Cách Giải Phương Trình Bậc 3 Tổng Quát | Tăng Giáp

• Home
• Forums New posts Search forums
• Lớp 12 Vật Lí 12
• What's new Featured content New posts New profile posts Latest activity
• Members Current visitors New profile posts Search profile posts

Đăng nhập Có gì mới? Tìm kiếm

Tìm kiếm

Everywhere Threads This forum This thread Chỉ tìm trong tiêu đề Note By: Search Tìm nâng cao…

• New posts
• Search forums

Menu Đăng nhập Install the app Install How to install the app on iOS

Follow along with the video below to see how to install our site as a web app on your home screen.

Note: This feature may not be available in some browsers.

• Home
• Forums
• Lớp 10
• Toán lớp 10
• Chủ đề 3: PT, BPT và hệ phương trình đại số
• Bài 01. Phương trình

You are using an out of date browser. It may not display this or other websites correctly.You should upgrade or use an alternative browser. Cách giải phương trình bậc 3 tổng quát

• Thread starter Thread starter Tăng Giáp
• Ngày gửi Ngày gửi 7/12/18

Tăng Giáp

Administrator

Thành viên BQT Giải phương trình bậc 3 luôn là một trong những nội dung khiến nhiều học sinh băn khoăn khi bước vào các bài toán đại số nâng cao. Khác với phương trình bậc hai vốn quen thuộc và dễ áp dụng công thức nghiệm, phương trình bậc ba đòi hỏi người học phải nắm vững nhiều kỹ thuật hơn: từ cách nhận dạng dạng đặc biệt, phương pháp đặt ẩn phụ, tách nhân tử cho đến công thức Cardano. Việc hiểu rõ bản chất từng phương pháp không chỉ giúp bạn giải nhanh mà còn tránh được những sai sót thường gặp khi xử lý biểu thức phức tạp. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng hệ thống lại toàn bộ kiến thức quan trọng và hướng dẫn từng bước để bạn có thể giải phương trình bậc 3 một cách chính xác, có chiến lược và dễ nhớ. Đây sẽ là tài liệu hữu ích nếu bạn đang học chương trình THPT, ôn thi tốt nghiệp hoặc muốn củng cố nền tảng toán học của mình.

1. Cách giải phương trình bậc 3 tổng quát​

Ta có 3 phương pháp thường gặp:

1.1 Phương pháp phân tích nhân tử​

Nếu phương trình bậc ba $a{x^3} + b{x^2} + cx + d = 0$ có nghiệm $x = r$ thì có nhân tử $(x – r)$, do đó có thể phân tích: $a{x^3} + b{x^2} + cx + d$ $ = \left( {x – r} \right)\left[ {a{x^2} + \left( {b + ar} \right)x + c + br + a{r^2}} \right].$ Từ đó ta đưa về giải một phương trình bậc hai, có nghiệm là: $\frac{{ – b – ra \pm \sqrt {{b^2} – 4ac – 2abr – 3{a^2}{r^2}} }}{{2a}}.$

1.2 Phương pháp Cardano​

Xét phương trình bậc ba ${x^3} + a{x^2} + bx + c = 0$ $(1).$ Đặt $x = y – \frac{a}{3}$, phương trình $(1)$ luôn biến đổi được về dạng chính tắc: ${y^3} + py + q = 0$ $(2)$, trong đó: $p = b – \frac{{{a^2}}}{3}$, $q = c + \frac{{2{a^3} – 9ab}}{{27}}.$ Ta chỉ xét $p,q \ne 0$ vì nếu $p=0$ hoặc $q=0$ thì đưa về trường hợp đơn giản. Đặt $y=u+v$ thay vào phương trình $(2)$, ta được: ${\left( {u + v} \right)^3} + p\left( {u + v} \right) + q = 0$ $ \Leftrightarrow {u^3} + {v^3} + \left( {3uv + p} \right)\left( {u + v} \right) + q = 0$ $(3).$ Chọn $u$, $v$ sao cho $3uv+p=0$ $(4).$ Như vậy, để tìm $u$ và $v$, từ $(3)$ và $(4)$ ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} {u^3} + {v^3} = – q\\ {u^3}{v^3} = – \frac{{{p^3}}}{{27}} \end{array} \right.$ Theo định lí Vi-ét, ${u^3}$ và ${v^3}$ là hai nghiệm của phương trình: ${X^2} + qX – \frac{{{p^3}}}{{27}} = 0$ $(5).$ Đặt $\Delta = \frac{{{q^2}}}{4} + \frac{{{p^3}}}{{27}}.$

