Cách Tìm đạo Hàm Riêng Cấp 2, Bài Toán Cực Trị Của Hàm 2 Biến(của ...

Có thể bạn quan tâm

Đăng nhập / Đăng ký Violet

ViOLET.VN
Bài giảng
Giáo án
Đề thi & Kiểm tra
Tư liệu
E-Learning
Kỹ năng CNTT
Trợ giúp

Thư mục

Các ý kiến mới nhất

78WIN mang đến không gian giải...

" Đội Tuyển Bóng Chuyền Nữ – Những Cô Gái Vàng...

MT5 Cd3 NGÀY TẾT TRONG GIA ĐÌNH...

Tuyển tập những bức tranh vẽ chủ đề lễ hội...

Động vật hoang dã ở Châu Phi...

TUẦN 16-BÀI 6 T3 VIẾT TÌM Ý CHO ĐOẠN VĂN...

TUẦN 16-BÀI 6 T2 NÓI VỀ 1 HĐ CỘNG ĐỒNG...

TUẦN 16-BÀI 6 T1 NGÔI NHÀ CHUNG CỦA BUÔN LÀNG...

TUẦN 16-BÀI 5 T4 VIẾT ĐV GT NV PHIM HOẠT...

TUẦN 16-BÀI 5 T3 LUYỆN TẬP VỀ ĐẠI TỪ VÀ...

TUẦN 16-BÀI 5 T1,2 NHỮNG LÁ THƯ...

TUẦN 17-BÀI 51 T2 THỤC HANH VA TRAI NGHIEM...

TUẦN 16-BÀI 51 T1 THỤC HANH VA TRAI NGHIEM...

TUẦN 16-BAI 50 EM LÀM ĐƯỢC NHỮNG GÌ...

Thành viên trực tuyến

144 khách và 40 thành viên

Lê Quang Khanh

Quàng Thị Thoa

Trường Sóc

Đào Thị Chuyên

Đỗ thị mỹ linh

Lê Thị Năm

Lo Dan

Lê Quang

Mt Intel Lâm Đồng

Nông Thị Bích Ngọc

Nguyễn Thanh Trúc

Nguyễn Thị Hạnh

Mai Văn Nghiên

Trần Trung Đức

Đặng Thị Giang

Lê Đình Tại

Trịnh Thị Bình

đỗ minh hoàng

Nguyễn Thị Thu Thuỷ

Quỳnh Trang

Tìm kiếm theo tiêu đề

Đăng nhập

Tên truy nhập Mật khẩu Ghi nhớ Quên mật khẩu ĐK thành viên

Tin tức cộng đồng

5 điều đơn giản cha mẹ nên làm mỗi ngày để con hạnh phúc hơn

Tìm kiếm hạnh phúc là một nhu cầu lớn và xuất hiện xuyên suốt cuộc đời mỗi con người. Tác giả người Mỹ Stephanie Harrison đã dành ra hơn 10 năm để nghiên cứu về cảm nhận hạnh phúc, bà đã hệ thống các kiến thức ấy trong cuốn New Happy. Bà Harrison khẳng định có những thói quen đơn...

Hà Nội công bố cấu trúc định dạng đề minh họa 7 môn thi lớp 10 năm 2025

23 triệu học sinh cả nước chính thức bước vào năm học đặc biệt

Xem tiếp

Tin tức thư viện

Chức năng Dừng xem quảng cáo trên violet.vn

Kính chào các thầy, cô! Hiện tại, kinh phí duy trì hệ thống dựa chủ yếu vào việc đặt quảng cáo trên hệ thống. Tuy nhiên, đôi khi có gây một số trở ngại đối với thầy, cô khi truy cập. Vì vậy, để thuận tiện trong việc sử dụng thư viện hệ thống đã cung cấp chức năng...

