Chứng Minh Một Số định Lý Hình Học Nổi Tiếng Bằng Kiến Thức THCS ...

Có thể bạn quan tâm

Đăng nhập / Đăng ký

Trang chủ
Translate
Thành viên
TrườngKếtNối
Thơ JB.Nguyễn Hùng
edu.viettel.vn
WebTrường
Liên hệ

Đăng nhập

Tên truy nhập Mật khẩu Ghi nhớ Quên mật khẩu ĐK thành viên

THÔNG TIN TRI THỨC

”Lời Ngài là ngọn đèn soi con bước,là Ánh sáng chỉ đường con đi” *NGUYỄN HÙNG * Gv Phước Tiến B Bác Ái Ninh Thuận - Thích học hỏi khám phá nghiên cứu và sáng tạo * KIẾN THỨC KHÔNG CỦA RIÊNG AI * Rất vui khi cùng quý vị chia sẻ, cùng đồng hành khám phá học hỏi và trao đổi - mong được sự đóng góp xây dựng từ quý vị Xin Chúc Sức Khoẻ - Hạnh phúc và Thành Đạt. Web:17-10-2009 Admin:0976.087.247

MENU TÀI NGUYÊN

Chia sẻ Tài liệu và tiện ích
VĂN BẢN- All Mẫu VB
Hoạt động đoàn thể
Kiến thức máy tính
Bạn giỏi - Tôi hay
WORD
EXCEL
POWERPOINT
ACCESS
Internet
Học Tập và Thiết kế
mp3 video
Hồ sơ lớp 5
Giải trí
Kiến thức gia đình
GÓP Ý
Thơ Nguyễn Hùng
Dành cho GV và HS
Phần mềm GD

Giáo án tiểu học
Nguyễn Hung2019
Đề thi tiểu học
Up Tài liệu JB Nguyễn Hùng
Sáng kiến kinh nghiệm
Bồi dưỡng HS giỏi
Sổ say - bí quyết
Hướng dẫn tập viết chữ đẹp
Tải Đáp án,đề thi ĐẠI HỌC - CAO ĐẲNG Từ 2007-2011
Đề thi thử ĐH CĐ TNTHPT

Mẫu kế hoạch
Văn bản pháp luật
Mẫu đánh giá xếp loại - đơn
Văn bản Sở GD
Văn bản của Bộ GD
Văn bản của tỉnh Ninh Thuận
1 số biểu mẫu văn bản
HD VBản( all biểu mẫu)
All Mẫu VB Vinadoc
Download Mẫu văn bản
Tra cuu VB phap luat
Thư Viện Pháp Luật
VB Đoàn Đội Hội ....

CTrình lễ, Hội thi,Cám ơn, tiểu phẩm
Bài hát trò chơi sinh hoạt
Các dạng mật thư
Lời bài hát thiếu nhi
Kỹ năng liều trại

Bán ý tưởng
All p.mềm máy tính
Tải phần mềm
Lắp ráp máy tính từ A-Z (hình ảnh)
Phần Mềm ghost trên winxp
Hướng dẫn đổ mực máy in
Kết Nối Một Máy In Cho Nhiều Máy Tính
Key - crack -driver
Cài đặt lắp ráp ghost
Côngcụ tạo Web thợp
Máy Khởi động nhanh
Tìm cracks, serialsl (Craagle 4.0 Final )
bẻ khóa winxp
Driver máy IN và all DRIVER

Hình ảnh chia sẻ NH
Giúp đưa code vào web
Khôi phục menu ngang - khối chính chức năng bị ẩn
Động não 64=65

Bài soạn
Bài viết
Bỏ khoảng trắng
Tắt chức năng trong Word
Chuyển PDF sang Word

Bài soạn
Bài viết
Tách tên-họ-lót

Bài soạn
Bài viết
Chuyển file PowerPoint thành file video
Tạo password cho PowerPoint
Tao tieng noi và chuyển đổi

Học ACCESS toàn tập
Giáo trình ACCESS
Giáo trình tự học VISUAL BASIC 6
HD học và thi lấy B

