Cách Xét Tính Liên Tục Của Hàm Số, Các Dạng Bài Tập Về ... - HayHocHoi

Bài viết dưới đây sẽ giúp ta biết cách xét tính liên tục của hàm số, vận dụng giải các dạng bài tập về hàm số liên tục như: Xét tính liên tục của hàm số tại 1 điểm (x=0), trên một đoạn hay một khoảng, tìm các điểm gián đoạn của hàm số, hay chứng minh phương trình f(x)=0 có nghiệm.

I. Lý thuyết về hàm số liên tục (tóm tắt)

1. Hàm số liên tục tại 1 điểm

- Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) và x0 ∈ (a;b). Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại x0 nếu:

 

- Hàm số f(x0) không liên tục tại điểm x0 thì x0 được gọi là điểm gián đoạn của hàm số f(x).

2. Hàm số liên tục trên một khoảng

- Định nghĩa: Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.

- Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên đoan [a;b] nếu nó liên tục trên khoảng (a;b) và:

 

3. Một số định lý cơ bản về hàm số liên tục

• Định lý 1:

a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực R.

b) Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của 2 đa thức) và các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng.

• Định lý 2:

- Giả sử f(x) và g(x) là hai hàm số liên tục tại điểm x0. Khi đó:

a) Các hàm số f(x) + g(x); f(x) - g(x) và f(x).g(x) liên tục tại x0.

b) hàm số  liên tục tại x0 nếu g(x0) ≠ 0.

• Định lý 3:

- Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a)f(b) < 0, thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a;b) sao cho f(c) = 0.

II. Các dạng bài tập về hàm số liên tục

° Dạng 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x0.

* Phương pháp:

- Bước 1: Tính f(x0)

- Bước 2: Tính  hoặc

- Bước 3: So sánh:  hoặc  với  rồi rút ra kết luận

- Nếu  hoặc  thì kết luận hàm số liên tục tại 

- Nếu  không tồn tại hoặc  thì kết luận hàm số không liên tục tại x0.

- Bước 4: Kết luận.

* Ví dụ 1 (Bài 1 trang 140 SGK Đại số 11): Dùng định nghĩa xét tính liên tục của hàm số f(x)=x3 + 2x - 1 tại x0=3.

° Lời giải ví dụ 1 (Bài 1 trang 140 SGK Đại số 11):

- Ta có: f(x) = x3 + 2x - 1

⇒ f(3) = 33 + 2.3 - 1 = 32

 

⇒ f(x) liên tục tại x0 = 3.

* Ví dụ 2 (Bài 2 trang 140 SGK Đại số 11): a) Xét tính liên tục của hàm số y = g(x) tại x0 = 2, biết:

 

b) Trong biểu thức g(x) ở trên, cần thay số 5 bởi số nào đó để hàm số liên tục tại x0 = 2.

° Lời giải ví dụ 2 (Bài 2 trang 140 SGK Đại số 11):

- Ta có: g(2) = 5.

  

 

⇒ g(x) không liên tục tại x0 = 2.

b) Để g(x) liên tục tại x0 = 2 thì:

 

- Vậy chỉ cần thay 5 bằng 12 thì hàm số liên tục tại x0 = 2.

* Ví dụ 3: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x = 1.

 

° Lời giải ví dụ 3:

- Ta có: f(1) = 1

   

 

⇒ Vậy hàm số f(x) không liên tục (gián đoạn) tại điểm x = 1.

* Ví dụ 4: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x = 0.

 

° Lời giải ví dụ 4:

- Ta có: f(0) = 02 - 2.0 + 2 = 2.

  

 

⇒ Vậy hàm số f(x) liên tục tại điểm x = 0.

° Dạng 2: Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng, một đoạn.

* Phương pháp:

- Áp dụng định lý 1, định lý 2 để xét tính liên tục của hàm số trên từng khoảng xác định của nó.

- Nếu hàm số xác định bởi 2 hoặc 3 công thức, ta thường xét tính liên tục tại các điểm đặc biệt của hàm số đó.

* Ví dụ 1: Cho hàm số 

Chứng minh rằng hàm số liên tục trên khoảng (-7;+∞).

° Lời giải:

• Khi x > 2 thì f(x) = x2 - x + 4 là hàm liên tục trên khoảng (2; +∞).

• Khi -7 < x < 2 thì 

- Hàm số y = x - 2 là đa thức nên nó liên tục trên khoảng (-7;2)

- Hàm số y = x + 7 là đa thức nên nó liên tục trên khoảng (-7;2)

 ⇒ hàm số  liên tục trên khoảng (-7;2)

 ⇒ hàm số  liên tục trên khoảng (-7;2)

- Mặt khác: 

 Vậy hàm số  liên tục trên khoảng (-7;2).

• Khi x = 2 thì f(2) = 22 - 2 + 4 = 6.

 

  

 

⇒ Hàm số f(x) liên tục tại điểm x = 2.

- Kết luận: Hàm số f(x) liên tục trên khoảng (-7;+∞).

* Ví dụ 2: Tìm a, b để hàm số sau liên tục: 

° Lời giải:

• Khi x < 3 thì f(x) = 1 là hàm hằng nên nó liên tục trên khoảng (-∞;3)

• Khi 3 < x < 5 thì f(x) = ax + b là đa thwucs nên nó liên tục trên khoảng (3;5)

• Khi x > 5 thì f(x) = 3 là hàm hằng nên nó liên tục trên khoảng (5;+∞).

