Cho A + B=1 . CMR: \(a^3+b^3+ab\ge\frac{1}{2}\) - Olm

Học liệu Hỏi đáp Đăng nhập Đăng ký

• Học bài
• Hỏi bài
• Kiểm tra
• ĐGNL
• Thi đấu
• Thư viện số
• Bài viết Cuộc thi Tin tức Blog học tập
• Trợ giúp
• Về OLM

🚨 SIÊU SALE NGÀY CUỐI - MỞ ĐỀ TẶNG VIP

OLM Class tuyển sinh lớp bứt phá học kỳ II! Đăng ký ngay

• Mẫu giáo
• Lớp 1
• Lớp 2
• Lớp 3
• Lớp 4
• Lớp 5
• Lớp 6
• Lớp 7
• Lớp 8
• Lớp 9
• Lớp 10
• Lớp 11
• Lớp 12
• ĐH - CĐ

K Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

Xác nhận câu hỏi phù hợp

×

Chọn môn học Tất cả Toán Vật lý Hóa học Sinh học Ngữ văn Tiếng anh Lịch sử Địa lý Tin học Công nghệ Giáo dục công dân Âm nhạc Mỹ thuật Tiếng anh thí điểm Lịch sử và Địa lý Thể dục Khoa học Tự nhiên và xã hội Đạo đức Thủ công Quốc phòng an ninh Tiếng việt Khoa học tự nhiên Mua vip

• Tất cả
• Mới nhất
• Câu hỏi hay
• Chưa trả lời
• Câu hỏi vip

PH Pham Hoàng Lâm 7 tháng 9 2015 - olm

Cho a + b=1 . CMR: \(a^3+b^3+ab\ge\frac{1}{2}\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9 2 TT Trần Thị Loan 7 tháng 9 2015

a3 + b3 + ab = (a + b)3 - 3ab(a + b) + ab = 1 - 3ab + ab = 1 - 2ab = 1 - 2a. (1 - a) = 2a2 - 2a + 1

= 2. (a2 - a + \(\frac{1}{4}\)) + \(\frac{1}{2}\) = 2. (a - \(\frac{1}{2}\))2 + \(\frac{1}{2}\)\(\ge\) \(\frac{1}{2}\) với mọi a

=> a3 + b3 + ab \(\ge\) \(\frac{1}{2}\)

Dấu "=" xảy ra <=> a = b = 1/2

Đúng(0) NT Nguyễn Thị Nguyệt 22 tháng 4 2017

Bài tập biến đổi công thức thành hằng đẳng thức này biến hóa quá !!

e sẽ ghi lại và học lại các hằng đẳng thức cho chắc,lâu lâu lại quên ,bài của cô giải e khâm phục,e dốt quá!

Đúng(0) Xem thêm câu trả lời Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên K khoimzx 11 tháng 2 2020

cho a,b>0 cm\(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\ge\frac{2}{1+ab}\) nếu \(ab\ge1\)

b) cho a,b,c\(\ge\)1. CMR \(\frac{1}{1+a^4}+\frac{1}{1+b^4}+\frac{1}{1+c^4}\ge\frac{1}{1+ab^3}+\frac{1}{1+bc^3}+\frac{1}{1+ca^3}\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9 1 NV Nguyễn Việt Lâm 11 tháng 2 2020

\(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\ge\frac{2}{1+ab}\Leftrightarrow\frac{2+a^2+b^2}{\left(1+a^2+b^2+a^2b^2\right)}\ge\frac{2}{1+ab}\)

\(\Leftrightarrow\left(1+ab\right)\left(2+a^2+b^2\right)\ge2a^2b^2+2a^2+2b^2+2\)

\(\Leftrightarrow ab\left(a^2+b^2-2ab\right)-\left(a^2+b^2-2ab\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(ab-1\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)

b/ \(\frac{1}{1+a^4}+\frac{1}{1+b^4}+\frac{2}{1+b^4}\ge\frac{2}{1+a^2b^2}+\frac{2}{1+b^4}\ge\frac{4}{1+ab^3}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{1+a^4}+\frac{3}{1+b^4}\ge\frac{4}{1+ab^3}\)

Hoàn toàn tương tự: \(\frac{1}{1+b^4}+\frac{3}{1+c^4}\ge\frac{4}{1+bc^3}\); \(\frac{1}{1+c^4}+\frac{3}{1+a^4}\ge\frac{4}{1+a^3c}\)