Khắc phục hiện tượng không xuất hiện menu Bộ công cụ Violet trên PowerPoint và Word

Thử nghiệm Hệ thống Kiểm tra Trực tuyến ViOLET Giai đoạn 1

Xem tiếp

Hướng dẫn sử dụng thư viện

Xác thực Thông tin thành viên trên violet.vn

Sau khi đã đăng ký thành công và trở thành thành viên của Thư viện trực tuyến, nếu bạn muốn tạo trang riêng cho Trường, Phòng Giáo dục, Sở Giáo dục, cho cá nhân mình hay bạn muốn soạn thảo bài giảng điện tử trực tuyến bằng công cụ soạn thảo bài giảng ViOLET, bạn...

Bài 4: Quản lí ngân hàng câu hỏi và sinh đề có điều kiện

Bài 3: Tạo đề thi trắc nghiệm trực tuyến dạng chọn một đáp án đúng

Bài 2: Tạo cây thư mục chứa câu hỏi trắc nghiệm đồng bộ với danh mục SGK

Bài 1: Hướng dẫn tạo đề thi trắc nghiệm trực tuyến

Lấy lại Mật khẩu trên violet.vn

Kích hoạt tài khoản (Xác nhận thông tin liên hệ) trên violet.vn

Đăng ký Thành viên trên Thư viện ViOLET

Tạo website Thư viện Giáo dục trên violet.vn

Hỗ trợ trực tuyến trên violet.vn bằng Phần mềm điều khiển máy tính từ xa TeamViewer

Xem tiếp

Hỗ trợ kĩ thuật

(024) 62 930 536
0919 124 899
[email protected]

Liên hệ quảng cáo

(024) 66 745 632
096 181 2005
[email protected]

Tìm kiếm Bài giảng

Đưa bài giảng lên Gốc > THCS (Chương trình cũ) > Toán > Toán 7 > Đại số 7 >

cách tìm đạo hàm riêng cấp 2, bài ... phải của GV)
Cùng tác giả
Lịch sử tải về

cách tìm đạo hàm riêng cấp 2, bài toán cực trị của hàm 2 biến(của SV, ko phải của GV)