• Khi $Δ > 0$, phương trình $(5)$ có nghiệm: ${u^3} = – \frac{q}{2} + \sqrt \Delta $, ${v^3} = – \frac{q}{2} – \sqrt \Delta .$ Như vậy phương trình $(2)$ sẽ có nghiệm thực duy nhất là: $y = \sqrt[3]{{ – \frac{q}{2} + \sqrt \Delta }} + \sqrt[3]{{ – \frac{q}{2} – \sqrt \Delta }}.$
• Khi $Δ=0$, phương trình $(5)$ có nghiệm kép: $u = v = – \sqrt[3]{{\frac{q}{2}}}.$ Khi đó, phương trình $(2)$ có hai nghiệm thực, trong đó một nghiệm kép: ${y_1} = 2\sqrt[3]{{ – \frac{q}{2}}}$, ${y_2} = {y_3} = \sqrt[3]{{\frac{q}{2}}}.$
• Khi $Δ < 0$, phương trình $(5)$ có nghiệm phức.

Gọi $u_0^3$ là một nghiệm phức của $(5)$, $v_0^3$ là giá trị tương ứng sao cho ${u_0}{v_0} = – \frac{p}{3}.$ Khi đó, phương trình $(2)$ có ba nghiệm phân biệt: ${y_1} = {u_0} + {v_0}$, ${y_2} = – \frac{1}{2}\left( {{u_0} + {v_0}} \right) + i\frac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {{u_0} – {v_0}} \right)$, ${y_3} = – \frac{1}{2}\left( {{u_0} + {v_0}} \right) – i\frac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {{u_0} – {v_0}} \right).$

1.3. Phương pháp lượng giác hoá​

Một phương trình bậc ba, nếu có $3$ nghiệm thực, khi biểu diễn dưới dạng căn thức sẽ liên quan đến số phức. Vì vậy ta thường dùng phương pháp lượng giác hoá để tìm một cách biểu diễn khác đơn giản hơn, dựa trên hai hàm số $\cos$ và $\arccos.$ Cụ thể, từ phương trình ${t^3} + pt + q = 0$ $(*)$, ta đặt $t = u\cos \alpha $ và tìm $u$ để có thể đưa $(*)$ về dạng: $4{\cos ^3}\alpha – 3\cos \alpha – cos3\alpha = 0.$ Muốn vậy, ta chọn $u = 2\sqrt {\frac{{ – p}}{3}} $ và chia $2$ vế của $(*)$ cho $\frac{{{u^3}}}{4}$ để được: $4{\cos ^3}\alpha – 3\cos \alpha – \frac{{3q}}{{2p}}\sqrt {\frac{{ – 3}}{p}} = 0$ $ \Leftrightarrow \cos 3\alpha = \frac{{3q}}{{2p}}\sqrt {\frac{{ – 3}}{p}} .$ Vậy $3$ nghiệm thực là: ${t_i} = 2\sqrt {\frac{{ – p}}{3}} \cos \left[ {\frac{1}{3}\arccos \left( {\frac{{3q}}{{2p}}\sqrt {\frac{{ – 3}}{p}} } \right) – \frac{{2i\pi }}{3}} \right]$ với $i = 0, 1, 2.$ Lưu ý rằng nếu phương trình có $3$ nghiệm thực thì $p < 0$ (điều ngược lại không đúng) nên công thức trên không có số phức. của mình.

