Cách Học Chứng Minh định Lý. Tìm Ra Tất Cả Các điểm Chưa Rõ Ràng ...

Hướng dẫn- một hình thức tư duy mà qua đó suy nghĩ hướng đến một số nguyên tắc chung, vị trí chung, vốn có trong tất cả các đối tượng cụ thể của bất kỳ lớp nào. Khấu trừ- hình thức tư duy này, khi một suy nghĩ mới được bắt nguồn một cách thuần túy lôgic từ những suy nghĩ trước đó. Một chuỗi suy nghĩ như vậy được gọi là kết luận, và mỗi thành phần của kết luận này hoặc là một suy nghĩ đã được chứng minh trước đó, hoặc một tiên đề, hoặc một giả thuyết. chứng minh suy luận- một trong những hình thức bằng chứng, khi luận điểm, là bất kỳ phán đoán đơn lẻ hoặc cụ thể nào, được đưa ra theo nguyên tắc chung. Mọi bằng chứng đều có ba phần: luận điểm, luận cứ, chứng minh. Quy tắc chứng minh:1. Luận điểm và luận cứ phải là những nhận định rõ ràng, xác đáng. 2. Luận điểm phải được giữ nguyên trong toàn bộ phần chứng minh. 3. Luận điểm không được có mâu thuẫn logic. 4. Luận điểm được chứng minh không được mâu thuẫn logic với các nhận định đã đưa ra trước đó. 5. Các lập luận được đưa ra để hỗ trợ cho luận điểm không được mâu thuẫn với nhau. 6. Giảm đến mức phi lý. Sự thật của luận điểm này hay luận điểm khác có thể được chứng minh bằng cách chứng minh tính sai của luận điểm ngược lại. 7. Luận điểm và luận cứ phải được chứng minh bằng sự kiện. 8. Bằng chứng phải đầy đủ. 9. Các luận cứ được đưa ra để ủng hộ sự thật của luận điểm phải đủ cho luận điểm này. 10. Các luận cứ được đưa ra để chứng minh tính chân lý của luận điểm phải đúng. 11. Lập luận phải là phán đoán, chân lý được chứng minh một cách độc lập, không phụ thuộc vào luận điểm. LƯU Ý: Luận văn - một suy nghĩ hoặc tuyên bố cần được chứng minh là đúng. Học cách chứng minh một định lý.

Không quá khó để nắm vững nội dung của các định lý (quy tắc, công thức, đồng dạng, v.v.) được học ở trường. Để làm được điều này, cần cố gắng hiểu một cách hệ thống ý nghĩa của định lý (các quy tắc, công thức, đồng dạng, v.v.), áp dụng chúng thường xuyên nhất có thể trong việc giải quyết vấn đề, trong việc chứng minh các định lý khác. dẫn đến việc đồng hóa nội dung của chúng một cách không tự nguyện, học thuộc các công thức của chúng, việc học cách chứng minh định lý sẽ khó hơn rất nhiều, đồng thời không phải là học thuộc lòng cách chứng minh một định lý cụ thể đã được xét trong bài học. Cần đặc biệt ghi nhớ cách chứng minh, cần tự học cách chứng minh định lý Các chứng minh định lý trong sách giáo khoa cần được coi là một ví dụ (chuẩn) lập luận trong việc chứng minh một phát biểu.

Chứng minh một định lý có nghĩa là gì, một chứng minh là gì?

Bằng chứng trong nghĩa rộng- đây là một suy luận lôgic, trong quá trình đó chân lý của một suy nghĩ được chứng minh với sự trợ giúp của các điều khoản khác.

Vì vậy, khi bạn thuyết phục đồng đội về điều gì đó hoặc bảo vệ ý kiến, quan điểm của mình trong cuộc tranh cãi với anh ta, thì về cơ bản bạn phải đưa ra một bằng chứng (khéo léo hay không khéo léo là chuyện khác). Trong cuộc sống mọi lúc, mọi nơi khi giao tiếp với người khác, người ta phải chứng minh những suy nghĩ, phát biểu nào đó, phải thuyết phục về điều gì đó, tức là phải chứng minh.