Download Manager 6 có Key
Tạo máy ảo-cđặt HĐH
Chia nhỏ và ghép nối file
Tạo upload file đuôi.html,php,css,js
Địa chỉ web bogl hay
Địa chỉ học hành
HOSTING MIỄN PHÍ TỐT NHẤT
Kiểm tra web(công cụ SEO)

Cẩm nang học tập
Dạy &Học Anh văn(video)
Photoshop hiệu ứng chữ
photoshop online
Hd tạo Menu Flash
Tạo avatar với Photoshop

Nhạc Thiếu nhi
Các phần mềm học Ngoại ngữ
Cắt ghép âm thanh
PMềmPhotoDexProShowGold4.0
DFX Media player (âm thanh)
Xem-Tải video chọn lọc
Tải mp3 lời hay ý đẹp

HK I cập nhật 25/3/2011
HK II cập nhật 25/3/2011
Lịch báo giảng SCN

Thơ về thầy cô
Trạng Quỳnh
Truyện Kiều toàn tập
Thơ Nguyễn Bính
GAMES(Luyengame)

Sưu tầm tên bé Trai
Lễ gia Tiên(cưới hỏi tang..)
Gói bánh đòn bánh tét
Ptriển của bé-Ẩm thực
y-tuong-trang-tri-dam-cuoi

Tiêu cực trong giáo dục
Web Nguyễn Hùng

Tài nguyên dạy học

Hỗ trợ trực tuyến

(Nguyễn Hùng)

Cập nhật mỗi ngày

Sở GDNinh Thuận Bộ giáo dục VTPT Ninh Thuận Thông tin công nghệ Thông tin 2010 Trường Phước Tiến B chia sẻ TÀI LIỆU Nguyễn Hùng Download EasyVN.NET Vườn thơ JBNH Thư viện Nguyễn Hùng HĐĐỘITƯ Học tiếng anh (dễ học) Tra thẻ BH Rút ngắn địa chỉ Kể chuyện Thơ Nguyễn Hùng Góc HT Minh Hiền Chuyển Font All Giáo án free counters

Thành viên trực tuyến

4 khách và 0 thành viên

Thông điệp tri ân

Thanks for sharing this ...

Спасибо за информацию...

Báo giá rất tận tình bên mình làm bên mảng...

Rất hữu ích cho người sử dụng như bên mình...

bên mình chuyên lắp đặt luoi an toan ban cong...

nếu ko vệ sinh điều hòa thì bẩn kinh khủng,rồi...

cửa thép vân gỗ ngày càng được nhiều người sử...

cho mình hỏi là có cách chứng minh đường thẳng...

Cơ sở BẢO LỘC chuyên sản xuất , liên...

– Game bài triệu đô. Đẳng cấp tạo nên...

Cho em xin từ số 6 đến số 9 đi...

Sao em chỉ xem được đến số 5 vậy ạ...

FDI India / FDI Finance Looking for foreign Investors in...

phim Tầng lớp itaewon xem phim này rất hay ...

