Cách Tính Tổng N Số Hạng đầu Tiên Của Cấp Số Cộng Cực Hay Có Lời Giải

Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng cực hay có lời giải - Toán lớp 11 ❮ Bài trước Bài sau ❯

Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng cực hay có lời giải

Với Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng cực hay có lời giải Toán lớp 11 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 11.

A. Phương pháp giải

Cho cấp số cộng (un) có số hạng đầu là u1; công sai là d. Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:

+ Ngoài ra; ta còn có 1 cách tính khác là:

+ Chú ý: Cho dãy số (un) là cấp số cộng có công sai d. Cho x và y là hai số hạng của cấp số cộng. Khi đó từ x đến y có số số hạng là:

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho cấp số cộng (un) có u5 = −10 và u15 = 60. Tổng của 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:

A. S20 = 560 B. S20 = 480

C. S20 = 570 D. S20 = 475

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Theo giả thiết ta có:

Tổng 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:

Chọn C.

Ví dụ 2: Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn: . Tính tổng S = u5 + u6 + ..+ u30

A. – 1243 B. -1235

C. – 1345 D. - 1450

Hướng dẫn giải:

* Từ giả thiết bài toán, ta có:

* Ta có: u5; u6; ...; u30 là cấp số cộng có 26 số hạng; số hạng đầu là u5 = 2 + 4.(-3) = -10; công sai d = -3

=> Tổng

Chọn B.

Ví dụ 3: Cho dãy số (un) có d = –2; S8 = 72. Tính u1 ?

A. u1 = 16 B. u1 =- 16

C. u1 = 8 D. u1 = - 4

Hướng dẫn giải:

* Ta có:

* Lại có: u8 = u1 + 7d => u8 – u1 = 7d = -14 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Chọn A.

Ví dụ 4: Cho dãy số (un) là một cấp số cộng có u1 = -1; d = 2 và Sn= 483. Tính số các số hạng của cấp số cộng?

A. n = 20 B. n= 21

C. n= 22 D. n= 23.

Hướng dẫn giải:

Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng là

Chọn D.

Ví dụ 5: Cho (un) là cấp số cộng thỏa mãn: . Tính tổng của số hạng đầu và công sai của cấp số cộng.

A. 63 B. 67

C. 75 D. 81

Hướng dẫn giải:

Theo giả thiết ta có:

=> Tổng của số hạng đầu và công sai của cấp số cộng là: 86 + (−19) = 67

Chọn B.

Ví dụ 6: Cho một cấp số cộng (un) có u1 = 1 và tổng 100 số hạng đầu bằng 24850 . Tính

Hướng dẫn giải:

Gọi d là công sai của cấp số đã cho.

Ta có:

Chọn D.

Ví dụ 7: Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn . Tìm số hạng đầu tiên của cấp số cộng .

Hướng dẫn giải:

Theo giả thiết ta có :

Từ (1) suy ra : thế vào (2) ta được

Đặt khi đó phương trình (*) trở thành:

* Với thì

Với

Với

* Với t = 1 => d2 = 1 ⇔ d= ±1

Với

Với

Vậy ứng với 4 trường hơp sẽ có 4 giá trị của u1 thỏa mãn.

Chọn D.

Ví dụ 8: Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn: u4 + u8 + u11 + u17 = 100. Tính S19

A. 475 B. 500

C. 1000 D. 750

Hướng dẫn giải:

* Theo giả thiết ta có:

* Do đó:

Chọn A.

Ví dụ 9: Cho (un) là cấp số cộng thỏa mãn: u2 + u3 + u7 + u10 + u12 + u17 = 300. Tính u9 + u8

A. 50 B. 150

C.75 D. 100

Hướng dẫn giải:

*Theo giả thiết ta có:

u2 + u3 + u7 + u10 + u12 + u17 = 300

⇔ u1 + d + u1 + 2d + u1 + 6d + u1 + 9d + u1 +11d+ u1 + 16d = 300

⇔ 6u1 + 45d = 300 ⇔ 2u1 + 15d = 100

* Do đó;

Chọn D.

Ví dụ 10: Cho (un) là cấp số cộng và Sm = Sn với m ≠ n.Tính Sm+n

A. 0 B. Sm − Sn

C. Sn − Sm D. Sn + Sm

Hướng dẫn giải:

* Ta có:

Do Sm = Sn với m ≠ n nên ta có:

* Ta có: (do (*)

Chọn A.

Ví dụ 11: Tính tổng sau: S = 2 + 4 + 6 + ...+ (2n − 2) + 2n

Hướng dẫn giải:

Ta có dãy số 2, 4, 6,.., 2n − 2, 2n là cấp số cộng với công sai d = 2 và u1 = 2, số hạng tổng quát un= 2 + 2(n-1) = 2n. Dãy số này có n số hạng.

Chọn B.

Ví dụ 12: Gọi Khi đó S20 có giá trị là

A. 34 B. 30,5

C. 325 D. 32,5

Hướng dẫn giải:

Có

Chọn D

Ví dụ 13: Cho cấp số cộng (un) có công sai d = 1 và u22 − 2u32 − u42 đạt giá trị lớn nhất. Tính tổng S20 của 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.

A.120 B. 125

C.130 D.135

Hướng dẫn giải:

Đặt a = u1 thì

với mọi a.

Dấu bằng xảy ra khi a + 3 = 0 ⇔ a = −3.

Suy ra u1 = −3.

Ta có .

Chọn C.

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Cho cấp số cộng: −4; −8; −12; −16...Tìm công sai của cấp số cộng và tổng của 10 số hạng đầu tiên?