0 / 0

Nhấn vào đây để tải về Báo tài liệu có sai sót Nhắn tin cho tác giả (Tài liệu chưa được thẩm định) Nguồn: Người gửi: Đinh Ngọc Châm Ngày gửi: 16h:13' 20-05-2009 Dung lượng: 1.5 MB Số lượt tải: 684 Số lượt thích: 0 người 1Bài thảo luận Nhóm 1Môn: Toán cao cấp 2Trường Đại học Thương Mại 2Các thành viên Nhóm 11. 08D150263 Đinh Thị Ngọc Ánh 2. 08D150213 Đỗ Nhật Anh 3. 08D150353 Nguyễn Phương Anh (TK)4. 08D150354 Nguyễn Thị Hoàng Anh5. 08D150006 Đỗ Thị Ca6. 08D150005 Đinh Ngọc Châm7. 08D150074 Phùng Thị Hải Anh8. 08D150145 Vũ Thị Thuỳ Anh (NT)9. 08D150214 Nguyễn Thị Lan Anh10. 08D150004 Bùi Thị Bình.3Đề tài 1. Nêu cách tìm các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm 2 biến. Cách tính gần đúng bằng vi phân toàn phần. Cho ví dụ minh hoạ và nêu 1 vài ứng dụng của đạo hàm riêng trong toán kinh tế.2. Nêu cách giải bài toán cực trị của hàm 2 biến (tự do và có điều kiện ràng buộc). Cho ví dụ minh hoạ.Nêu một số ứng dụng của bài toán cực trị trong kinh tế4Mục lụcI. Hàm 2 biến 1.Bổ sung một số khái niệm về tập hợp phẳng 2. Định nghĩa hàm 2 biến 3.Đạo hàm riêng 3.1 Đạo hàm riêng cấp 1 3.2 Đạo hàm riêng cấp 2 4.Vi phân toàn phần 4.1 Hàm khả vi và vi phân toàn phần 4.2 Tính gần đúng bằng vi phân toàn phầnII. Cực trị của hàm 2 biến 1. Cực trị tự do 2. Cực trị có điều kiện ràng buộc III. ứng dụng của đạo hàm riêng trong kinh tếIV. ứng dụng của bài toán cực trị trong kinh tế 5I. Hàm hai biến.1. Bổ sung một số khái niệm về tập hợp phẳng. Trong Xét hệ tọa độ trực chuẩn Oxy E : Tập hợp phẳng Tập các điểm của không gian cách điểm cố định nhỏ hơn một số r > 0 cho trước gọi là một hình cầu mở tâm , bán kính r. Mỗi hình cầu như vậy được gọi là một lân cận của điểm 61.Bổ sung khái niệm về tập hợp phẳng. - gọi là điểm trong của tập hợp E nếu tồn tại 1 lân cận của nằm hoàn toàn trong tập E - gọi là điểm biên của tập E nếu mọi lân cận của đều chứa những điểm thuộc E và không thuộc E. - Đường biên của tập E gồm tất cả những điểm biên của nó. - Tập E gọi là tập mở nếu mọi điểm thuộc E đều là điểm trong của nó. 72. Định nghĩa hàm 2 biến 2.1 Định nghĩa: Cho tập E trên Oxy.Một quy luật f đặt tương ứng mỗi cặp giá trị (x,y) thuộc E của các biến x,y với một và chỉ một giá trị của biến z bởi đẳng thức z = f(x,y) gọi là một hàm của hàm 2 biến độc lập x và y z : gọi là biến hàm hay biến phụ thuộc tập E. Tập E: TXĐ Tập f(E): là tập giá trị hay 82. Định nghĩa hàm 2 biến 2.2 Đồ thị hàm số z= f(x,y) Xác định trên E 93. Đạo hàm riêng 3.1 Đạo hàm riêng cấp 1 * Định nghĩa Giả sử cho hàm z= f(x,y) xác định trong lân cận điểm Đạo hàm riêng cấp 1 theo biến x tại 10 * Đạo hàm riêng theo biến x tại (x,y) E * Đạo hàm riêng theo biến y tại (x,y) ETương tự, đạo hàm riêng theo biến y tại 11Chú ý: - Khi tính đạo hàm riêng theo biến x hoặc y ta coi như hàm số chỉ phụ thuộc vào 1 biến đó, còn vai trò của biến kia là hằng số và áp dụng các quy tắc tính đạo hàm của hàm 1 biến12Ví dụ 1: Tính đạo hàm riêng cấp 1 của hàm số 1. 