Ngâm thơ:JB. Nguyễn Hùng

BÀI HÁT CHỌN

Liên kết khác

Semaphore morse2bDOI2020

2.ẤN-HOC DỊCH MORSE

Giúp bạn tìm kiếm

1-Nghệ thuật sống2-Từ điển Y Khoa3-Y Bác sĩ gia đình 4-Video hài 5-Góc giải trí6-cuyểnTiếq Việt 8-Toán lớp 1 đến lớp 8 9- DIR Máy tính 10- Cộng đồng thông tin 11- Bản đồ các tỉnh 12- Vietbando 13- Tạo ảnh động 14- Xinh xinh 15- Bệnh viện tin học 16-PCguide 17-Hình ảnh vui 18- Ảnh số Nguyễn Hùng 19-Kết quả sổ xố 3 miền 20- Học HTML BASIX 21-ghép hình ảnh động 22- THPT Nguyễn Du 23- Thư viện sách 24- Từ điển Danh Ngôn 25- Xem ti vi hài 26- Phong Thủy VietAA 27- Góc Thầy Trò 28- Code chữ nhiều màu 29- Upload ảnh Lấy link 30- Chỉ tay- xem tướng 31- Đăng tin 32-Ngân hàng mọi nhà 33- Trường xưa 34-seqap.edu(Giáo dục) 35-Bạn là baonhiêu? 36.T.Kiều-Ngàynàynămxưa 37.Vua-Danh tài-Đồ hoạ 38.Vườntrẻ-KT gđình 39. Dbạ web cônggiáo 40.Mp3karaoketruyệnGSinh 41.petalia Giải trí và chia sẻ 42.Dngôn,nhânvật,skiện 43.Đường Hy Vọng 44.Mẹ và bé 45. Diễn đàn trẻ thơ 46. Tạo thiệp điện tử 47. Thiệp Việt 48.Kiến thức Kinh Doanh 49.Đắc nhân tâm 50.Trò chơi Tiếng Anh 51. Tạo ảnh nghệ thuật 52. Học tiếng Anh6789 53.Sách online,Truyện,hài 54.Điện lực Ninh Thuận 55 doimoigiaoduc 56 Tìm lời bài hát 57.Tỉnh đoàn Ninh Thuận 58. Phòng GD Bác ÁI 60. Rút gọn link / 61.All Kiến thức-kỹ năng/ 63- Cửa sổ công nghệ64.Bồi dưỡng văn hóa 65 Học từ xa Khóa học

Thông tin tri thức

Thống kê

5139832 truy cập (chi tiết) 287 trong hôm nay

12437586 lượt xem 389 trong hôm nay

1796 thành viên

Logo Liên kết

CLB TPT Bác Ái Hướng về Biển Đảo

Vũ điệu

20-11-2014

HKPĐ 2014-2015

CLB TPT 2015

Hội chợ Xuân 2015

Trung thu năm 2015

CLB và Phước Tiến B

GIAO LƯU 4-2015

Thể dụcTrường học

facebook JB

Điều tra ý kiến

Bạn truy cập trang này thông qua? Tình cờ Người khác giới thiệu Tìm kiếm theo từ khóa Trang ưa thích từ lâu Thông qua trang khác

