Cách Nhận Dạng Một Phương Trình đường Tròn

Cách nhận dạng một phương trình đường tròn

by HOCTOAN24H · 23/01/2016

Thông thường khi làm toán dạng đường tròn chúng ta thường gặp một số yêu cầu như: tìm tâm và bán kính đường tròn, viết phương trình đường tròn hay viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn. Tức là với những dạng này thì thường là chúng ta đã biết dạng tồn tại của phương trình đường tròn.

Vậy nếu các bạn gặp một bài toán yêu cầu nhận dạng một phương trình đường tròn hay yêu cầu chúng minh phương trình đã cho là phương trình đường tròn thì các bạn sẽ đi tìm lời giải ra sao? Trong bài giảng hôm nay thầy sẽ giúp các bạn tìm hiểu về vấn đề này, các bạn cùng theo dõi nhé.

Phương pháp nhận dạng một phương trình đường tròn

Để có thể nhận biết đâu là phương trình đường tròn thì các bạn sẽ dựa vào dạng đúng của phương trình đường tròn hoặc dựa vào điều kiện của phương trình đường tròn. Cụ thể như sau:

Cách 1:

Các bạn chuyển phương trình đã cho về dạng: $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$. Khi đó đường tròn đã cho có tâm là: $I(a;b)$ và bán kính là $R$.

Cách 2: 

Các bạn chuyển phương trình đã cho về dạng: $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ và chứng minh điều kiện $a^2+b^2-c>0$ luôn đúng.

Cách 3:

Dựa vào 2 dạng của phương trình đường tròn ở trên các bạn xem hệ số của $x^2, y^2$. Nếu hai hệ số này bằng $1$ hoặc có thể đưa chúng về hệ số cùng bằng $1$ thì sẽ có dạng phương trình đường tròn, sau đó tiếp tục dựa vào cách 1 hoặc cách 2 để chúng minh. Nếu hệ số $x^2, y^2$ mà không biến đổi được về cùng bằng $1$ thì các bạn có thể kết luận ngay phương trình đã cho không phải là phương trình đường tròn.

Chúng ta sẽ đi tìm hiểu một vài bài tập áp dụng cho một số cách làm trên.

Bài tập nhận dạng một phương trình đường tròn

Bài tập 1:  Hãy cho biết phương trình nào trong các phương trình sau đây là phương trình đường tròn:

a. $x^2+y^2+2x-4y-4=0$

b. $x^2+y^2-8x+2y+20=0$

c. $3x^2+3y^2+2016x-18y=0$

Hướng dẫn giải:

a. $x^2+y^2+2x-4y-4=0$

Với bài toán này các bạn thấy hệ số của $x^2, y^2$ đều là $1$ rồi, ta sẽ sử dụng cách 1 và cách 2 để nhận dạng tiếp.

Cách 1: 

$x^2+y^2+2x-4y-4=0$

$\Leftrightarrow x^2+2x+y^2-4y-4=0$

$\Leftrightarrow (x^2+2x+1)+(y^2-4y+4)-1-4-4=0$

$\Leftrightarrow (x+1)^2+(y-2)^2=9$

$\Leftrightarrow (x+1)^2+(y-2)^2=3^2$   (1)

(1) là phương trình đường tròn. Vậy phương trình ban đầu là phương trình đường tròn tâm $I(-1;2)$ bán kính là $R=3$.

Cách 2: 

Trước tiên các bạn đi tìm hệ số $a, b, c$. Ta có:

$\left\{\begin{array}{ll}-2ax=2x\\-2by=-4y\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{ll}a=-1\\b=2\end{array}\right.$.

Xét biểu thức: $a^2+b^2-c=(-1)^2+2^2-(-4)=9>0$. Vậy phương trình đã cho là phương trình đường tròn có tâm là: $I(-1;2)$ bán kính là $R=3$.

b. $x^2+y^2-8x+2y+20=0$

Với bài toán này các bạn thấy hệ số của $x^2, y^2$ cũng đều là $1$ rồi, ta sẽ sử dụng cách 1 và cách 2 để nhận dạng tiếp.

Cách 1: 

$x^2+y^2-8x+2y+20=0$

$\Leftrightarrow x^2-8x+y^2+2y+20=0$

$\Leftrightarrow (x^2-8x+16)+(y^2+2y+1)-16-1+20$

$\Leftrightarrow (x-4)^2+(y+2)^2=-3$  (1)

Ta thấy $-3<0$ nên phương trình (1) không phải là phương trình đường tròn

Vậy phương trình $x^2+y^2-8x+2y+20=0$ không phải là phương trình đường tròn.

Cách 2: 

Trước tiên các bạn đi tìm hệ số $a, b, c$. Ta có:

$\left\{\begin{array}{ll}-2ax=-8x\\-2by=2y\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{ll}a=4\\b=-1\end{array}\right.$.