Cộng vế với vế ta có đpcm

Đúng(0) DT Đặng Tuấn Anh 4 tháng 11 2016 - olm câu 1 :Cmr a)\(\frac{a^2+b^2}{2}\ge\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\)b) \(\frac{a^3+b^3+c^3}{3}\ge\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3\)câu 2 : cho a+b=1 .Cm \(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\ge\frac{4}{3}\)câu 3: cho a+b+c=1và a,b,c>0.CMR \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge9\)câu 4 Tim max của : ab+2(a+b)  ...biết...Đọc tiếp

câu 1 :Cmr a)\(\frac{a^2+b^2}{2}\ge\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\)

b) \(\frac{a^3+b^3+c^3}{3}\ge\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3\)

câu 2 : cho a+b=1 .Cm \(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\ge\frac{4}{3}\)

câu 3: cho a+b+c=1và a,b,c>0.CMR \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge9\)

câu 4 Tim max của : ab+2(a+b)  ...biết a2+b2=1

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9 1 TN Thắng Nguyễn 5 tháng 11 2016

Câu 1: a)

b) Áp dụng Bđt Holder ta có:

\(\Rightarrow9\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\left(a+b+c\right)^3\)

\(\Rightarrow\frac{a^3+b^3+c^3}{3}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^3}{27}=\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3\)(đpcm)

Dấu = khi a=b=c

Câu 2:

Áp dụng Bđt \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)ta có:

\(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\ge\frac{4}{a+b+1+1}=\frac{4}{3}\)(Đpcm)

Dấu = khi \(a=b=\frac{1}{2}\)

Câu 3:

Áp dụng Bđt \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\)ta có:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=9\left(a+b+c=1\right)\)(Đpcm)

Dấu = khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Câu 4: nghĩ sau

Đúng(0) NT Nhâm Thị Ngọc Mai 17 tháng 5 2017 - olm

Cho a,b,c\(\ge\)0 và \(a^2+b^2+c^2=1.\)CMR:\(\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ac}\ge\frac{3}{2}.\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9 2 TN Thắng Nguyễn 17 tháng 5 2017

Chắc chắn là \(a^2+b^2+c^2=3\) rồi, thử \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\) là rõ

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:

\(\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ac}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{3+ab+bc+ca}\)

Ta có BĐT cơ bản \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

\(\Rightarrow\frac{\left(1+1+1\right)^2}{3+ab+bc+ca}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{3+a^2+b^2+c^2}\)

\(\Rightarrow VT\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{3+a^2+b^2+c^2}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}=VP\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Đúng(0) AN alibaba nguyễn 17 tháng 5 2017

\(a^2+b^2+c^2=1\) hay \(a^2+b^2+c^2=3\)

Đúng(0) Xem thêm câu trả lời KT Kim Taehyung 2 tháng 9 2019

1. Cho a,b không âm

CMR : \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)

2. Cho a,b không âm

CMR : \(\sqrt{\frac{a+b}{2}}\ge\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\)

3. Cho biểu thức :

\(M=\frac{1}{\sqrt{1\cdot2005}}+\frac{1}{\sqrt{2\cdot2004}}+...+\frac{1}{\sqrt{2005\cdot1}}\)

CMR : \(M\ge\frac{2005}{1003}\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9 5 FC Fa Châu De 2 tháng 9 2019

1. Ta có:

\(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\) ( Nếu a, b ≥ 0)

=> \(a-2\sqrt{ab}+b\ge0\)

=> \(\left(a-2\sqrt{ab}+b\right)+2\sqrt{ab}\ge0+2\sqrt{ab}\)

=> \(a+b\ge2\sqrt{ab}\) => \(\frac{\left(a+b\right)}{2}\ge\frac{2\sqrt{ab}}{2}\)

=> \(\frac{\left(a+b\right)}{2}\ge\sqrt{ab}\);

(Dấu "=" xảy ra khi \(\sqrt{a}-\sqrt{b}=0\) => a = b)

Đúng(0) TT Trần Thanh Phương 2 tháng 9 2019

1. BĐT \(\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\) ( luôn đúng )

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)