Ảnh ngẫu nhiên

Tinh_Khuc_Hoi_Ngo_Nhac_Xuan_Thao_Tho_JB_Nguyen_Hung.mp3

Sắp xếp dữ liệu

Mới nhất

Tải nhiều nhất

CHÚC QUÝ VỊ NĂM MỚI THÀNH CÔNG MỚI

1. Chúc Xuân MỚI phát tài phát lộc/ Sức khoẻ có dư, công danh tấn tới/ Tình duyên phơi phới, hạnh phúc tràn đầy/ một năm an bình có nhiều may mắn. 2. JB.Nguyễn Hùng kính chúc Quý vị cùng gia quyến một năm mới hạnh phúc, an khang, thịnh vượng! 3.Chúc bạn luôn: Đong cho đầy hạnh phúc - Gói cho trọn lộc tài - Giữ cho mãi an khang - Thắt cho chặt phú quý. 4. Năm mới thái độ yêu đời mới!- Chúc các bạn nhiều lý do để vui vẻ năm tới!- Chúc bạn luôn vui vẻ, bình an và hạnh phúc trong năm mới! 5. Mừng XUÂN MỚI phát tài phát lộc Tiền vô xồng xộc, tiền ra từ từ/ Sức khoẻ có dư, công danh tấn tới/ Tình duyên phơi phới, hạnh phúc thăng hoa/ Xin chúc mọi nhà một năm Đại Phát. 6.Vài lời cung chúc tân niên mới. Vạn sự an khang vạn sự lành.Vạn sự như ý, tỉ sự như mơ, triệu triệu bất ngờ, không chờ cũng đến. 7.Xuân này hơn hẳn mấy xuân qua. Phúc lộc đưa nhau đến từng nhà. 8. Mai vàng nở, chim én về, mùa xuân lại đến. Chúc một năm mới: nghìn sự như ý, vạn sự như mơ, triệu sự bất ngờ, tỷ lần hạnh phúc. 9.Chúc mừng năm mới. sức khỏe dẻo dai, công việc thuận lợi, tiến tới thành công. 10.Chúc bạn luôn: Đong cho đầy hạnh phúc – Gói cho trọn lộc tài – Giữ cho mãi an khang – Thắt cho chặt phú quý. 11. Chúc mọi người vui như Chim Sẻ, khỏe như Đại Bàng, giàu sang như chim Phụng, làm lụng như chim Sâu, sống lâu như Đà Điểu. 12. Cung chúc tân niên một chữ nhàn. Chúc mừng gia quyến đặng bình an. Tân niên đem lại niềm hạnh phúc. Xuân đến rồi hưởng trọn niềm vui. 13. Cung chúc tân niên, Sức khỏe vô biên, Thành công liên miên, Hạnh phúc triền miên, Túi luôn đầy tiền, Sung sướng như tiên. Chúc mừng năm mới! 14.Kính chúc mọi người một năm mới tràn đầy niềm vui và hạnh phúc: Vui trong sức khoẻ, trẻ trong tâm hồn, khôn trong lý tưởng và trưởng thành mọi lĩnh vực 15. Năm mới chúc nhau sức khỏe nhiều.Gia đình hạnh phúc bè bạn quý. Thanh thản vui chơi mọi buổi chiều. 16. Nguyễn Hùng Xin Chúc Quý vị Sức Khoẻ Bình An Hạn Phúc và Thành Đạt. 17. Xuân đến hy vọng – Ấm no mọi nhà – Kính chúc ông bà – Sống lâu trăm tuổi – Kính chúc ba mẹ – Sức khoẻ dồi dào – Đôi lứa yêu nhau – Càng thêm nồng ấm – Các em bé nhỏ – Học giỏi chăm ngoan – Chúc Tết mọi người – Năm mới hoan hỉ – Gặp nhiều niềm vui. 18. Năm mới Tết đến – Rước hên vào nhà – Quà cáp bao la – Mọi nhà no đủ – Vàng bạc đầy tủ – Gia chủ phát tài – Già trẻ gái trai – Sum vầy hạnh phúc – Cầu tài chúc phúc – Lộc đến quanh năm – An khang thịnh vượng. 19. Đong cho đầy Hạnh phúc. Gói cho trọn Lộc tài. Giữ cho mãi An Khang. Thắt cho chặt Phú quý. Cùng chúc nhau Như ý, Hứng cho tròn An Khang, Chúc năm mới Bình An. Cả nhà đều Sung túc. 20. Mùa xuân xin chúc - Khúc ca an bình - Năm mới phát tài - Vạn sự như ý - Già trẻ lớn bé - Đầy ắp tiếng cười - Trên mặt ngời ngời - Tràn đầy hạnh phúc 21. JB.NGUYỄN HÙNG KÍNH CÁM ƠN QUÝ VỊ ĐÃ GHÉ THĂM CHIA SẺ VÀ CHÚC TẾT NHÂN DỊP XUÂNVỀ. XIN ƠN TRÊN LUÔN BAN CHO QUÝ VỊ NĂM MỚI SỨC KHOẺ VÀ GẶT HÁI THÀNH CÔNG TRÊN MỌI VIỆC MÌNH LÀM VÀ ĐẦU TƯ Gốc > Thông tin Thư viện sách > Động não và Hài hước >

Tạo bài viết mới Chứng minh một số định lý Hình Học nổi tiếng bằng kiến thức THCS. Nguồn Mathvn

1. Đường thẳng Ơ-le (Euler) Trong một tam giác, trực tâm, trọng tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác nằm trên một đường thẳng (gọi là đường thẳng Ơ-le). Chứng minh: Các điểm được đặt tên như hình vẽ:

Ta có: $\Delta HAB\,\sim \,\Delta OMN\,(g.g)$ $\Rightarrow \frac{{OM}}{{AH}} = \frac{1}{2}$ Cơ mà $\frac{{GM}}{{GA}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{OM}}{{AH}} = \frac{{GM}}{{GA}}$ Lại có: $\widehat{HAG} = \widehat{GMO}$ $\widehat{AGH} = \widehat{MGO} \Rightarrow \overline {H,G,O}$ 2. Đường tròn Ơ-le (Euler) Trong một tam giác, chân 3 đường cao, 3 trung điểm 3 cạnh và 3 trung điểm các đoạn thẳng nối trực tâm đến đỉnh cùng nằm trên một đường tròn. Chứng minh: Đặt tên các điểm như hình vẽ.