2. Ví dụ minh hoạ​

Ví dụ 1. Giải phương trình: ${x^3} + {x^2} + x = – \frac{1}{3}.$ Lời giải​Phương trình không có nghiệm hữu tỉ nên không thể phân tích nhân tử. Trước khi nghĩ tới công thức Cardano, ta thử quy đồng phương trình: $3{x^3} + 3{x^2} + 3x + 1 = 0.$ Đại lượng $3{x^2} + 3x + 1$ gợi ta đến hằng đẳng thức quen thuộc sau: ${x^3} + 3{x^2} + 3x + 1 = {\left( {x + 1} \right)^3}.$ Do đó phương trình tương đương: ${\left( {x + 1} \right)^3} = – 2{x^3}$ $ \Leftrightarrow x + 1 = – \sqrt[3]{2}x.$ Từ đó suy ra phương trình có nghiệm duy nhất: $x = \frac{{ – 1}}{{1 + \sqrt[3]{2}}}.$ Nhận xét: Ví dụ trên là một phương trình bậc ba có nghiệm vô tỉ và được giải nhờ khéo léo biến đổi đẳng thức. Tuy nhiên, những bài đơn giản như thế này không có nhiều. Sau đây ta sẽ đi sâu vào công thức Cardano: Ví dụ 2. Giải phương trình: ${x^3} – 3{x^2} + 4x + 11 = 0.$ Lời giải​Đặt $x = y + 1$, thế vào phương trình đầu bài, ta được: ${y^3} + 1.y + 13 = 0.$ Tính $\Delta = {13^2} + \frac{4}{{27}}{.1^3}$ $ = \frac{{4567}}{{27}} \ge 0.$ Áp dụng công thức Cardano suy ra: $y = \sqrt[3]{{\frac{{ – 13 + \sqrt {\frac{{4567}}{{27}}} }}{2}}}$ $ + \sqrt[3]{{\frac{{ – 13 – \sqrt {\frac{{4567}}{{27}}} }}{2}}}.$ Suy ra: $x = \sqrt[3]{{\frac{{ – 13 + \sqrt {\frac{{4567}}{{27}}} }}{2}}}$ $ + \sqrt[3]{{\frac{{ – 13 – \sqrt {\frac{{4567}}{{27}}} }}{2}}} + 1.$ Nhận xét: Ví dụ trên là một ứng dụng cơ bản của công thức Cardano. Tuy nhiên, công thức này không hề dễ nhớ và chỉ được dùng trong các kì thi học sinh giỏi. Vì thế, có lẽ chúng ta sẽ cố gắng tìm một con đường “hợp thức hóa” các lời giải trên, đó là phương pháp lượng giác hoá. Đầu tiên xét phương trình dạng $x^3 + px + q = 0$ với $p <0$ và có $1$ nghiệm thực: Ví dụ 3. Giải phương trình: ${x^3} + 3{x^2} + 2x – 1 = 0.$ Lời giải​Đầu tiên đặt $x=y-1$ ta đưa về phương trình ${y^3} – y – 1 = 0$ $(1)$, đến đây ta dùng lượng giác như sau: Nếu $\left| y \right| < \frac{2}{{\sqrt 3 }}$, suy ra $\left| {\frac{{\sqrt 3 }}{2}y} \right| < 1$, do đó tồn tại $\alpha \in \left[ {0,\pi } \right]$ sao cho $\frac{{\sqrt 3 }}{2}y = \cos \alpha .$ Phương trình tương đương $\frac{8}{{3\sqrt 3 }}{\cos ^3}\alpha – \frac{2}{{\sqrt 3 }}\cos \alpha – 1 = 0$ $ \Leftrightarrow \cos 3\alpha = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}$ (vô nghiệm). Do đó $\left| y \right| \ge \frac{2}{{\sqrt 3 }}$. Như vậy luôn tồn tại $t$ thỏa $y = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\left( {t + \frac{1}{t}} \right)$ $(*).