Chứng minh của các định lý toán học là trương hợp đặc biệt bằng chứng nói chung. Nó khác với chứng minh trong điều kiện hàng ngày hoặc trong các ngành khoa học khác ở chỗ nó được thực hiện một cách sạch sẽ nhất có thể. suy luận(từ Từ la tinh suy luận - suy luận), tức là sự hình thành một suy nghĩ mới có thể chứng minh được (tuyên bố, phán đoán) từ những suy nghĩ đã được chứng minh hoặc chấp nhận trước đó (tiên đề) mà không cần chứng minh theo các quy tắc logic mà không có bất kỳ tham chiếu nào đến các ví dụ hoặc kinh nghiệm. Trong các ngành khoa học khác, trong các hoàn cảnh hàng ngày, chúng ta thường dùng đến các ví dụ, kinh nghiệm để chứng minh. Chúng tôi nói: "Hãy nhìn" - và đây có thể là bằng chứng. Trong toán học, một phương pháp chứng minh như vậy là không thể chấp nhận được; chẳng hạn, nó không được phép đề cập đến các mối quan hệ hiển nhiên được minh họa bằng hình vẽ. Chứng minh toán học nên là một chuỗi các hệ quả lôgic từ các tiên đề, định nghĩa, điều kiện ban đầu của định lý và các định lý đã được chứng minh trước đó đến kết luận cần thiết.

Do đó, khi chứng minh một định lý, chúng ta rút gọn nó thành những định lý đã được chứng minh trước đó, và những định lý đó, đến những định lý khác, v.v. Rõ ràng là quá trình rút gọn này phải là hữu hạn, và do đó, bất kỳ chứng minh nào cuối cùng cũng làm giảm định lý đang được chứng minh các định nghĩa ban đầu và được chấp nhận mà không có tiên đề chứng minh.

Do đó, tiên đề không chỉ phục vụ cho định nghĩa gián tiếp khái niệm cơ bản, nhưng cũng là nền tảng để chứng minh tất cả các định lý toán học. Đó là lý do tại sao trong số các tiên đề cũng có những tiên đề chỉ ra tính chất đặc biệt các khái niệm có định nghĩa logic. Vì vậy, ví dụ, các đường thẳng song song trong hình học không phải là một khái niệm cơ bản, mà là một khái niệm xác định. Tuy nhiên, một trong những tính chất của đường thẳng song song, cụ thể là h Qua một điểm không nằm trên một đường thẳng cho trước, có thể vẽ trên một mặt phẳng không quá một đường thẳng song song với một đường cho trước, chúng ta buộc phải coi nó như một tiên đề, bởi vì, như đã được người Nga vĩ đại thiết lập. Geometer N. I. Lobachevsky (1792-1856), cũng như của nhà toán học người Đức K. F. Gauss (1777-1855) và nhà toán học Hungary J. Bolyai (1802-1860), không thể chứng minh tính chất này của các đường thẳng song song trên cơ sở chỉ còn lại các tiên đề của hình học.

Mỗi bước của chứng minh bao gồm ba phần:

1) đề xuất (tiên đề, định lý, định nghĩa) trên cơ sở đó thực hiện bước chứng minh này; cơ sở này của bước chứng minh được gọi là tiền đề hay lập luận;

2) suy luận lôgic, trong đó tiền đề được áp dụng cho các điều kiện của định lý hoặc cho các hệ quả thu được trước đó;

3) hệ quả hợp lý của việc áp dụng tiền đề cho các điều kiện hoặc các hệ quả thu được trước đó.

Trong bước cuối cùng của chứng minh định lý, như một hệ quả, chúng ta có được khẳng định phải được chứng minh. Chúng tôi sẽ chỉ ra quá trình chứng minh bằng cách sử dụng định lý sau đây làm ví dụ: "Các đường chéo của một hình chữ nhật bằng nhau."

Trong định lý này ta được một hình chữ nhật (bất kỳ) tùy ý, để dễ lập luận trong quá trình chứng minh ta tiến hành như sau. Chúng tôi vẽ một hình chữ nhật được xác định rõ ràng ABCD, nhưng trong phần chứng minh, chúng tôi sẽ không sử dụng bất kỳ đặc điểm cụ thể nào của hình chữ nhật này (ví dụ: cạnh AB của nó xấp xỉ 2 lần cạnh AD, v.v.). Do đó, lý do của chúng tôi về điều này một hình chữ nhật nhất định sẽ đúng với bất kỳ hình chữ nhật nào khác, tức là chúng sẽ có nhân vật chung cho tất cả các hình chữ nhật.