Để ý thấy $LGFP$ là hình chữ nhật nên nội tiếp đường tròn có tâm là trung điểm của $LF$ và $GP$ . $(1)$ Tương tự: $GIPD$ là hình chữ nhật nên nội tiếp đường tròn có tâm là trung điểm của $ID$ và $GP$ $(2)$ $PEGJ$ là hình chữ nhật nên nội tiếp đường tròn có tâm là trung điểm của $EJ$ và $PG$ $(3)$ $EFJL$ là hình chữ nhật nên nội tiếp đường tròn có tâm là trung điểm của $LF$ và $EJ$ $(4)$ Từ $(1),(2),(3),(4)$ suy ra $9$ điểm $D,E,F,G,I,J,L,K,P$ nằm trên cùng $1$ đường tròn. (đường tròn 9 điểm - đường tròn Ơ le) 3. Hệ thức Ơ-le (Euler) Gọi $(O;R)$ và $(I;r)$ lần lượt là đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác $ABC$ . Đặt $OI = d$ . Khi đó: ${d^2} = {R^2} - 2Rr$ Chứng minh: Các điểm được xác định như hình vẽ.

Sử dụng tính chất góc ngoài để ý thấy $\Delta DIC$ cân tại $D$ . $\Rightarrow DI = DC\,(1)$ Ta thấy $\Delta AHI\,\sim \,\Delta GCD\,\,\,(g.g)$ $\Rightarrow \frac{{AI}}{{GD}} = \frac{{HI}}{{CD}} \Rightarrow AI.DC = 2Rr\,\,\,(2)$ Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $AI.DC = 2Rr$ $(3)$ Xét tam giác đồng dạng ta lại được: $AI.DI =EI.FI = \left({R - d} \right)\left({R + d} \right){\rm{ }} = {R^2} - {d^2}\,\,(4)$ Từ $(3)$ và $(4)$ suy ra: ${d^2} = {R^2} - 2Rr$ 4. Định lý Lyness Tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ . Đường tròn $(O_1)$ tiếp xúc trong với $(O)$ tại $P$ , và tiếp xúc với $AB,AC$ lần lượt tại $M,N$ . Khi đó: $MN$ đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ . Chứng minh: Gọi $K$ là điểm chính giữa cung nhỏ $AC$ Gọi $H$ là giao điểm của $MN$ và phân giác góc $C$ . Hình vẽ như sau:

$\left\{ \begin{array}{l}OK \bot AC \\ {O_1}N \bot AC \\ \end{array} \right. \Rightarrow OK//{O_1}N\,\,\,(1)$ mà $\widehat{{O_1}NP} = \widehat{OKP}\,\,\,(2)\,( = \widehat{OPN})$ Từ (1) và (2) suy ra: $\overline {P,N,K} \,$ Ta có $\widehat{HPC} = \frac{1}{2}\widehat{BPC} = \frac{1}{2}({180^0} - \widehat{BAC})\,\,(3)$ mà $\widehat{ANH} = \frac{1}{2}({180^0} - \widehat{BAC})\,\,(4)\,$ do $\,\Delta AMN$ cân. Từ (3) và (4) suy ra $PHNC$ nội tiếp.

