Cách Tính Tổng N Số Hạng đầu Tiên Của Cấp Số ...

Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng cực hay có lời giải

A. Phương pháp giải

Cho cấp số cộng (un) có số hạng đầu là u1; công sai là d. Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:

+ Ngoài ra; ta còn có 1 cách tính khác là:

+ Chú ý: Cho dãy số (un) là cấp số cộng có công sai d. Cho x và y là hai số hạng của cấp số cộng. Khi đó từ x đến y có số số hạng là:

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho (un) là cấp số cộng và Sm = Sn với m ≠ n.Tính Sm+n

A. 0 B. Sm − Sn

C. Sn − Sm D. Sn + Sm

Hướng dẫn giải:

* Ta có:

Do Sm = Sn với m ≠ n nên ta có:

* Ta có: (do (*)

Chọn A.

Ví dụ 2: Tính tổng sau: S = 2 + 4 + 6 + ...+ (2n − 2) + 2n

Hướng dẫn giải:

Ta có dãy số 2, 4, 6,.., 2n − 2, 2n là cấp số cộng với công sai d = 2 và u1 = 2, số hạng tổng quát un= 2 + 2(n-1) = 2n. Dãy số này có n số hạng.

Chọn B.

Ví dụ 3: Gọi Khi đó S20 có giá trị là

A. 34 B. 30,5

C. 325 D. 32,5

Hướng dẫn giải:

Có

Chọn D

Ví dụ 4: Cho dãy số (un) có d = –2; S8 = 72. Tính u1 ?

A. u1 = 16 B. u1 =- 16

C. u1 = 8 D. u1 = - 4

Hướng dẫn giải:

* Ta có:

* Lại có: u8 = u1 + 7d => u8 – u1 = 7d = -14 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Chọn A.

Ví dụ 5: Cho dãy số (un) là một cấp số cộng có u1 = -1; d = 2 và Sn= 483. Tính số các số hạng của cấp số cộng?

A. n = 20 B. n= 21

C. n= 22 D. n= 23.

Hướng dẫn giải:

Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng là

Chọn D.

Ví dụ 6: Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn . Tìm số hạng đầu tiên của cấp số cộng .

Hướng dẫn giải:

Theo giả thiết ta có :

Từ (1) suy ra : thế vào (2) ta được

Đặt khi đó phương trình (*) trở thành:

* Với thì

Với

Với

* Với t = 1 => d2 = 1 ⇔ d= ±1

Với

Với

Vậy ứng với 4 trường hơp sẽ có 4 giá trị của u1 thỏa mãn.

Chọn D.

Ví dụ 7: Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn: u4 + u8 + u11 + u17 = 100. Tính S19

A. 475 B. 500

C. 1000 D. 750

Hướng dẫn giải:

* Theo giả thiết ta có:

* Do đó:

Chọn A.

Ví dụ 8: Cho (un) là cấp số cộng thỏa mãn: . Tính tổng của số hạng đầu và công sai của cấp số cộng.

A. 63 B. 67

C. 75 D. 81

Hướng dẫn giải:

Theo giả thiết ta có:

=> Tổng của số hạng đầu và công sai của cấp số cộng là: 86 + (−19) = 67

Chọn B.

Ví dụ 9: Cho một cấp số cộng (un) có u1 = 1 và tổng 100 số hạng đầu bằng 24850 . Tính

Hướng dẫn giải:

Gọi d là công sai của cấp số đã cho.

Ta có:

Chọn D.

Ví dụ 10: Cho cấp số cộng (un) có u5 = −10 và u15 = 60. Tổng của 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:

A. S20 = 560 B. S20 = 480

C. S20 = 570 D. S20 = 475

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Theo giả thiết ta có:

Tổng 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:

Chọn C.

Ví dụ 11: Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn: . Tính tổng S = u5 + u6 + ..+ u30

A. – 1243 B. -1235

C. – 1345 D. - 1450

Hướng dẫn giải:

* Từ giả thiết bài toán, ta có:

* Ta có: u5; u6; ...; u30 là cấp số cộng có 26 số hạng; số hạng đầu là u5 = 2 + 4.(-3) = -10; công sai d = -3

=> Tổng

Chọn B.

Ví dụ 12: Cho (un) là cấp số cộng thỏa mãn: u2 + u3 + u7 + u10 + u12 + u17 = 300. Tính u9 + u8

A. 50 B. 150

C.75 D. 100

Hướng dẫn giải:

*Theo giả thiết ta có:

u2 + u3 + u7 + u10 + u12 + u17 = 300

⇔ u1 + d + u1 + 2d + u1 + 6d + u1 + 9d + u1 +11d+ u1 + 16d = 300

⇔ 6u1 + 45d = 300 ⇔ 2u1 + 15d = 100

* Do đó;

Chọn D.

Ví dụ 13: Cho cấp số cộng (un) có công sai d = 1 và u22 − 2u32 − u42 đạt giá trị lớn nhất. Tính tổng S20 của 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.

A.120 B. 125

C.130 D.135

Hướng dẫn giải:

Đặt a = u1 thì

với mọi a.

Dấu bằng xảy ra khi a + 3 = 0 ⇔ a = −3.

Suy ra u1 = −3.

Ta có .

Chọn C.

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn . Tính S = u1 + u4 + u7 +..+ u2011 .

A. S = 2023 736 B. S = 2534134

C. S = 673044 D. S = 2198 650

Câu 2: Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn: . Tính tổng 20 số hạng đầu của cấp số cộng là :

A. −565 B. −530

C. −652 D. −285

Câu 3: Cho (un) là cấp số cộng. Đặt Sn = m; Sn = m với (m ≠ n). Tính Sm+n

A. – m- n B.n+ m

C .2n+2m D.n.m

Câu 4: Tính tổng sau: S = 1002 − 992 + 982 − 972 + ..+ 22 − 12

A. 5000 B.5050

C.5100 D. 5150

Câu 5: Cho (un) là cấp số cộng thỏa mãn: . Tìm số hạng thứ 5 của cấp số cộng.

A. 10 B. 5

C. 8 D.0

Câu 6: Cho (un) là cấp số cộng thỏa mãn: u2 + u22 = 20. Tính S23?

A. 120 B. 230

C. 150 D. 200

Câu 7: Cho (un) là cấp số cộng thỏa mãn: u21 + u59 = 30. Tính u20 + u59 + u158 + 3u1

A.90 B.120

C.150 D. 180

Câu 8: Cho cấp số cộng: −4; −8; −12; −16...Tìm công sai của cấp số cộng và tổng của 10 số hạng đầu tiên?

A.110 B. -220

C.220 D. -110

Câu 9: Cho dãy số (un) có d = 1; S5 = 65. Tính u2?

A. 12 B. 13

C. 14 D.10

Câu 10: Cho cấp số cộng có tổng của n số hạng đầu tiên được tính bởi công thức Sn = 4n − n2. Gọi M là tổng của số hạng đầu tiên và công sai của cấp số cộng đó. Khi đó :

A. M = 7 B. M= 4

C. M=- 1 D. M= 1

Câu 11: Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn . Tính tổng S= u5 + u7 + ..+ u2011

A. S = 3028760 B. S = 3420198

C. S = 3034088 D. S = 3298701

Câu 12: Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn: . Tìm số hạng đầu của cấp số cộng .

Câu 13: Người ta trồng 3003 cây theo hình một tam giác như sau: hàng thứ nhất có 1 cây; hàng thứ 2 có 2 cây; hàng thứ 3 có 3 cây...hỏi có bao nhiêu hàng?

A.76 B.77

C.78 D.79