$ Thế vào $(1)$ ta được phương trình $\frac{{{t^3}}}{{3\sqrt 3 }} + \frac{1}{{3\sqrt 3 {t^3}}} – 1 = 0$, việc giải phương trình này không khó, xin dành cho bạn đọc. Ta tìm được nghiệm: $x = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\left[ {\sqrt[3]{{\frac{1}{2}\left( {3\sqrt 3 – \sqrt {23} } \right)}} + \frac{1}{{\sqrt[3]{{\frac{1}{2}\left( {3\sqrt 3 – \sqrt {23} } \right)}}}}} \right] – 1.$ Nhận xét: Câu hỏi đặt ra là: “Sử dụng phương pháp trên như thế nào?”. Muốn trả lời, ta cần làm sáng tỏ hai vấn đề: Vấn đề 1. Có luôn tồn tại $t$ thoả mãn cách đặt trên? Đáp án là không. Coi $(*)$ là phương trình bậc hai theo $t$ ta sẽ tìm được điều kiện $\left| y \right| \ge \frac{2}{{\sqrt 3 }}.$ Thật ra có thể tìm nhanh bằng cách dùng bất đẳng thức AM – GM: $\left| y \right| = \left| {\frac{1}{{\sqrt 3 }}\left( {t + \frac{1}{t}} \right)} \right|$ $ = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\left( {\left| t \right| + \frac{1}{{\left| t \right|}}} \right) \ge \frac{2}{{\sqrt 3 }}.$ Vậy trước hết ta phải chứng minh $(1)$ không có nghiệm $\left| y \right| < \frac{2}{{\sqrt 3 }}.$ Vấn đề 2. Vì sao có số $\frac{2}{{\sqrt 3 }}$? Ý tưởng của ta là từ phương trình $x^3+px+q=0$ đưa về một phương trình trùng phương theo $t^3$ qua cách đặt $x = k\left( {t + \frac{1}{t}} \right).$ Khai triển và đồng nhất hệ số ta được $k = \sqrt {\frac{{ – p}}{3}} .$ Sau đây là phương trình dạng $x^3+px+q=0$ với $p < 0$ và có $3$ nghiệm thực: Ví dụ 4. Giải phương trình: ${x^3} – {x^2} – 2x + 1 = 0.$ Lời giải​Đặt $y = x – \frac{1}{3}$, ta được phương trình: ${y^3} – \frac{7}{3}y + \frac{7}{{27}} = 0$ $(*).$ Với $\left| y \right| < \frac{{2\sqrt 7 }}{3}$ thì $\left| {\frac{{3y}}{{2\sqrt 7 }}} \right| < 1$, do đó tồn tại $\alpha \in \left[ {0;\pi } \right]$ sao cho $\cos \alpha = \frac{{3y}}{{2\sqrt 7 }}$ hay $y = \frac{{2\sqrt 7 \cos \alpha }}{3}.$ Thế vào $(*)$, ta được: $\cos 3\alpha = – \frac{{\sqrt 7 }}{{14}}$, đây là phương trình lượng giác cơ bản. Dễ dàng tìm được ba nghiệm của phương trình ban đầu: ${x_1} = \frac{{2\sqrt 7 }}{3}\cos \left[ {\frac{{\arccos \left( { – \frac{{\sqrt 7 }}{{14}}} \right)}}{3}} \right] + \frac{1}{3}$, ${x_{2,3}} = \frac{{2\sqrt 7 }}{3}\cos \left[ {\frac{{ \pm \arccos \left( { – \frac{{\sqrt 7 }}{{14}}} \right)}}{3} + \frac{{2\pi }}{3}} \right] + \frac{1}{3}.$ Do phương trình bậc ba có tối đa $3$ nghiệm phân biệt nên ta không cần xét trường hợp $\left| y \right| \ge \frac{{2\sqrt 7 }}{3}.$ Nhận xét: Ta cũng có thể chứng minh phương trình vô nghiệm khi $\left| y \right| \ge \frac{{2\sqrt 7 }}{3}$ bằng cách đặt $y = \frac{{\sqrt 7 }}{3}\left( {t + \frac{1}{t}} \right)$ giống như ví dụ 3, từ đó dẫn tới một phương trình trùng phương vô nghiệm. Tổng kết lại, ta dùng phép đặt ẩn phụ $y = \sqrt {\frac{{ – p}}{3}} \left( {t + \frac{1}{t}} \right)$ $(*)$ như sau:

• Nếu phương trình có $1$ nghiệm thực, chứng minh phương trình vô nghiệm khi $\left| y \right| < 2\sqrt {\frac{{ – p}}{3}} $, trường hợp còn lại dùng $(*)$ để đưa về phương trình trùng phương theo $t.$
• Nếu phương trình có $3$ nghiệm thực, chứng minh phương trình vô nghiệm khi $\left| y \right| \ge 2\sqrt {\frac{{ – p}}{3}} $ bằng phép đặt $(*)$ (đưa về phương trình trùng phương vô nghiệm theo $t$). Khi $\left| y \right| \le 2\sqrt {\frac{{ – p}}{3}} $ thì đặt $\frac{{\left| y \right|}}{{2\sqrt {\frac{{ – p}}{3}} }} = \cos \alpha $, từ đó tìm $α$, suy ra $3$ nghiệm $y.$

Còn khi $p>0$ không khó chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất: Ví dụ 5. Giải phương trình: ${x^3} + 6x + 4 = 0.$ Lời giải​Ý tưởng: Ta sẽ dùng phép đặt $x = k\left( {t – \frac{1}{t}} \right)$ để đưa về phương trình trùng phương. Để ý phép đặt này không cần điều kiện của $x$, vì nó tương đương $k\left( {{t^2} – 1} \right) – xt = 0.$ Phương trình trên luôn có nghiệm theo $t$. Như vậy từ phương trình đầu ta được: ${k^3}\left( {{t^3} – \frac{1}{{{t^3}}}} \right) – 3{k^3}\left( {t – \frac{1}{t}} \right)$ $ + 6k\left( {t – \frac{1}{t}} \right) + 4 = 0.$ Cần chọn $k$ thỏa $3{k^3} = 6k$ $ \Rightarrow k = \sqrt 2 .$ Vậy ta có lời giải bài toán như sau: Đặt $x = \sqrt 2 \left( {t – \frac{1}{t}} \right)$, ta có phương trình: $2\sqrt 2 \left( {{t^3} – \frac{1}{{{t^3}}}} \right) + 4 = 0$ $ \Leftrightarrow {t^6} – 1 + \sqrt 2 {t^3} = 0$ $ \Leftrightarrow {t_{1,2}} = \sqrt[3]{{\frac{{ – 1 \pm \sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }}}}.$ Lưu ý rằng ${t_1}{t_2} = – 1$ theo định lí Vi-ét nên ta chỉ nhận được một giá trị của $x$ là: $x = {t_1} + {t_2}$ $ = \sqrt 2 \left( {\sqrt[3]{{\frac{{ – 1 + \sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }}}} + \sqrt[3]{{\frac{{ – 1 – \sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }}}}} \right).$ Ví dụ 6. Giải phương trình $4{x^3} – 3x = m$ với $\left| m \right| > 1.$ Lời giải​Nhận xét rằng khi $\left| x \right| \le 1$ thì $\left| {VT} \right| \le 1 < \left| m \right|$ (sai) nên $\left| x \right| \ge 1.$ Vì vậy ta có thể đặt $x = \frac{1}{2}\left( {t + \frac{1}{t}} \right)$, ta được phương trình: $\frac{1}{2}\left( {{t^3} + \frac{1}{{{t^3}}}} \right) = m.$ Từ đó: $t = \sqrt[3]{{m \pm \sqrt {{m^2} – 1} }}$ $ \Rightarrow x = \frac{1}{2}\left( {\sqrt[3]{{m + \sqrt {{m^2} – 1} }} + \sqrt[3]{{m – \sqrt {{m^2} – 1} }}} \right).$ Ta chứng minh đây là nghiệm duy nhất của phương trình. Giả sử phương trình có nghiệm ${x_0}$ thì ${x_0} \notin \left[ { – 1;1} \right]$ vì $\left| {{x_0}} \right| > 1.$ Khi đó: $4{x^3} – 3x = 4x_0^3 – 3{x_0}$ $ \Leftrightarrow \left( {x – {x_0}} \right)\left( {4{x^2} + 4x{x_0} + 4x_0^2 – 3} \right) = 0.$ Xét phương trình: $4{x^2} + 4x{x_0} + 4x_0^2 – 3 = 0.$ Ta có: $\Delta ‘ = 12 – 12x_0^2 < 0$ nên phương trình bậc hai này vô nghiệm. Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là: $x = \frac{1}{2}\left( {\sqrt[3]{{m + \sqrt {{m^2} – 1} }} + \sqrt[3]{{m – \sqrt {{m^2} – 1} }}} \right).$ Chỉnh sửa cuối: 22/11/25