2.Lời giải 1.132.143.2 Đạo hàm riêng cấp 2 * Định nghĩa:Cho hàm 2 biến z= f(x,y) có đạo hàm riêng cấp 1Các đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp 1(Nếu có) gọi là đạo hàm riêng cấp 2 của hàm đã cho15Định lý: Hàm 2 biến z =f(x,y) có các đạo hàm riêng đến cấp 2 liên tục thì: * Chú ý: Khi tính đạo hàm riêng của những hàm số sơ cấp, ta chỉ cần tính 3 loại : và16Ví dụ: Tính đạo hàm riêng cấp 2 của hàm số:Giải174. Vi phân toàn phần 4.1 Hàm khả vi và vi phân toàn phần a. Định nghĩa: Giả sử hàm z = f(x,y) xác định trên một lân cận của điểm Với đủ nhỏ về trị tuyệt đối sao cho cũng thuộc lân cận đó.Khi đó, nếu tồn tại các hàm A(x,y); B(x,y) sao cho:Trong đó : : là các VCB bậc cao hơn Trong quá trình : thì ta nói hàm số đó khả vi tại (x,y) và biểu thứcGọi là: vi phân toàn phần của hàm số đó tại (x,y)18Định lý:Nếu hàm z = z(x,y) có các đạo hàm riêng theo x và y trên một lân cận của điểm M(x,y) và các đạo hàm riêng đó liên tục tại M(x,y) thì hàm số đó khả vi tại điểm đó và:Công thức tính vi phân của hàm số: z = f(x,y) x, y là các biến độc lập.Ta có: 194.2 Tính gần đúng bằng vi phân toàn phầnNếu hàm z = z(x,y) khả vi tại điểm (x,y) thì với nhỏ về trị tuyệt đối, ta có:20Ví dụ: Tính gần đúng bằng vi phân toàn phần biểu thức sau:Giải:Xét hàm 2 biến: Tại Và Có:21Theo công thức tính gần đúng, ta có:Thay số ta được :22II.Cực trị của hàm 2 biến 1 Cực trị tự do. * Định nghĩa: Hàm z = f(x,y) đạt cực đại( Cực tiểu) tại điểm Nếu tồn tại một lân cận của điểm sao cho trên lân cận đó hàm số luôn xác định và bất đẳng thức:luôn thỏa mãn Giá trị cực đại, cực tiểu gọi chung là cực trị- : gọi là giá trị cực tiểu : gọi là giá trị cực đại 23 1.1 Điều kiện để hàm 2 biến có cực trị 1.1.1 Điều kiện cần:Nếu hàm z = z(x,y) đạt cực trị tại điểm và tại đó hàm số có các đạo hàm riêng thì các đạo hàm riêng đó triệt tiêu tại ,tức là: b. Điều kiện đủĐịnh lý: Xét hàm 2 biến: z = f(x,y)24Hàm số có các đạo hàm riêng đến cấp 2 liên tục:25Nếu: Hàm số không đạt cực trị tại Nếu: Hàm số đạt cực trị tại Nếu: hàm số đạt cực tiểu tại Nếu: hàm số đạt cực đại tại Chú ý: Nếu: ta chưa có kết luận cụ thể tại điểm 26 Các bước tìm cực trị của hàm 2 biến Bước 1: Xét điều kiện của các biến Bước 2: Tìm điểm tới hạn bằng cách giải hệ Bước 3: Kiểm tra điều kiện đủ: - Tìm các đạo hàm riêng cấp 2 - Tại các điểm tới hạn, tính A, B, C - Kết luận theo định lý về điều kiện đủ.27Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số: Đk: Hàm số xác định với Ta có: Giải hệ pt: Hàm số có 2 điểm tới hạn: 28Tính đạo hàm riêng cấp 2: ; ;* Tại Ta có: Hàm số ko đạt cực trị tại * Tại Ta có: Hàm số đạt cực đại tại 29 2. Cực trị có điều kiện ràng buộc2.1 Một số khái niệmBài toán: ta đưa về (1) bằng cách lấy dấu hàm mục tiêu ngược lại - E: Tập các phương án.Mỗi phương án làm cực tiểu hàm mục tiêu gọi là 1 phương án tối ưu hay 1 nghiệm tối ưu. - Tập E: là tập lồi nếu bất kỳ 2 điểm M, N thuộc E thì mọi điểm nằm trên đoạn thẳng nối 2 điểm đó cũng thuộc E30Hệ các điều kiện trên các biến x,y để xác định tập E gọi là các hệ ràng buộc Một điểm biên của tập E được gọi là một điểm cực biên của E nếu không có 1 đoạn thẳng nào trong E nhận điểm đó làm điểm trong Trong mặt phẳng, khi tập E được cho như là tập nghiệm, khác rỗng của một hệ hữu hạn các bất phương trình dạng tuyến tính của 2 biến x,y thì hệ các ràng buộc xác định một đa giác lồi, các cạnh của đa giác đó chính là tập các điểm biên, các đỉnh là các điểm cực biên.31 2.2 Một vài trường hợp riêng Ta xét trường hợp : Khi tập ràng buộc được cho bởi 1 quan