A.110 B. -220

C.220 D. -110

Lời giải:

Đáp án: B

Ta có: −16 − (−12) = −12 − (−8) = −8 − (−4) = −4

Nên công sai d = −4

Áp dụng công thức nên tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số cộng:

Câu 2: Cho dãy số (un) có d = 1; S5 = 65. Tính u2?

A. 12 B. 13

C. 14 D.10

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có:

=>u1 + u5 = 26 (1)

Lại có: u5 = u1 + 4d = u1 + 4

=> u5 − u1 = 4 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Số hạng thứ hai của dãy số là: u2 = u1 + d = 11 + 1 = 12

Câu 3: Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn . Tính S = u1 + u4 + u7 +..+ u2011 .

A. S = 2023 736 B. S = 2534134

C. S = 673044 D. S = 2198 650

Lời giải:

Đáp án: A

* Gọi d là công sai của cấp số cộng, theo giả thiết ta có:

Ta có công sai d = 3 và số hạng đầu u1 = 1.

* Ta có các số hạng u1; u4; u7;...; u2011 lập thành một cấp số cộng gồm: số hạng với công sai d’ = 3d = 9.

nên ta có:

Câu 4: Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn: . Tính tổng 20 số hạng đầu của cấp số cộng là :

A. −565 B. −530

C. −652 D. −285

Lời giải:

Đáp án: B

* Từ giả thiết bài toán, ta có:

Tổng của 20 số hạng đầu:

Câu 5: Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn . Tính tổng S= u5 + u7 + ..+ u2011

A. S = 3028760 B. S = 3420198

C. S = 3034088 D. S = 3298701

Lời giải:

Đáp án: C

* Theo giả thiết ta có:

=> Số hạng thứ 5 là: u5 = u1 + 4d = 1 + 4.3 = 13

* Ta có u5; u7..,u2011 lập thành cấp số cộng với công sai d' = 2d = 6 và có số hạng nên .

Câu 6: Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn: . Tìm số hạng đầu của cấp số cộng .

Lời giải:

Đáp án: A

Theo giả thiết ta có:

Vậy số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:

Câu 7: Cho (un) là cấp số cộng thỏa mãn: . Tìm số hạng thứ 5 của cấp số cộng.

A. 10 B. 5

C. 8 D.0

Lời giải:

Đáp án: D

Theo giả thiết ta có:

=> Số hạng thứ 5 của cấp số cộng là: u5 = u1 + 4d = 0

Câu 8: Cho (un) là cấp số cộng thỏa mãn: u2 + u22 = 20. Tính S23?

A. 120 B. 230

C. 150 D. 200

Lời giải:

Đáp án: B

Theo giả thiết thì u2 + u22 = 20

⇔ u1 + d + u1 + 21d = 20

⇔ 2u1 + 22d = 20

Lại có:

Câu 9: Cho (un) là cấp số cộng thỏa mãn: u21 + u59 = 30. Tính u20 + u59 + u158 + 3u1

A.90 B.120

C.150 D. 180

Lời giải:

Đáp án: A

* Theo giả thiết ta có: u1 + u59 = 30

⇔ u1 + 20d+ u1 + 58d = 30

⇔ 2u1 + 78d = 30

* Do đó; u20 + u59 + u158 + 3u1

= u1 + 19d + u1 + 58d + u1 + 157d + 3u1

= 6u1 + 234 = 3. (2u1 + 78d) = 3 . 30 = 90.

Câu 10: Cho (un) là cấp số cộng. Đặt Sn = m; Sn = m với (m ≠ n). Tính Sm+n

A. – m- n B.n+ m

C .2n+2m D.n.m

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có Sm = n nên

Tương tự do Sn = m nên: 2nu1 + (n2 − n)d = 2m

Từ (1) và (2) vế trừ vế ta được :

Do m ≠ n nên:

Mặt khác ta có:

Thay kết quả (*) vào biểu thức của Sm+n ta được:

Câu 11: Tính tổng sau: S = 1002 − 992 + 982 − 972 + ..+ 22 − 12

A. 5000 B.5050

C.5100 D. 5150

Lời giải:

Đáp án: B

Ta có:

S = 1002 – 992 + 982 – 972 + ...+ 22 - 12

⇔ S = (100 - 99) . ( 100+ 99)+ (98- 97). (98+ 97)+ ...+ ( 2-1)(2+ 1)

⇔ S = 199 + 195 + 191+ ...+ 3

Ta có dãy số 199, 195, 191,.., 3 là cấp số cộng với công sai d = -4, số hạng đầu tiên u1 = 199 và có số hạng

Vậy tổng

Câu 12: Cho cấp số cộng có tổng của n số hạng đầu tiên được tính bởi công thức Sn = 4n − n2. Gọi M là tổng của số hạng đầu tiên và công sai của cấp số cộng đó. Khi đó :

A. M = 7 B. M= 4

C. M=- 1 D. M= 1

Lời giải:

Đáp án: D

Ta có:

Câu 13: Người ta trồng 3003 cây theo hình một tam giác như sau: hàng thứ nhất có 1 cây; hàng thứ 2 có 2 cây; hàng thứ 3 có 3 cây...hỏi có bao nhiêu hàng?

A.76 B.77

C.78 D.79

Lời giải:

Đáp án: B

Gọi số hàng cây là n.

Gọi số cây lần lượt trên các hàng là 1;2;3..;n.

Đây là một cấp số cộng với số hạng đầu u1 = 1; d = 1.

Ta có:

Vậy số hàng cần tìm là 77.