Tăng Giáp

Administrator

Thành viên BQT Bài tập 1: Biết rằng phương trình x$^3$ – 5x$^2$ - 2x + 24 = 0 được đưa về phương trình (x - 4)(x$^2$ + Bx + C) = 0. Hãy tính tích các nghiệm của phương trình x$^2$ + Bx + C = 0 nếu có. Lời giải​ You must log in or register to reply here. Share: Bluesky LinkedIn Reddit Pinterest Tumblr WhatsApp Email Share Link

Trending content

• Thread 'Dạng toán 1. Xác định miền nghiệm của bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.'
  • Tăng Giáp
  • 8/12/18
  Trả lời: 0
• Thread 'Cách giải phương trình bậc 3 tổng quát'
  • Tăng Giáp
  • 7/12/18
  Trả lời: 1
• Thread 'Công thức giải nhanh cấp số cộng và cấp số nhân'
  • Tăng Giáp
  • 5/10/17
  Trả lời: 18
• Thread 'Công thức giải nhanh vật lý phần dao động cơ'
  • Tăng Giáp
  • 10/4/15
  Trả lời: 6
• H Thread 'Cực đại và cực tiểu của hàm số'
  • Huy Hoàng
  • 22/2/16
  Trả lời: 179
• Thread 'Các bước khảo sát hàm bậc nhất trên bậc nhất'
  • Doremon
  • 3/12/14
  Trả lời: 6
• Thread 'Trường THPT Chuyên Sư Phạm Hà Nội lần 2'
  • Tăng Giáp
  • 2/3/17
  Trả lời: 0
• Thread 'Bài tập trắc nghiệm hình chóp'
  • Minh Toán
  • 10/11/17
  Trả lời: 148
• V Thread 'Bài 2. CHUYỂN ĐỘNG THẲNG ĐỀU'
  • Vật Lí
  • 19/9/16
  Trả lời: 98
• Thread 'công thức giải nhanh vật lý sóng cơ'
  • Tăng Giáp
  • 14/4/15
  Trả lời: 0

Latest posts

• Sóng dừng
  • Latest: Tăng Giáp
  • 2/12/25
  Sóng cơ
• Giao Thoa Sóng Cơ
  • Latest: Tăng Giáp
  • 2/12/25
  Sóng cơ
• Sóng điện từ
  • Latest: Tăng Giáp
  • 2/12/25
  Bài 22: Sóng điện từ
• Sóng ngang. Sóng dọc. Sự truyền năng lượng của sóng cơ
  • Latest: Tăng Giáp
  • 2/12/25
  Sóng cơ
• Mô tả sóng
  • Latest: Tăng Giáp
  • 2/12/25
  Sóng cơ
• Dao động tắt dần - dao động cưỡng bức
  • Latest: Tăng Giáp
  • 2/12/25
  Dao động cơ
• Động năng. Thế năng. Sự chuyển hoá năng lượng trong dao động điều hoà
  • Latest: Tăng Giáp
  • 2/12/25
  Dao động cơ
• Bài 5. Điện thế
  • Latest: Tăng Giáp
  • 25/11/25
  Chương 1. Điện tích - Điện trường
• Bài 6. Tụ Điện
  • Latest: Tăng Giáp
  • 25/11/25
  Chương 1. Điện tích - Điện trường
• Cách giải phương trình bậc 3 tổng quát
  • Latest: Tăng Giáp
  • 22/11/25
  Bài 01. Phương trình

Members online

No members online now. Total: 23 (members: 0, guests: 23)

Share this page

Bluesky LinkedIn Reddit Pinterest Tumblr WhatsApp Email Share Link

• Home
• Forums
• Lớp 10
• Toán lớp 10
• Chủ đề 3: PT, BPT và hệ phương trình đại số
• Bài 01. Phương trình

Back Top