toán, Anh, KHTN lớp 7 (266 trang - từ 99k)
• Trọng tâm Toán, Anh, KHTN lớp 8 (302 trang - từ 99k)

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, SÁCH LUYỆN THI DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 8

Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi, sách dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

Giáo án, bài giảng powerpoint Văn, Toán, Lí, Hóa....

4.5 (243)

799,000đs

199,000 VNĐ

Đề thi, chuyên đề Cánh diều, Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo...

4.5 (243)

799,000đ

99,000 VNĐ

Sách Toán - Văn- Anh 6-7-8-9, luyện thi vào 10

4.5 (243)

199,000đ

99.000 - 149.000 VNĐ

xem tất cả

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS. Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Loạt bài Lý thuyết & 700 Bài tập Toán lớp 8 có lời giải chi tiết có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài có lời giải chi tiết được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 8 và Hình học 8.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.

Trang trước Trang sau Giải bài tập lớp 8 sách mới các môn học

• Giải Tiếng Anh 8 Global Success
• Giải sgk Tiếng Anh 8 Smart World
• Giải sgk Tiếng Anh 8 Friends plus
• Lớp 8 - Kết nối tri thức
• Soạn văn 8 (hay nhất) - KNTT
• Soạn văn 8 (ngắn nhất) KNTT
• Giải sgk Toán 8 - KNTT
• Giải sgk Khoa học tự nhiên 8 - KNTT
• Giải sgk Lịch Sử 8 - KNTT
• Giải sgk Địa Lí 8 - KNTT
• Giải sgk Giáo dục công dân 8 - KNTT
• Giải sgk Tin học 8 - KNTT
• Giải sgk Công nghệ 8 - KNTT
• Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 8 - KNTT
• Giải sgk Âm nhạc 8 - KNTT
• Lớp 8 - Chân trời sáng tạo
• Soạn văn 8 (hay nhất) - CTST
• Soạn văn 8 (ngắn nhất) - CTST
• Giải sgk Toán 8 - CTST
• Giải sgk Khoa học tự nhiên 8 - CTST
• Giải sgk Lịch Sử 8 - CTST
• Giải sgk Địa Lí 8 - CTST
• Giải sgk Giáo dục công dân 8 - CTST
• Giải sgk Tin học 8 - CTST
• Giải sgk Công nghệ 8 - CTST
• Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 8 - CTST
• Giải sgk Âm nhạc 8 - CTST
• Lớp 8 - Cánh diều
• Soạn văn 8 Cánh diều (hay nhất)
• Soạn văn 8 Cánh diều (ngắn nhất)
• Giải sgk Toán 8 - Cánh diều
• Giải sgk Khoa học tự nhiên 8 - Cánh diều
• Giải sgk Lịch Sử 8 - Cánh diều
• Giải sgk Địa Lí 8 - Cánh diều
• Giải sgk Giáo dục công dân 8 - Cánh diều
• Giải sgk Tin học 8 - Cánh diều
• Giải sgk Công nghệ 8 - Cánh diều
• Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 8 - Cánh diều
• Giải sgk Âm nhạc 8 - Cánh diều