hệ hàm ở dạng tường hoặc dạng ẩn:Bài toán 1:Ta đưa bài toán về cực trị của hàm 1 biến: Bài toán 2:Nếu từ: g(x,y)=0 hàm hiệu thì đưa được về bài toán 1Trường hợp khác: Dùng pp Lagrange 32Vídụ1: Bài 12.10 (3) (sgk) Tìm nghiệm tối ưu Thay y = 2x-1 vào hàm mục tiêu. Ta có bài toán:Hàm số có tập xác định là :RĐiểm tới hạn: Hàm số đạt cực tiểu tại Vậy nghiệm tối ưu là: 33Vídụ2: Bài 12.10 (2) (sgk) Tìm nghiệm tối ưuGiải:Ta thấy: tập ràng buộc là một đa giác lồi có 3 đỉnh là: ; ;Hàm mục tiêu có dạng tuyến tính, vậy có ít nhất 1 trong 3 nghiệm là nghiệm tối ưu: Ta có: Vậy, nghiệm tối ưu là: 34 2.3 Phương pháp nhân tử LagrangeXét bài toán: Tìm cực trị của hàm 2 biến có ràng buộc:Lập hàm Lagrange:352.3.1 Điều kiện cần của cực trị:Định lý:Giả sử các hàm f (x,y); g (x,y) có các đạo hàm riêng liêntục trên một lân cận của điểm và hoặc: .Khi đó, nếu hàm số đạt cực trị tại thì tồn tại 1 số thực sao cho: TM pt: : Nhân tử LagrangeNghiệm của hệ: gọi là điểm dừng của hàm Lagrange362.3.2 Điều kiện đủ của cực trị Định lý: Giả sử: là một điểm dừng của hàm Lagrange. Giả sử các hàm f (x,y) ; g (x,y) có các đạo hàm riêng liên tục đến cấp 2 trên một lân cận của điểm và hoặc Đặt:Khi đó: Nếu: thì là điểm CĐ của bt cực trị có đkNếu: thì: là điểm CT của bt cực trị có đk 37Ví dụ: Tìm cực đại, cực tiểu có điều kiện của hàm số: Lời giải:Hàm Lagrange: Điểm dừng:Hàm Lagrange có duy nhất 1 điểm dừng là:Tại điểm này ta cóVậy hàm số có cực đại tại x=8, y=1438III. ứng dụng của đạo hàm riêng trong kinh tếĐể xét xem hiệu quả của việc sử dụng yếu tố đầu vào đối với việc tăng sản lượng.Ta đi xét hàm sản xuất sau: Q= f (R,L)Ta có các đạo hàm riêng:Trong đó: K: Vốn ( tư bản ) L: Lao động ( sp cận biên của LĐ ): là sự thay đổi tổng số sp đầu ra do sử dụng thêm 1 yếu tố đầu vào là LĐ. ( Sp cận biên của tư bản ): là sự thay đổi trong tổng số sản phẩm đầu ra do sử dụng thêm 1 yếu tố đầu vào là vốn39Ví dụ: Giả sử: hàm sản xuất của 1 doanh nghiệp có dạng: Trong đó: K, L, Q là mức sử dụng lao động, mức sử dụng tư bản và sản lượng hàng ngày.Giả sử doanh nghiệp đó đang sử dụng 27 đơn vị tư bản và 64 đơn vị lao động trong 1 ngày, tức K=27, L= 64. Sản lượng cận biên của tư bản và của lao động là:40Nếu doanh nghiệp tăng mức sử dụng tư bản lên 28 và giữ nguyên mức sử dụng 64 lao động trong 1 ngày thì sản lượng hàng ngày của nó sẽ tăng thêm khoảng 26,7 đv sản phẩm hiện vật Nếu doanh nghiệp nâng mức sử dụng lao động lên 65 đơn vị và giữ nguyên mức sử dụng 27 đv tư bản trong 1 ngày thì sản lượng hàng ngày sẽ tăng thêm khoảng 5,6 đv sản phẩm hiện vật.41 Bài toán tối đa hoá lợi nhuận Xét trường hợp 1 hãng cạnh tranh thuần tuý sản xuất 2 loại sản phẩm.Giả sử: tổng chi phí kết hợp được tính theo số lượng sản phẩm được sản xuất :Số lượng sản phẩm thứ 1 : Số lượng sản phẩm thứ 2Do tính chất cạnh tranh, hãng phải chấp nhận giá thị trường của các sản phẩm đó , : giá cả của 2 loại sản phẩmHàm tổng lợi nhuận có dạng:Bài toán đặt ra: chọn 1 cơ cấu sản xuất để hàm tổng lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất 42Ví dụ: Giả sử hàm tổng chi phí của hãng là:Và giá sản phẩm là: Hàm tổng lợi nhuận là hàm số:Điều kiện cần:Lại có: ; ; Lợi nhuận sẽ lớn nhất nếu hãng sx 4đv sp thứ 1và 3 đv sp thứ 2 43xin chân thành cảm ơn!