Vẽ các đường chéo AC và BD. Xem xét những gì đã nhận tam giác ABC và ABD. Đối với các tam giác này, các góc ABC và BAD là góc vuông, chân AB là chung, và BC và AD là các cạnh đối diện của hình chữ nhật. Do đó, các tam giác này là đồng dư. Điều này ngụ ý rằng các cạnh AC và BD cũng bằng nhau, điều này đã được chứng minh.

Toàn bộ chứng minh của định lý này có thể được biểu diễn dưới dạng sơ đồ sau.

số bước	Parcels (đối số)	Điều kiện	Kết quả
1.	Định nghĩa: Hình chữ nhật là tứ giác có mọi góc vuông.	ABCD - hình chữ nhật	Thẳng B> - thẳng.
2.	Định lý: Các góc vuông bằng nhau.	Thẳng B - thẳng.	A = B.
3.	Định lý: Các cạnh đối của hình chữ nhật bằng nhau.	ABCD - hình chữ nhật	BC = AD
4.	Dấu hiệu đầu tiên của bằng nhau của hai tam giác.	BC = AD, AB = AB, B = A	ABC = XẤU.
5.	Định nghĩa đẳng thức tam giác.	ABC = BAD, AC và BD các cạnh tương ứng	AC = BD.

Điều khó nhất trong chứng minh là tìm một chuỗi tiền đề (tiên đề, định lý, định nghĩa), áp dụng cho các điều kiện của định lý hoặc kết quả trung gian(hậu quả) cuối cùng, bạn có thể nhận được kết quả mong muốn - vị trí đang được chứng minh.

Những quy tắc nào cần được tuân theo khi tìm kiếm dãy số này? Rõ ràng, những quy tắc này không thể ràng buộc, chúng chỉ cho biết những cách khả thi Tìm kiếm. Do đó, chúng được gọi là quy tắc heuristic hoặc đơn giản là heuristics (từ Từ Hy Lạp eureka - tìm thấy). Nhiều nhà toán học lỗi lạc như Papp (nhà toán học Hy Lạp cổ đại sống ở thế kỷ thứ 3), Blaise Pascal (1623-1662), René Descartes (1596-1650), Jacques Hadamard (1865-1963), Gyorges Poya (1887) và nhiều những người khác đã tham gia vào sự phát triển của heuristics để tìm kiếm chứng minh của các định lý và giải quyết vấn đề. Dưới đây là một số kinh nghiệm cần lưu ý:

1. Sẽ rất hữu ích khi thay thế tên của các đối tượng mà trong câu hỏi trong một định lý (bài toán), các định nghĩa hoặc tính năng của chúng.

Ví dụ, trong định lý được thảo luận ở trên, chúng ta đang nói về một hình chữ nhật, và chúng ta sử dụng định nghĩa của một hình chữ nhật để chứng minh.

2. Nếu được thì nên chia mệnh đề đang chứng minh thành các phần và chứng minh riêng từng phần.

Vì vậy, ví dụ, việc chứng minh định lý: “Nếu trong một tứ giác mà các đường chéo cắt nhau và giao điểm bị chia đôi thì tứ giác này là một hình bình hành” - có thể được chia thành hai phần: thứ nhất, chứng minh rằng một cặp cạnh đối diện Tứ giác đã cho là song song, và sau đó chứng minh rằng cặp cạnh đối diện thứ hai cũng song song.

Điều này nên được thực hiện bất cứ khi nào có thể chia khẳng định đang được chứng minh thành nhiều phần của những khẳng định đơn giản hơn.

3. Để tìm kiếm một chứng minh của một định lý, rất hữu ích khi đi từ hai hướng: từ các điều kiện của định lý đến kết luận và từ kết luận đến các điều kiện.

Ví dụ, bạn cần chứng minh định lý sau: “Nếu một dãy nào đó sao cho bất kỳ thành viên nào của nó, bắt đầu từ dãy thứ hai, là trung bình cộng của các thành viên trước và sau đó, thì dãy này là cấp số cộng».