• Khi x = 3 thì f(3)  = 3a + b

 

 

⇒ Để hàm số liên tục tại điểm x = 3 thì:

   (*)

• Khi x = 5 thì f(5)  = 5a + b

 

 

⇒ Để hàm số liên tục tại điểm x = 5 thì:

  (**)

Từ (*) và (**) ta có: 

- Vậy khi a = 1 và b = -2 thì hàm số f(x) liên tục trên R, khi đó:

 

* Ví dụ 3 (Bài 4 trang 141 SGK Đại số 11): Cho các hàm số  và g(x) = tanx + sinx. Với mỗi hàm số, hãy xác định các khoảng trên đó hàm liên tục.

° Lời giải ví dụ 3 (Bài 4 trang 141 SGK Đại số 11):

• Hàm số  xác định khi và chỉ khi:

 x2 + x - 6 ≠ 0 ⇔ x ≠ 2 và x ≠ -3.

 ⇒ TXĐ: D = R{-3;2}

- Hàm số f(x) liên tục trên các khoảng (-∞;-3), (-3;2) và (2;+∞).

• Hàm số g(x) = tanx + sinx xác định khi và chỉ khi:

 

- Hàm số g(x) liên tục trên các khoảng: 

° Dạng 3: Tìm điểm gián đoạn của hàm số f(x)

* Phương pháp: x0 là điểm gián đoạn của hàm số f(x) nếu tại điểm x0 hàm số không liên tục. Thông thường x0 thỏa mãn một trong các trường hợp sau:

1) f(x) không tồn tại

2)  không tồn tại

3) 

* Ví dụ: Cho a và b là hai tham số, tìm các điểm gián đoạn của hàm số sau:

 

° Lời giải:

- TXĐ: R nên ta chỉ xét sự gián đoạn của hàm số tại các điểm x = 0 và x = 3.

• Tại x = 0.

- Ta có: f(0) = a và

 

⇒ x = 0 là điểm gián đoạn của hàm số.

• Tại x = 3.

- Ta có: f(3) = b và

- Nếu  và với mọi a thì điểm gián đoạn của hàm số là x = 0; x = 3;

- Nếu  và với mọi a thì điểm gián đoạn của hàm số là x = 0;

° Dạng 4: Chứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm.

* Phương pháp: 

1) Chứng mình phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm

- Tìm hai số a, b sao cho f(a).f(b) < 0

- Hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a,b]

- Phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm x0 ∈ (a;b).

2) Chứng minh phương trình f(x) = 0 có ít nhất k nghiệm

- Tìm k cặp số ai, bi sao cho các khoảng (ai; bi) rời nhau và:

 f(ai).f(bi) < 0, i =1, 2,... , k

- Phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm xi (ai; bi).

3) Khi phương trình f(x) = 0 có chứa tham số thì cần chọn a, b sao cho:

- f(a), f(b) không còn chứa tham số hoặc còn chứa tham số nhưng dấu không đổi.

- Hoặc f(a), f(b) còn chứa tham số nhưng tích f(a).f(b) luôn âm.

* Ví dụ 1 (Bài 6 trang 141 SGK Đại số 11): Chứng minh rằng phương trình:

a) 2x3 – 6x + 1 = 0 có ít nhất hai nghiệm.

b) cosx = x có nghiệm

° Lời giải ví dụ 1 (Bài 6 trang 141 SGK Đại số 11):

a) Đặt f(x) = 2x3 – 6x + 1

- TXĐ: D = R

- f(x) là hàm đa thức nên liên tục trên R.

- Vậy ta có:

 f(-2) = 2.(-2)3 – 6(-2) + 1 = - 3 < 0

 f(0) = 1 > 0

 f(1) = 2.13 – 6.1 + 1 = -3 < 0.

⇒ f(-2).f(0) < 0 và f(0).f(1) < 0

⇒ f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (-2; 0) và ít nhất một nghiệm thuộc (0; 1)

⇒ phương trình f(x) = 0 có ít nhất hai nghiệm.

b) Xét hàm số g(x) = x – cosx liên tục trên R.

- Do đó liên tục trên đoạn [-π; π] ta có:

 g(-π) = -π – cos(-π) = -π + 1 < 0

 g(π) = π – cosπ = π - (-1) = π + 1 > 0

⇒ g(-π). g(π) < 0

⇒ Phương trình x – cosx = 0 có nghiệm trong khoảng (-π; π)

⇒ Phương trình cosx = x có nghiệm.

* Ví dụ 2: Chứng minh rằng phương trình (1 - m2)x5 - 3x - 1 = 0 luôn có nghiệm với mọi m.

° Lời giải ví dụ 2:

• Đặt f(x) = (1 - m2)x5 - 3x - 1

- Ta có: f(0) = -1; f(-1) = m2 + 1

⇒ f(0).f(-1) = -1.(m2 + 1) = -(m2 + 1) < 0, ∀m ∈ R.

- Mặt khác: f(x) = (1 - m2)x5 - 3x - 1 là hàm đa thức nên liên tục trên [-1;0]

⇒ Phương trình (1 - m2)x5 - 3x - 1 = 0 có ít nhất một nghiệm x0 ∈ (-1;0)

⇒ Phương trình (1 - m2)x5 - 3x - 1 = 0 luôn có nghiệm với mọi m.

* Ví dụ 3: Cho phương trình ax2 + bx + c = 0, (a ≠ 0) thỏa mãn 2a + 6b + 19c = 0. Chứng minh phương trình có nghiệm trong [0;1/3].

° Lời giải ví dụ 3:

• Đặt f(x) = ax2 + bx + c ; (a ≠ 0) liên tục trên R

- Ta có:  

  

 trái dấu hoặc 

- Vậy phương trình ax2 + bx + c = 0, (a ≠ 0)  có nghiệm trong đoạn [0;1/3].