Cách Tìm Tiệm Cận đứng Và Tiệm Cận Ngang Của Hàm Số

Đường tiệm cận là gì? Cách tìm đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang như thế nào?… Bài viết dưới đây sẽ nói chi tiết về vấn đề này, giúp học sinh 12 và thí sinh ôn thi đại học hiểu sâu có thể làm các dạng bài tập liên quan tới đường tiệm cận của đồ thị hàm số. Mời bạn theo dõi

Mục lục ẩn 1. Đường tiệm cận là gì? 2. Đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang 3. Dấu hiệu 4. Cách tìm 5. Bài tập minh họa

1. Đường tiệm cận là gì?

Kiến thức bậc THPT chỉ rõ: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số là đường tiến sát tới đồ thị ở đồ thị ở vô + ∞ hoặc – ∞

Đường tiệm cận

2. Đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang

Đường thẳng x = a là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) nếu có một trong các điều kiện sau

Nhận xét:

Đường thẳng y = b là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu có một trong các điều kiện sau

Nhận xét:

3. Dấu hiệu

Những dấu hiệu quan trọng cần nhớ

• Hàm phân thức mà nghiệm của mẫu không là nghiệm của tử có tiệm cận đứng.
• Hàm phân thức mà bậc của tử $\le $ bậc của mẫu có TCN.
• Hàm căn thức dạng: $y=\sqrt{{}}-\sqrt{{}},y=\sqrt{{}}-bt,y=bt-\sqrt{{}}$ có TCN. (Dùng liên hợp)
• Hàm $y={{a}^{x}},\left( 0<a\ne 1 \right)$ có TCN $y=0$
• Hàm số $y={{\log }_{a}}x,\left( 0<a\ne 1 \right)$ có TCĐ $x=0$

4. Cách tìm

• Tiệm cận đứng: Tìm nghiệm của mẫu không là nghiệm của tử.
• Tiệm cận đứng: Tính 2 giới hạn: $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y$ hoặc $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y$

Lưu ý:

5. Bài tập minh họa

Bài tập 1. Đồ thị hàm số $y=\frac{2x-3}{x-1}$ có các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là: A. x = 1 và y = -3. B. X = 2 và y = 1. C. x = 1 và y = 2. D. x = – 1 và y = 2.

Lời giải

Chọn C

Ta có $\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x-3}{x-1}=-\infty $ và $\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x-3}{x-1}=+\infty $ nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x=1$

$\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2x-3}{x-1}=2$ nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là $y=2$

Bài tập 2. Cho hàm số $y=\frac{x-9{{x}^{4}}}{{{\left( 3{{x}^{2}}-3 \right)}^{2}}}$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng, không có tiệm cận ngang.

B. Đồ thị hàm số có 2 tiệm cận đứng, có 1 tiệm cận ngang $y=-3$.

C. Đồ thị hàm số có 2 tiệm cận đứng, có 1 tiệm cận ngang $y=-1$.

D. Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng, có tiệm cận ngang.

Lời giải

Chọn C

Đồ thị hàm số$y=\frac{x-9{{x}^{4}}}{{{\left( 3{{x}^{2}}-3 \right)}^{2}}}$ có hai đường tiệm cận đứng $x=\pm 1$ và một tiệm cận ngang $y=-1$

Bài tập 3. Cho hàm số $y=\frac{mx+9}{x+m}$ có đồ thị $(C)$. Kết luận nào sau đây đúng ?

A. Khi $m=3$ thì $(C)$không có đường tiệm cận đứng.

B. Khi $m=-3$ thì $(C)$không có đường tiệm cận đứng.

C. Khi $m\ne \pm 3$ thì $(C)$có tiệm cận đứng $x=-m,$ tiệm cận ngang $y=m$.

D. Khi $m=0$ thì $(C)$ không có tiệm cận ngang.

Lời giải

Chọn C

Phương pháp tự luận

Xét phương trình: $mx+9=0$.