Hãy bắt đầu từ điều kiện của định lý. Những gì được trao cho chúng tôi? Nó được đưa ra rằng mỗi thành viên của trình tự, bắt đầu từ thứ hai (chúng tôi biểu thị nó một, trong đó n³ 2), là trung bình cộng của các số hạng trước và sau, tức là

một N- 1 và một n + 1. Vậy đẳng thức sau là đúng: (1)

Bây giờ chúng ta hãy chuyển sang phần kết luận. Chúng ta cần chứng minh điều gì? Chúng ta cần chứng minh rằng dãy số này là một cấp số cộng. Dãy số nào được gọi là một cấp số cộng? Hãy nhớ định nghĩa:

a n = a n-1 + d,ở đâu n2, d- số không đổi. (2)

Chúng ta so sánh điều kiện (1) cho chúng ta với kết luận (2). Để điều kiện có dạng một kết luận, cần phải biến đổi nó như sau:

2a n = a n-1 + a n + 1, (3)

Từ đây một N- một n-1= a n + 1 - a n. (4)

Phần bên trái và bên phải của (4) biểu thị cùng một điều, cụ thể là sự khác biệt giữa hai số hạng liên tiếp trình tự nhất định. Nếu bằng nhau (4) P cho liên tiếp các giá trị 2, 3, v.v., sau đó chúng tôi nhận được: a 2 -a 1 \ u003d a 3 - a 2, sau đó a 3 - a 2 \ u003d a 4 - a 3 v.v ... Do đó, tất cả những khác biệt này đều bình đẳng với nhau, có nghĩa là sự khác biệt a p - a p-1 là một số không đổi có thể được ký hiệu bằng một chữ cái, ví dụ, chữ cái d:

a n - a n-1 = d.

Từ đây chúng tôi nhận được: a n = a n-1 + d, có nghĩa là, theo định nghĩa (2), dãy số này là một cấp số cộng, mà chúng ta phải chứng minh.

Phương pháp heuristic này cũng có thể được xây dựng như sau: người ta nên cố gắng đưa điều kiện và kết luận của định lý về gần hơn bằng cách biến đổi chúng hoặc thay thế chúng bằng hệ quả.

Một số quy tắc heuristic cụ thể hơn cũng được biết đến, được sử dụng khi chỉ tìm kiếm một số định lý. Ví dụ, một phương pháp heuristic: để chứng minh sự bằng nhau của bất kỳ đoạn nào, cần phải tìm hoặc dựng các hình có cạnh tương ứng là các đoạn này; nếu các số liệu bằng nhau, thì các đoạn tương ứng sẽ bằng nhau.

Khi nghiên cứu các định lý, người ta không chỉ phải ghi nhớ cách chứng minh của chúng mà mỗi khi phải suy nghĩ và xác lập chúng được chứng minh bằng phương pháp nào, quy tắc heuristic được tuân theo khi tìm các chứng minh này, cách họ đoán (nghĩ ra) các chứng minh này.

Trong một số trường hợp, để chứng minh các định lý, một kỹ thuật đặc biệt được sử dụng, được gọi là "chứng minh bằng mâu thuẫn" hoặc "giảm đến mức vô lý".

Bản chất của kỹ thuật này nằm ở chỗ chúng giả định tính không công bằng (sai) của kết luận của định lý này và chứng minh rằng giả định như vậy dẫn đến mâu thuẫn với điều kiện hoặc với các định lý hoặc tiên đề đã được chứng minh trước đó. Và vì bất kỳ phát biểu nào cũng có thể đúng hoặc sai (không thể là sai khác), kết quả mâu thuẫn cho thấy giả thiết rằng kết luận của định lý là sai và do đó, kết luận là đúng, do đó định lý được chứng minh.

Hãy lấy một ví dụ.

Định lý. Hai đường thẳng riêng biệt song song với một phần ba thì song song với nhau.

Cho: a || c, b || c. Chứng minh: a || b.

Hãy chứng minh định lý này bằng mâu thuẫn. Giả sử rằng kết luận của định lý là sai, tức là đường thẳng a không song song với đường thẳng b. Khi đó chúng cắt nhau tại một điểm M. Và vì theo điều kiện mỗi đường thẳng này song song với đường thẳng c nên hai đường thẳng a và b cùng đi qua điểm M, song song với cùng một đường thẳng c. Và chúng ta biết từ tiên đề về sự song song rằng thông qua một điểm bên ngoài một đường thẳng, có thể vẽ được nhiều nhất một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho. Chúng ta đã đi đến một mâu thuẫn với tiên đề. Điều này cho thấy giả thiết của chúng ta về sự không song song của các đường thẳng a và b là sai, do đó, a || b, điều này cần được chứng minh.

