Cách Giải Bài Dạng: Hai đường Tròn Tiếp Xúc Nhau, Cắt Nhau Toán Lớp 9

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Vị trí tương đối của đường tròn

• (O, R) và (O', R') cắt nhau <=> (O) và (O') có hai điểm chung <=> |R - R'| < d < R + R'
• (O, R) và (O', R') tiếp xúc nhau <=> (O) và (O') có một điểm chung <=> d = |R - R'| hoặc d = R + R'
• (O, R) và (O', R') không giao nhau <=> (O) và (O') không có điểm chung <=> d > R + R' hoặc d < |R - R'|

2. Tính chất đường nối tâm

• Đường nối tâm là trục đối xứng của hình gồm cả hai đường tròn.
• Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp diểm nằm trên đường nối tâm.

3. Tiếp tuyến chung của hai đường tròn

• Tiếp tuyến chung của hai đường tròn là đường thẳng tiếp xúc với cả hai đường tròn đó.
• Tiếp tuyến chung ngoài là tiếp tuyến chung không cắt đoạn nối tâm.
• Tiếp tuyến chung trong là tiếp tuyến chung cắt đoạn nối tâm.

Ví dụ 1: Cho (O) tiếp xúc trong với (O') tại A ((O) nằm bên trong (O')). Qua A kẻ một cát tuyến bất kì cắt (O) tại B và (O') tại C. Chứng minh rằng OB // O'C.

Hướng dẫn:

Đường tròn (O) tiếp xúc trong với đường tròn (O') tại A nên A nằm trên OO'.

=> Góc A là góc chung của hai tam giác O'AC và OAB.

Vì O'A = O'C (cùng bằng bán kính (O')) => Tam giác O'AC cân tại O' => $\widehat{A}=\widehat{C}$ (1) 

OA = OB (bán kính (O)) => Tam giác OAB cân tại O => $\widehat{A}=\widehat{B}$ (2)

Từ (1) và (2) => $\widehat{B}=\widehat{C}$

Vậy OB // O'C (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau)

Ví dụ 2: Cho hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại A và B. Gọi I là trung điểm của O1O2. Qua A vẽ đường thẳng vuông góc với IA, cắt (O1) tại C và (O2) ở D (khác A). Chứng minh rằng CA = AD.

Hướng dẫn:

Kẻ O1H $\perp $ CD, O2H $\perp $ CD thì O1H // IA // O2K (1)

O1H vuông góc với dây CA của (O1) nên CH = HA = $\frac{CA}{2}$

O2K vuông góc với dây AD của (O2) nên AK = KD = $\frac{AD}{2}$

Lại có O1I = IO2 (theo giả thiết)       (2)

Từ (1) và (2) suy ra O1H, IA, O2K là ba đường thẳng song song cách đều nên AH = AK <=> CA = AD