2. BĐT \(\Leftrightarrow\frac{a+b}{2}\ge\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{4}\)

\(\Leftrightarrow2\left(a+b\right)\ge a+2\sqrt{ab}+b\)

\(\Leftrightarrow a-2\sqrt{ab}+b\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\) ( luôn đúng )

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)

3. Ta có: \(M=\frac{2}{\sqrt{1\cdot2005}}+\frac{2}{\sqrt{2\cdot2004}}+...+\frac{2}{\sqrt{1003\cdot1003}}\)

Áp dụng BĐT Cô-si:

\(\sqrt{1\cdot2005}\le\frac{1+2005}{2}=1003\)

Do dấu "=" không xảy ra nên \(\sqrt{1\cdot2005}< 1003\)

Khi đó: \(\frac{2}{\sqrt{1\cdot2005}}>\frac{2}{1003}\)

Chứng minh tương tự với các phân thức còn lại rồi cộng vế ta được :

\(M>\frac{2006}{1003}>\frac{2005}{1003}\) ( đpcm )

Đúng(0) Xem thêm câu trả lời NK Nguyễn Khắc Tùng Lâm 25 tháng 6 2019 1) Cho x,y,z > -1 thỏa mãn: \(x^3+y^3+z^3\)≥ \(x^2+y^2+z^2\) CMR: \(x^5+y^5+z^5\)≥ \(x^2+y^2+z^2\) 2. Cho a,b,c ϵ {0;1;2} và a+b+c=3 CMR: \(a^2+b^2+c^2\) ≤ 5 3. Cho \(a_1,a_2,..,a_9\in\left[-1;1\right]\) sao cho \(a^3_1+a^3_2+...+a^3_9=0\) CMR: \(a^3_1+a^3_2+...+a^3_9\le3\) 4. Cho \(ab\ge1\). CMR: \(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}\ge\frac{2}{1+ab}\) 5. Cho a,b,c >0....Đọc tiếp

1) Cho x,y,z > -1 thỏa mãn:

\(x^3+y^3+z^3\)≥ \(x^2+y^2+z^2\)

CMR: \(x^5+y^5+z^5\)≥ \(x^2+y^2+z^2\)

2. Cho a,b,c ϵ {0;1;2} và a+b+c=3

CMR: \(a^2+b^2+c^2\) ≤ 5

3. Cho \(a_1,a_2,..,a_9\in\left[-1;1\right]\) sao cho \(a^3_1+a^3_2+...+a^3_9=0\)

CMR: \(a^3_1+a^3_2+...+a^3_9\le3\)

4. Cho \(ab\ge1\). CMR: \(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}\ge\frac{2}{1+ab}\)

5. Cho a,b,c >0. CMR:

\(\frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{c^2+a^2}{c+a}\le3\cdot\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9 6 T tthnew 26 tháng 6 2019

5/ Tưỡng dễ ăn = sos + bđt phụ ai ngờ....hic...

\(BĐT\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\left(\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}-\frac{a^2+b^2}{a+b}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\left(\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b\right)-\left(a^2+b^2\right)\left(a+b+c\right)}{\left(a+b+c\right)\left(a+b\right)}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{ca\left(c-a\right)-bc\left(b-c\right)}{\left(a+b+c\right)\left(a+b\right)}\ge0\)\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\left(\frac{ca\left(c-a\right)}{\left(a+b+c\right)\left(a+b\right)}-\frac{ca\left(c-a\right)}{\left(a+b+c\right)\left(b+c\right)}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{ca\left(c-a\right)^2}{\left(a+b+c\right)}\ge0\left(\text{đúng}\right)\)

Ai ngờ nổi khi không dùng BĐT phụ lại dễ hơn cái kia chứ -_-

Đúng(0) T tthnew 26 tháng 6 2019

Ây za,nhầm dòng cuối cùng xíu ạ:

\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{ca\left(c-a\right)^2}{\left(a+b+c\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)}\ge0\left(\text{đúng}\right)\) -_- đánh thiếu một chút lại ra nông nỗi -_-

Đúng(0) Xem thêm câu trả lời NP Nguyễn Phan Thục Trinh 10 tháng 7 2019 - olm

Bài 1: Cho a,b>0.CMR: \(ab+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge a+b+1\)

 

Bài 2: Với \(\forall\)a \(\in\)R. CMR: \(a+\frac{1}{a-1}\ge3\) 