Một vi dụ khac.

Định lý. Trung bình cộng của hai số dương không nhỏ hơn (nghĩa là: lớn hơn hoặc bằng) trung bình hình học của các số này.

Định lý này có thể được viết như sau:

Trong đó a> 0, b> 0, (1)

Nó có thể được chứng minh cả trực tiếp và mâu thuẫn. Hãy để chúng tôi chứng minh điều đó bằng mâu thuẫn.

Để làm điều này, hãy giả sử rằng nó không chính xác, tức là trung bình cộng nhỏ hơn trung bình hình học của hai số dương:; (2)

Nhân cả hai vế của (2) với 2 và bình phương chúng, ta được: a 2 + 2ab + b 2 là số lẻ.

Thường thì điều kiện và kết luận được viết bằng các từ khác.

Ví dụ 5. Định lý từ ví dụ 1 có thể được viết dưới dạng sau:

Cho là một số tự nhiên chẵn. Sau đó là một số lẻ.

Trong trường hợp này, thay vì từ if, họ sử dụng từ let, và thay vì từ then, họ viết từ then.

Ví dụ 6. Định lý từ ví dụ 1 cũng có thể được viết dưới dạng sau:

Từ thực tế rằng nó là một số tự nhiên chẵn, theo đó số .gif "width =" 13 "height =" 15 "> ngụ ý rằng số đó là số lẻ.

Trong trường hợp này, từ if bị bỏ qua và thay vì từ then, từ entails được sử dụng.

Đôi khi các hình thức viết định lý khác cũng được sử dụng.

1.4. Trong một số trường hợp, điều kiện của định lý không được viết ra trong công thức của nó. Điều này xảy ra khi văn bản hiểu rõ điều kiện này có thể xảy ra ở dạng nào.

Ví dụ 8. Bạn biết định lý: các trung tuyến của một tam giác cắt nhau tại một điểm.

TẠI hình thức logicđịnh lý này có thể được viết như thế này:

Nếu tất cả các trung tuyến được vẽ trong bất kỳ tam giác nào, thì các trung tuyến này cắt nhau tại một điểm.

Ví dụ 9. Định lý về tính vô cực của tập hợp các số nguyên tố có thể được viết dưới dạng:

Nếu là tập hợp tất cả các số nguyên tố thì nó là vô hạn.

Để thiết lập mối liên hệ giữa các định lý trong toán học, người ta sử dụng ngôn ngữ đặc biệt sẽ được thảo luận trong phần sau của chương này.

câu hỏi kiểm tra

1. Bạn biết những ví dụ về quan sát nào trong toán học?

2. Bạn biết những tiên đề hình học nào?

3. Dạng ghi của định lý nào được gọi là dạng lôgic của định lý?

4. Thế nào được gọi là điều kiện của định lý?

5. Thế nào được gọi là kết luận của một định lý?

6. Em biết những dạng viết định lí nào?

Nhiệm vụ và bài tập

1. Bạn có thể đưa ra những giả định nào bằng cách quan sát:

a) tích của hai số tự nhiên liền kề;

b) tổng của hai số tự nhiên liền kề;

c) tổng của ba số tự nhiên liên tiếp;

d) tổng của ba số lẻ;

e) các chữ số cuối cùng trong ký hiệu thập phân số .gif "width =" 13 height = 15 "height =" 15 ">;

f) số bộ phận mà mặt phẳng bị chia cắt bởi các đường thẳng khác nhau đi qua một điểm;

g) số phần mà mặt phẳng được chia thành các đoạn thẳng khác nhau, trong đó các đoạn thẳng song song và cắt nhau .gif "width =" 13 "height =" 20 ">. gif" height = "20"> số có dạng, ở đâu là số tự nhiên;

d) tổng của hai số vô tỉ?