Với $x=-m$ ta có: $-{{m}^{2}}+9=0\Leftrightarrow m=\pm 3$

Kiểm tra thấy với $m=\pm 3$ thì hàm số không có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.

Khi $m\ne \pm 3$ hàm số luôn có tiệm cận đứng $x=m$ hoặc $x=-m$ và tiệm cận ngang $y=m$

Phương pháp trắc nghiệm

Nhập vào máy tính biểu thức $\frac{XY+9}{X+Y}$ ấn CALC $X=-3+{{10}^{-10}};Y=-3$

ta được kết quả $-3$.

Tiếp tục ấn CALC $X=-3-{{10}^{-10}};Y=-3$ ta được kết quả -3.

Vậy khi $m=-3$ đồ thị hàm số không có đường tiệm cận đứng.

Tương tự với $m=3$ ta cũng có kết quả tương tự.

Vậy các đáp án A và B không thỏa mãn.

Tiếp tục ấn CALC $X=-{{10}^{10}};Y=0$ ta được kết quả $9x{{10}^{-10}}$ , ấn CALC $X={{10}^{10}};Y=0$ ta được kết quả $9\text{x}{{10}^{-10}}$.

Do đó hàm số có tiệm cận ngang $y=0$.

Vậy đáp án D sai.

Bài tập 4. Số tiệm cận của hàm số $y=\frac{\sqrt{{{x}^{2}}+1}-x}{\sqrt{{{x}^{2}}-9}-4}$ là

A. 2.

B. 4.

C. 3.

D. 1.

Lời giải

Chọn B

Điều kiện xác định $\left\{ \begin{align}& {{x}^{2}}-9\ge 0 \\& \sqrt{{{x}^{2}}-9}\ne 4 \\\end{align} \right.\Leftrightarrow x\in (-\infty ;-3]\cup \text{ }\!\![\!\!\text{ }3;+\infty )\backslash \text{ }\!\!\{\!\!\text{ }\pm 5\}$

Khi đó có: $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{{{x}^{2}}+1}-x}{\sqrt{{{x}^{2}}-9}-4}=0;\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{{{x}^{2}}+1}-x}{\sqrt{{{x}^{2}}-9}-4}=2$ nên đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang.

Mặt khác có $\underset{x\to -{{5}^{\pm }}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{{{x}^{2}}+1}-x}{\sqrt{{{x}^{2}}-9}-4}=\mp \infty ;\underset{x\to {{5}^{\pm }}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{{{x}^{2}}+1}-x}{\sqrt{{{x}^{2}}-9}-4}=\pm \infty $ nên đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị hàm số đã cho có 4 đường tiệm cận.

Bài tập 5. Xác định $m$ để đồ thị hàm số $y=\frac{3}{4{{x}^{2}}+2\left( 2m+3 \right)x+{{m}^{2}}-1}$ có đúng hai tiệm cận đứng.

A. $m<-\frac{13}{12}$.

B. $-1<m<1$.

C. $m>-\frac{3}{2}$.

D. $m>-\frac{13}{12}$.

Lời giải

Chọn A

Đồ thị hàm số $y=\frac{x-1}{{{x}^{2}}+2\left( m-1 \right)x+{{m}^{2}}-2}$ có đúng hai tiệm cận đứng

<=> phương trình $f\left( x \right)={{x}^{2}}+2\left( m-1 \right)x+{{m}^{2}}-2=0$ có 2 nghiệm phân biệt khác 1.

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \Delta ‘ > 0 \hfill \\ f\left( 1 \right) \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {\left( {m – 1} \right)^2} – \left( {{m^2} – 2} \right) > 0 \hfill \\ 1 + 2\left( {m – 1} \right) + {m^2} – 2 \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} – 2m + 3 > 0 \hfill \\ {m^2} + 2m – 3 \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m < \frac{3}{2} \hfill \\ m \ne 1 \hfill \\ m \ne – 3 \hfill \\ \end{gathered} \right.$