$\Rightarrow \widehat{{C_1}} = \widehat{{P_1}} = \widehat{HPC} - \widehat{KPC} = \left( {{{90}^0} - \frac{{\widehat{BAC}}}{2}} \right) - \frac{{\widehat{ABC}}}{2} = \frac{{\widehat{ACB}}}{2}$ Suy ra HC là phân giác của $\widehat{ACB}$ Tương tự: HB là phân giác của $\widehat{ABC}$ Từ đó H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. (đpcm) 5. Định lý Van Oben Tam giác $ABC$ có $AA$ ', $BB$ ', $CC$ ' đồng quy tại $K$ thì: $\frac{{AK}}{{KA'}} = \frac{{AB'}}{{B'C}} + \frac{{AC'}}{{C'B}}$ Chứng minh: Từ A kẻ đường thẳng song song với BC cắt BK và CK lần lượt tại E và D (như hình vẽ)

Áp dụng định lý Talet:

$\frac{{AK}}{{AK'}} = \frac{{AD}}{{A'C}} = \frac{{AE}}{{BA'}} = \frac{{DA + AE}}{{BC}} = \frac{{AD}}{{BC}} + \frac{{AE}}{{BC}} = \frac{{AB'}}{{B'C}} + \frac{{AC'}}{{C'B}}$ Các trường hợp đặc biệt: a) Nếu AA’, BB’ CC’ là các đường trung tuyến thì: $\frac{{AK}}{{KA'}} = \frac{{AB'}}{{B'C}} + \frac{{AC'}}{{C'B}} = 2$ (K khi đó gọi là trọng tâm của tam giác ABC có khoảng cách đến A bằng $2/3$ đường trung tuyến) b) Nếu AA’, BB’, CC’ là các đường phân giác trong nên: $\frac{{AB'}}{{B'C}} = \frac{c}{a};\,\frac{{AC'}}{{C'B}} = \frac{b}{a};\,\frac{{AK}}{{KA'}} = \frac{{b + c}}{a}$

( K khi đó gọi là tâm đường tròn nội tiếp tam giác) c) Nếu A’, B’, C’ là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp với các cạnh của tam giác, nên: $\frac{{AB'}}{{B'C}} = \frac{{p - a}}{{p - c}};\,\frac{{A'C}}{{C'B}} = \frac{{p - a}}{{p - c}}$

$\Rightarrow \frac{{AK}}{{KA'}} = \frac{{p - a}}{{p - c}} + \frac{{p - a}}{{p - b}} = \frac{{(p - a)(2p - b - c)}}{{(p - b)(p - c)}} = \frac{{(p - a)a}}{{(p - b)(p - c)}}$ (với p là nửa chu vi) (Khi đó K gọi là điểm Gergonne) d) Nếu A’, B’, C’ lần lượt là tiếp điểm của các đường tròn bàng tiếp góc A, góc B, góc C với các cạnh BC, CA, AB nên: $\frac{{AB'}}{{B'C}} = \frac{{p - c}}{{p - a}};\,\frac{{AC'}}{{C'B}} = \frac{{p - b}}{{p - a}}$

$\Rightarrow \frac{{AK}}{{KA'}} = \frac{{p - c}}{{p - a}} + \frac{{p - b}}{{p - a}} = \frac{a}{{p - a}}$ (Khi đó K gọi là điểm Nagel) 6. Định lý hàm số cosin Cho $\Delta ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn bán kính $R$ , có $AB = c, AC = b, BC = a$ . Khi ấy thì: ${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A$ Chứng minh:

Kẻ đường cao $BH$ , sử dụng định lý Pitago ta được:

$\begin{array}{l} {b^2} + {c^2} = {(AH + HC)^2} + A{H^2} + B{H^2} = H{C^2} + B{H^2} + 2AH.(AH + HC)\\ = {a^2} + 2bc.\cos A \Rightarrow {a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A \end{array}$ 7. Định lý hàm số sin. Cho $\Delta ABC$ nhọn nội tiếp $(O;R)$ có $AB = c, AC = b, BC = a$ . Khi đó thì: $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R$ (do THCS chỉ đề cập đến tỉ số lượng giác góc nhọn) Chứng minh: Kẻ thêm các đoạn thẳng như hình vẽ:

Ta thấy: $AH = c.\sin B = b.\sin C \Rightarrow \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}$ tương tự: $\Rightarrow \frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}\,\,(1)$ cơ mà: $\sin B = \sin D = \frac{b}{{2R}} \Rightarrow \frac{b}{{\sin B}} = 2R\,\,\,(2)$ Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra đpcm. 8. Bất đẳng thức Ptolemy Cho tứ giác lồi $ABCD$ bất kỳ, ta có bất đẳng thức sau: $AB.CD + BC.AD \ge AC.BD$ . Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow ABCD$ là tứ giác nội tiếp. Chứng minh:

Trong tứ giác $ABCD$ , lấy điểm $E$ sao cho $\widehat{EAB}=\widehat{DAC};\widehat{EBA}=\widehat {ACD}$ $\Rightarrow \widehat{BAC}=\widehat{EAD}$ . Khi đó $\Delta ABE \backsim \Delta ACD$ nên $\frac{AB}{AC}=\dfrac{BE}{CD}=\dfrac{AE}{AD} \Rightarrow AB.CD=AC.BE$ và $\Delta AED \backsim \Delta ABC$ . Suy ra $\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{AD}{BC}\Rightarrow AD.BC=AC.ED$ Do đó $AB.CD+AD.BC=AC.(BE+ED)\ge AC.BD$ . Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow E\in BD \Leftrightarrow \widehat{ABD}=\widehat{ABE}=\widehat{ACD} \Leftrightarrow ABCD$ là tứ giác nội tiếp. Từ đó suy ra định lý Ptolemy: Tứ giác lồi $ABCD$ là tứ giác nội tiếp $\Leftrightarrow AB.CD + BC.AD = AC.BD$ 9. Định lý Steiner-Lehmus: Tam giác có 2 đường phân giác trong bằng nhau là tam giác cân. Chứng minh: (R.W.Hogg-1982)

Giả sử 2 đường phân giác trong BN, CM bằng nhau Dựng hình bình hành BMDN và kí hiệu các góc $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ như hình vẽ Tam giác CMD cân tại M nên $\alpha +\gamma =\beta +\delta$ (1) Nếu $\alpha > \beta$ thì xét hai tam giác BCN và CBM có BC chung, $BN=CM,\widehat{CBN}>\widehat{BCM}\Rightarrow CN>BM$ mà $BM=ND\Rightarrow \gamma >\delta \Rightarrow \alpha +\gamma >\beta +\delta$ , mâu thuẫn với (1) Tương tự, không thể xảy ra trường hợp $\alpha <\beta$ suy ra $\alpha=\beta$ , đpcm ---------------------------- Chú dẫn lịch sử: Năm 1840, Lehmus gửi cho Steiner bài toán trên và yêu cầu CM bằng hình học thuần túy, do đó nó mang tên Steiner-Lehmus Trong lời giải của mình , Steiner sử dụng công thức $l_a^2=bc\left ( 1-\frac{a^2}{(b+c)^2} \right )$ sau khi biến đổi đẳng thức $l_b=l_c$ , ta có $a(a+b+c)((a+b+c)(a^2+2bc)+2abc)(b-c)=0$ , suy ra đpcm Tuy nhiên chúng ta thấy ngay rằng cách CM của Steiner không hề mang tính hình học mà sử dụng biến đổi đại số

Nếu các bạn muốn tìm hiểu thêm thì xem trong quyển Tuyển chọn theo chuyên đề THTT, quyển 3, trang 62-65 10. Bất đẳng thức Erdös-Mordell Cho tam giác $ABC$ và điểm $M$ nằm trong tam giác ( $M$ không nằm trên biên của tam giác). Gọi $d_a, d_b, d_c$ là khoảng cách từ $M$ đến các cạnh tam giác; $R_a,R_b,R_c$ là khoảng cách từ $M$ đến các đỉnh tam giác. Khi đó ta có bất đẳng thức sau $R_a+R_b+R_c\ge 2\left(d_a+d_b+d_c\right)$ Chứng minh:

Gọi $A_1, B_1, C_1$ theo thứ tự là hình chiếu của $M$ trên các cạnh $BC, CA, AB$ . Lấy $M'$ đối xứng với $M$ qua phân giác trong của góc $A$ , gọi $B'_1,C'_1$ là hình chiếu của $M'$ trên $AC, AB$ . Gọi $D$ là giao điểm $AM'$ và $BC$ ; $H, K$ là hình chiếu của $B, C$ trên $AM'$ . Ta có

$a=BD+DC\ge BH+CK\Rightarrow a.M'A\ge BH.M'A+CK.M'A$ $= 2S_{M'AB}+2S_{M'CA}$ $=c.M'C'_1+b.M'B'_1$ . Vì $M'$ và $M$ đối xứng với nhau qua phân giác trong góc $A$ nên $R_a=M'A,M'C'_1=MB_1=d_b,M'B'_1=MC_1=d_c$ . Do đó $a.R_a\ge c.d_b+b.d_c\Rightarrow R_a\ge \dfrac{c}{a}d_b+\dfrac{b}{a}d_c$ . Tương tự, ta có 2 bất đẳng thức tương tự: $R_b\ge \dfrac{a}{b}d_c+\dfrac{c}{b}d_a, R_c\ge\dfrac{b}{c}d_a+\dfrac{a}{c}d_b$ . Cộng theo vế các bất đẳng thức trên và áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có

$R_a+R_b+R_c\ge \left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)d_c+ \left(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}\right)d_a+ \left(\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{c}\right)d_b \ge 2\left(d_a+d_b+d_c\right)$ (đpcm) Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \Delta ABC$ đều và $M$ là tâm của tam giác. ---------------------------- Chú dẫn lịch sử: Nhà toán học Hungary Paul Erdös trong khi nghiên cứu tính chất của tam giác đã nêu ra bất đẳng thức trên (1935) nhưng ông không chứng minh được. Người đầu tiên chứng minh được là nhà toán học Anh Mordell. Tuy nhiên lời giải của ông (sử dụng lượng giác) chỉ mang ý nghĩa lịch sử, vì khá phức tạp và rườm rà. Đến năm 1945, mới có một lời giải thuần túy hình học có thể chấp nhận được. Tiếp theo đó đã có nhiều lời giải ngắn gọn được đưa ra. Bên trên là một lời giải chỉ sử dụng kiến thức lớp 8. 11. Định lý Mê-nê-na-uýt (Menenaus) Cho $\Delta ABC$ có $A$ ', $B$ ', $C$ ' thứ tự nằm trên các đường thẳng $BC, AC, AB$ sao cho $A$ ', $B$ ', $C$ ' nằm trên phần kéo dài của 3 cạnh hoặc chỉ có 1 điểm nằm trên phần kéo dài của 3 cạnh $BC, AC, AB$ . Điều kiện cần và đủ để 3 điểm $A$ ', $B$ ', $C$ ' thẳng hàng là: $\frac{{AB'}}{{B'C}}.\frac{{CA'}}{{A'B}}.\frac{{BC' }}{{C'A}} = 1$ Chứng minh: (hình vẽ cho 1 điểm nằm trên phần kéo dài, trường hợp còn lại làm tương tự) *Điều kiện cần: Giả sử $\overline {A',B',C'}$ kẻ $BM //AC$ $(M \in A'B')$

Dễ thấy: $\frac{{AB'}}{{B'C}} = \frac{{AB'}}{{B'C}}$ $\frac{{CA'}}{{A'B}} = \frac{{B'C}}{{BM}}$ $\frac{{BC'}}{{C'A}} = \frac{{BM}}{{AB'}}$ $\Rightarrow \frac{{AB'}}{{B'C}}.\frac{{CA'}}{{A'B}}.\frac{{BC' }}{{C'A}} = \frac{{AB'}}{{B'C}}.\frac{{B'C}}{{BM}}.\frac{{BM}} {{AB'}} = 1$ (đpcm) *Điều kiện đủ: Giả sử: $\frac{{AB'}}{{B'C}}.\frac{{CA'}}{{A'B}}.\frac{{BC' }}{{C'A}} = 1\,\,(1)$ và $A'B' \cap AB = C''$

Ta có:

Từ khóa » định Lý Van Oben