3. Bạn có thể đặt giả thiết gì khi quan sát tâm của các đường tròn ngoại tiếp tam giác tù?

4. Viết định lý dưới dạng logic:

a) số lượng các góc bên trong lồi https://pandia.ru/text/80/293/images/image017_1.gif "width =" 81 height = 24 "height =" 24 ">;

b) hai hình chữ nhật bất kỳ Tam giác cân giống;

c) bình đẳng giữ cho mọi số nguyên và;

d) chiều cao của một tam giác cân, được vẽ bằng đáy của nó, chia đôi góc ở đỉnh của tam giác này;

e) với mọi số không âm và;

f) Tổng hai góc đối diện của tứ giác nội tiếp đường tròn là 180;

g) số không phải là số hữu tỉ;

h) tất cả các số nguyên tố lớn hơn 10 đều là số lẻ;

i) các đường chéo của một hình vuông bằng nhau, vuông góc và phân giác tại giao điểm;

j) từ tất cả các tứ giác nội tiếp vòng tròn đã cho, hình vuông có khu vực rộng lớn;

k) có một số nguyên tố chẵn;

l) không có số nguyên tố nào có thể biểu diễn bằng tổng của hai số tự nhiên lẻ khác nhau;

m) tổng các lập phương của số tự nhiên đầu tiên là bình phương của một số tự nhiên nào đó.

5. * Viết lại mỗi định lý đã cho trong bài toán trước dưới nhiều dạng khác nhau.

Câu trả lời và hướng dẫn

Nhiệm vụ 1. Bạn có thể đưa ra những giả định nào bằng cách quan sát:

a) tích của hai số tự nhiên liền kề;

b) tổng của hai số tự nhiên liền kề;

c) tổng của ba số tự nhiên liên tiếp;

d) tổng của ba số lẻ;

e)chữ số cuối cùng trong ký hiệu thập phânvới tự nhiên;

e) https://pandia.ru/text/80/293/images/image011_0.gif "width =" 9 height = 20 "height =" 20 "> số bộ phận mà máy bay được chia thành https://pandia.ru/text/80/293/images/image014_1.gif "width =" 17 "height =" 15 "> các đường thẳng song song và cắt nhau.gif "width =" 13 height = 20 "height =" 20 "> số bộ phận mà máy bay được chia thành https://pandia.ru/text/80/293/images/image011_0.gif "height =" 20 src = "> chỉ có thể nhận bốn chữ số:

0, 1, 5, 6; f) https://pandia.ru/text/80/293/images/image011_0.gif "height =" 20 src = ">. gif" width = "13" height = "20 src =">. gif "width = "13" height = "15"> -gon bằng;

b) Hai tam giác cân vuông góc bất kỳ đồng dạng;

c) bình đẳnggiữ cho bất kỳ số nguyên nàovà;

Đại số định kỳ phải chứng minh các định lý. Định lý được chứng minh sẽ giúp bạn trong việc giải quyết. Vì vậy, điều cực kỳ quan trọng là không nên học thuộc lòng cách chứng minh một cách máy móc mà phải đi sâu tìm hiểu bản chất của định lý, để được hướng dẫn thực hành sau này.

Đầu tiên hãy vẽ một hình vẽ rõ ràng và gọn gàng của định lý. Đánh dấu vào nó với các chữ cái Latinh những gì bạn đã biết. Viết ra tất cả các giá trị đã biết trong cột "Đã cho". Tiếp theo, trong cột "Chứng minh", hãy hình thành điều cần chứng minh. Bây giờ chúng ta có thể bắt đầu bằng chứng. Đó là một chuỗi các suy nghĩ logic, là kết quả của việc thể hiện sự thật của bất kỳ tuyên bố nào. Khi chứng minh một định lý, có thể (và đôi khi thậm chí cần thiết) sử dụng các quy định, tiên đề khác nhau, bằng phép mâu thuẫn, và thậm chí các định lý khác đã được chứng minh trước đó.

Vì vậy, một bằng chứng là một chuỗi các hành động, kết quả là bạn sẽ nhận được một điều không thể phủ nhận. Khó khăn lớn nhất trong việc chứng minh một định lý là việc tìm kiếm chính xác chuỗi suy luận logic sẽ dẫn đến việc tìm kiếm những gì được yêu cầu chứng minh.

