Lý Thuyết Phương Trình đường Tròn - TopLoigiai

Mục lục nội dung 1. Lập phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước2. Nhận xét3. Phương trình tiếp tuyến của đường trònDạng 1: Nhận dạng một phương trình bậc 2 là phương trình đường tròn. Tìm tâm và bán kính của đường tròn.Dạng 2: Lập phương trình đường trònDạng 3: Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn.5. Bài tập có lời giải về phương trình đường tròn

1. Lập phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước

Phương trình đường tròn có tâm I(a;b), bán kính R là :

(x – a)2 + (y – b)2 = R2

2. Nhận xét

Phương trình đường tròn  (x – a)2 + (y – b)2 = R2 có thể được viết dưới dạng 

x2 + y2 – 2ax – 2by +c =0

trong đó c = a2 + b2+ c2 

Ngược lại, phương trình x2 + y2 – 2ax – 2by + c =0 là phương trình của đường tròn (C) khi và chỉ khi a2 + b2 –c > 0 . Khi đó đường tròn (C) có tâm I(a;b) và bán kính 

3. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Cho điểm M0(x0; y0) nằm trên đường tròn (C) tâm  I(a;b).Gọi Δ là tiếp tuyến với (C) tại M0

4. Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Nhận dạng một phương trình bậc 2 là phương trình đường tròn. Tìm tâm và bán kính của đường tròn.

Cách 1:

- Đưa phương trình về dạng: x2 + y2 – 2ax -2by +c = 0 (1)

- Xét dấu biểu thức: m = a2 + b2 + c2

- Nếu m>0 thì (1) là phương trình đường tròn tâm I(a;b), bán kính R 

Cách 2: 

- Đưa phương trình về dạng (x-a)2 + (y-b)2 = m2 (2)

- Nếu m > 0 thì (2) là phương trình đường tròn tâm I(a;b), bán kính R = √m

Dạng 2: Lập phương trình đường tròn

Cách 1:

- Tìm tọa độ tâm I(a; b) của đường tròn (C)

- Tìm bán kính R của (C)

- Viết phương trình (C) theo dạng: (x – a)2 + (y – b)2 = R2 (1)

Chú ý:

- (C) đi qua A, B ⇔ IA2 = IB2 = R2.

- (C) đi qua A và tiếp xúc với đường thẳng ∆ tại A ⇔ IA = d(I, ∆).

- (C) tiếp xúc với hai đường thẳng ∆1 và ∆2

⇔ d(I, ∆1) = d(I, ∆2) = R

Cách 2:

- Gọi phương trình đường tròn (C) là x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 (2)

- Từ điều kiện của đề bài đưa đến hệ phương trình với ba ẩn số là: a, b, c

- Giải hệ phương trình tìm a, b, c để thay vào (2), ta được phương trình đường tròn (C)

Dạng 3: Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn.

Loại 1: Lập phương trình tiếp tuyến tại điểm Mo­(xo;yo) thuộc đường tròn (C)

- Tìm tọa độ tâm I(a,b) của đường tròn (C)

- Phương trình tiếp tuyến với (C) tại Mo­(xo;yo) có dạng:

(xo – a)(x-x0) + (yo-b)(y-yo) = 0

Loại 2: Lập phương trình tiếp tuyến của ∆ với (C) khi chưa biết tiếp điểm: dùng điều kiện tiếp xúc với đường tròn (C) tâm I, bán kính R ⇔ d (I, ∆) = R

5. Bài tập có lời giải về phương trình đường tròn

Bài tập 1: Cho đường cong (Cm): x2 + y2 – 4mx – 8(m – 4)y + 18 – m = 0. Hãy tìm điều kiện của m để (Cm) là phương trình đường tròn

Lời giải

Để (Cm) là phương trình đường tròn ta có: m2 + [4(m – 4)]2 – ( 18 – m) > 0

<=> m2 + 16m2 – 256m + 256 – 18 + m > 0

<=> 17m2 – 255m + 238 > 0

<=> m2 – 15m + 14 > 0

<=> m < 1 ᴗ m > 2

Bài tập 2: Cho (Cα) là x2 + y2 – 2xcosα – 2ysinα + cos2α = 0 (với α ≠ kπ). Chứng minh rằng (Cα) là đường tròn

Lời giải

Để (Cα) là đường tròn ta có: cos2α + sin2α – cos2α > 0

VT = cos2α + sin2α – cos2α

      = 1 – cos2α

      = 2sin2α > 0 (với α ≠ kᴨ)

Chú ý: nếu α = kπ thì đường tròn là 1 điểm

Bài tập 3: lập phương trình đường tròn (C) biết tâm O(2; 4) và đi qua điểm I(0; 0)

Lời giải

Ta có R = IO , mà vecto IO = √22 + √42 = √20

=> Đường tròn © có tâm O(2; 4) và bán kính R = √20 có phương trình đường tròn là: (x – 2)2 + (y – 4)2 = 20

Bài tập 4. Trong các phương trình sau, phương trình nào biểu diễn đường tròn ? Tìm tâm và bán kính nếu có :

a) x2 + y2 – 6x +8y +100 = 0   (1)

b) x2 + y2 + 4x – 6y -12 = 0    (2)

c) 2x2 + 2y2 – 4x + 8y – 2 = 0  (3)

Giải:

a) (1) có dạng x2 + y2 – 2ax – 2by +c =0 với a = 3,b = -4, c = 100.

Ta có a2 + b2 –c = 9 +16 – 100 < 0 .

Vậy (1) không phải là phương trình của đường tròn.

b) (2) có dạng x2 + y2 – 2ax – 2by +c =0, với a = – 2, b = 3, c = -12.

Ta có x2 + b3 – c = 4 + 9 +12 = 25 > 0 .

Vậy (2) là phương trình của đường tròn tâm là điểm (-2 ; 3), bán kính bằng

c) Ta có : (3)

⇔ 

Vậy (3) là phương trình của đường tròn tâm là điểm (1 ; -2), bán kính bằng √6 

Bài tập 5. Cho phương trình x2 + y2 – 2mx + 4my + 6m – 1 = 0      (1)

a) Với giá trị nào của m thì (1) là phương trình của đường tròn ?

b) Nếu (1) là phương trình của đường tròn hãy tìm toạ độ tâm và tính bán kính đường tròn đó theo m.

Giải:

a) (1) có dạng x2 + y2 – 2ax – 2by +c =0  với a = m, b = – 2m, c = 6m = 1.

(1) là phương trình của đường tròn khi và chỉ khi a2 + b2 – c > 0, mà

 

Bài tập 6. Lập phương trình của đường tròn (℘) trong các trường hợp sau :

a) (℘) có tâm I(-1 ; 2) và tiếp xúc với đường thẳng Δ: x – 2y+7 = 0;

b) (℘) có đường kính là AB với A( 1 ; 1), B(7 ; 5).

Giải:

Bài tập 7. Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm A(1 ; 2), B(5 ; 2), C( 1 ; – 3).

Giải:

Xét đường tròn (℘) có dạng x2 + y2 – 2ax – 2by +c =0.

(℘) đi qụa A, B, c khi và chỉ khi

Vậy phương trình đường tròn đi qua ba điểm A, B, C là :

x2 + y2 – 6x +y – 1 = 0