Xét biểu thức: $a^2+b^2-c=4^2+(-1)^2-20=-3<0$. Vậy phương trình đã cho không phải là phương trình đường tròn.

 c. $3x^2+3y^2+2016x-18y=0$

Ý (c) này các bạn thấy hệ số của $x^2, y^2$ đều là $3$ do đó ta sẽ phải chuyển chúng về hệ số là $1$ rồi tiếp tục phân tích.

Trong ví dụ này thầy sẽ trình bày với các bạn 1 cách thôi, bởi đã có 2 ví dụ trên thầy làm cụ thể rồi. Các bạn cứ thế áp dụng nhé.

Ta có:

$3x^2+3y^2+2016x-18y=0$

$\Leftrightarrow x^2+y^2+672x-6y=0$

$\Leftrightarrow x^2+672x+y^2-6y=0$

$\Leftrightarrow (x^2+2.336x+336^2)+(y^2-6y+9)-336^2-9=0$

$\Leftrightarrow (x+336)^2+(y-3)^2-112896=0$

$\Leftrightarrow (x+336)^2+(y-3)^2=112896$

$\Leftrightarrow (x+336)^2+(y-3)^2=\sqrt{112896}^2$    (1)

(1) là phương trình đường tròn. Vậy phương trình $3x^2+3y^2+2016x-18y=0$ là phương trình đường tròn tâm $I(-336;3)$ và bán kính $R=\sqrt{112896}$

Bài tập 2: Hãy cho biết trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình đường tròn:

a. $x^2+2y^2-4x+6y-8=0$

b. $3x^2+y^2-4x+6y-8=0$

c. $x^2+y^2-4xy+6y-8=0$

Hướng dẫn giải:

a. $x^2+2y^2-4x+6y-8=0$

Các bạn để ý thấy hệ số của $x^2$ là $1$, hệ số của $y^2$ là $2$. Do đó ta không thể biến đổi chúng cùng về hệ số là $1$ được. Vì vậy phương trình trên không phải là phương trình đường tròn.

b. $3x^2+y^2-4x+6y-8=0$

Tương tự ý (a) các bạn thấy hệ số của $x^2$ là $3$, hệ số của $y^2$ là $1$. Do đó ta không thể biến đổi chúng cùng về hệ số là $1$ được. Vì vậy phương trình trên không phải là phương trình đường tròn.

c. $x^2+y^2-4xy+6y-8=0$

Trong ý (c) này hệ số của $x^2, y^2$ cùng bằng 1 rồi. Sẽ nhiều bạn nếu không để ý sẽ tiếp tục đi biến đổi tiếp để đưa về phương trình đường tròn. Tuy nhiên các bạn để ý tiếp 1 chút nữa sẽ thấy biểu thức $-2ax$ không có mà thay vào đó là một biểu thức $-4xy$. Biểu thức này hoàn toàn không có trong phương trình tổng quát của đường tròn. Do đó phương trình trên cũng không phải là phương trình đường tròn.

Lời kết

Vậy là với bài giảng này thầy đã giúp các bạn nhận dạng một phương trình đường tròn khá chi tiết. Cũng không biết còn trường hợp nào nữa không, nếu các bạn có thêm những cách giải hay để nhận biết một phương trình là phương trình đường tròn thì hãy chia sẻ cho mọi người cùng học tập nhé. Hẹn gặp lai các bạn ở bài giảng tiếp.

SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ

Chia sẻ lên mạng xã hội:

• Share
• Tweet
• Share

BẠN CÓ THỂ XEM THÊM: Lý thuyết phương trình đường trònnhận biết đường trònphương trình đường tròn

HOCTOAN24H

Cám ơn các bạn đã ghé thăm blog của mình. Hãy tặng HOCTOAN24H.NET 1 like + 1 lời động viên nếu thấy bài viết có ích với bạn. Chia sẻ với mục đích: "Cho đi là nhận"

• Bài giảng tiếp theo Viết phương trình đường tròn biết tâm và bán kính
• Bài giảng trước Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn

Có thể bạn sẽ thích...

• 17

  Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm không thẳng hàng

  31 Jan, 2016

• 0

  Lập phương trình đường tròn có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng d

  13 Aug, 2019

• 7

  Lý thuyết phương trình đường tròn trong mặt phẳng

  16 Jan, 2016

Bạn hãy đặt câu hỏi và thảo luận đúng chuyên mục bài giảng.Thảo luận lịch sự, có văn hóa, gõ đầy đủ ý nghĩa bằng tiếng việt có dấu để tránh trường hợp thảo luận của bạn bị xóa mà không rõ lý do. Xin cám ơn!

Leave a Reply Cancel reply

You have to agree to the comment policy.

Comment *

Name *

Email *

Website

Δ