Chia định lý thành các phần và chứng minh riêng biệt, cuối cùng bạn sẽ đi đến kết quả mong muốn. Sẽ rất hữu ích nếu bạn thành thạo kỹ năng “chứng minh bằng mâu thuẫn”, trong một số trường hợp, đây là cách dễ nhất để chứng minh một định lý theo cách này. Những thứ kia. bắt đầu chứng minh với các từ "giả sử điều ngược lại", và dần dần chứng minh rằng điều này không thể được. Kết thúc bằng chứng bằng các từ “do đó, tuyên bố ban đầu là đúng. Định lý đã được chứng minh.

François Việt - nổi tiếng Nhà toán học Pháp. Định lý Vieta cho phép bạn giải phương trình bậc hai một cách đơn giản, nhờ đó tiết kiệm thời gian tính toán. Nhưng để hiểu rõ hơn bản chất của định lý, chúng ta nên đi sâu vào bản chất của công thức và chứng minh nó.

Định lý Vieta

Bản chất của kỹ thuật này là tìm ra gốc rễ mà không cần sự trợ giúp của người phân biệt. Đối với phương trình có dạng x2 + bx + c = 0, trong đó có hai nghiệm thực khác nhau thì hai mệnh đề là đúng.

Tuyên bố đầu tiên nói rằng tổng của các gốc phương trình đã cho bằng giá trị của hệ số tại biến x (trong trường hợp này là b), nhưng với dấu hiệu ngược lại. Trực quan, nó giống như sau: x1 + x2 = −b.

Câu lệnh thứ hai không còn được kết nối với tổng, mà với tích của hai căn giống nhau. Sản phẩm này tương đương với một hệ số tự do, tức là c. Hoặc, x1 * x2 = c. Cả hai ví dụ này đều được giải quyết trong hệ thống.

Định lý Vieta đơn giản hóa rất nhiều lời giải, nhưng có một hạn chế. Phương trình bậc hai có nghiệm có thể tìm được nghiệm bằng kỹ thuật này phải được rút gọn. Trong phương trình trên cho hệ số a, hệ số trước x2 là bằng một. Bất kỳ phương trình nào cũng có thể được rút gọn về dạng tương tự bằng cách chia biểu thức cho hệ số đầu tiên, nhưng phép toán này không phải lúc nào cũng hữu tỉ.

Chứng minh định lý

Đầu tiên bạn cần nhớ rằng, theo dân gian, tục lệ đi tìm cội nguồn. phương trình bậc hai. Căn bậc nhất và căn bậc hai được tìm thấy là: x1 = (-b-√D) / 2, x2 = (-b + √D) / 2. Nói chung là chia hết cho 2a, nhưng, như đã đề cập, định lý chỉ có thể được áp dụng khi a = 1.

Người ta biết từ định lý Vieta rằng tổng của các căn bằng hệ số thứ hai với một dấu trừ. Điều này có nghĩa là x1 + x2 = (-b-√D) / 2 + (-b + √D) / 2 = −2b / 2 = −b.

Điều này cũng đúng với tích của các nghiệm chưa biết: x1 * x2 = (-b-√D) / 2 * (-b + √D) / 2 = (b2-D) / 4. Lần lượt, D = b2-4c (một lần nữa, với a = 1). Kết quả là: x1 * x2 = (b2- b2) / 4 + c = c.

Từ cách chứng minh đơn giản trên, chỉ có thể rút ra một kết luận: Định lý Vieta hoàn toàn được khẳng định.

Công thức thứ hai và chứng minh

Định lý Vieta có cách hiểu khác. Nói chính xác hơn, nó không phải là một diễn giải, mà là một cách diễn đạt. Thực tế là nếu các điều kiện tương tự được đáp ứng như trong trường hợp đầu tiên: có hai nghiệm nguyên khác nhau, thì định lý có thể được viết theo một công thức khác.

Đẳng thức này có dạng như sau: x2 + bx + c = (x - x1) (x - x2). Nếu hàm số P (x) cắt nhau tại hai điểm x1 và x2 thì nó có thể viết là P (x) = (x - x1) (x - x2) * R (x). Trong trường hợp P có bậc hai, và đây chính xác là biểu thức ban đầu trông như thế nào, thì R là một số nguyên tố, cụ thể là 1. Phát biểu này đúng vì lý do nếu không thì đẳng thức sẽ không được giữ nguyên. Hệ số x2 khi mở ngoặc không được nhiều hơn một và biểu thức phải là hình vuông.