Bài 3: Với mọi a,b,c>0. CMR: \(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge a+b+c\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9 1 G Girl 11 tháng 7 2019

1)Áp dụng bđt AM-GM:

\(2\left(ab+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)=\left(ab+\frac{a}{b}\right)+\left(ab+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\ge2\left(a+b+1\right)\)

\(\Leftrightarrow ab+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge a+b+1."="\Leftrightarrow a=b=1\)

2) Áp dụng bđt AM-GM ta có: \(a+\frac{1}{a-1}=a-1+1+\frac{1}{a-1}\ge2\sqrt{\left(a-1\right).\frac{1}{a-1}}+1=3\)

\("="\Leftrightarrow a=2\)

3) Áp dụng bđt AM-GM:

\(2\left(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\right)=\left(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\right)+\left(\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\right)+\left(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)

Cộng theo vế và rg => ddpcm. Dấu bằng khi a=b=c

Đúng(0) K khoimzx 23 tháng 5 2020 Cho a,b,c > 0. CMR: 1. \(a^3+b^3+c^3\ge3abc\) 2. \(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{a+b}\) 3. \(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{a+b+c}\) 4. \(a^4+b^4+c^4\ge abc\left(a+b+c\right)\) 5....Đọc tiếp

Cho a,b,c > 0. CMR:

1. \(a^3+b^3+c^3\ge3abc\)

2. \(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{a+b}\)

3. \(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{a+b+c}\)

4. \(a^4+b^4+c^4\ge abc\left(a+b+c\right)\)

5. \(\frac{1}{\left(a+1\right)^2}+\frac{1}{\left(b+1\right)^2}\ge\frac{1}{ab+1}\)

6.\(\frac{1}{1+a^3}+\frac{1}{1+b^3}+\frac{1}{1+c^3}\ge\frac{3}{1+abc}\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9 2 K khoimzx 23 tháng 5 2020

help me !!!!!!

Đúng(0) K khoimzx 23 tháng 5 2020

câu 6 là với mọi a,b,c lớn hơn hoặc bằng 1 nhé

Đúng(0) Xem thêm câu trả lời CT Châu Trần 15 tháng 6 2017 - olm a)Cho các số x,y,z \(\ge\)1.CMR: \(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\ge\frac{3}{1+\sqrt[3]{xyz}}\).b) Cho x,y,z \(\ge\)0 và x\(\le1;y\le1;z\le1\)chứng minh:\(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}+\frac{1}{1+z^2}\le\frac{3}{1+xyz}\)c)Cho a + b\(\ge\)2.CMR: \(a^3+b^3\le a^4+b^4\)d)Cho...Đọc tiếp

a)Cho các số x,y,z \(\ge\)1.CMR: \(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\ge\frac{3}{1+\sqrt[3]{xyz}}\).

b) Cho x,y,z \(\ge\)0 và x\(\le1;y\le1;z\le1\)chứng minh:

\(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}+\frac{1}{1+z^2}\le\frac{3}{1+xyz}\)

c)Cho a + b\(\ge\)2.CMR: \(a^3+b^3\le a^4+b^4\)

d)Cho a2+b2\(\ge\frac{1}{4}.CMR:a^4+b^4\ge\frac{1}{32}\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9 4 LV Lầy Văn Lội 15 tháng 6 2017

\(x,y,z\ge1\)nên ta có bổ đề: \(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}\ge\frac{2}{ab+1}\)

ÁP dụng: \(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}+\frac{1}{1+\sqrt[3]{xyz}}\ge\frac{2}{1+\sqrt{xy}}+\frac{2}{1+\sqrt{\sqrt[3]{xyz^4}}}\)

\(\ge\frac{4}{1+\sqrt[4]{\sqrt[3]{x^4y^4z^4}}}=\frac{4}{1+\sqrt[3]{xyz}}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\ge\frac{3}{1+\sqrt[3]{xyz}}\)

Dấu = xảy ra \(x=y=z\)hoặc x=y,xz=1 và các hoán vị 

Đúng(0) TN Thắng Nguyễn 15 tháng 6 2017

trc giờ mấy bài này tui toàn quy đồng thôi, may có cách này =))

Đúng(0) Xem thêm câu trả lời NV Nguyễn Võ Anh Nguyên 1 tháng 11 2017 - olm

CMR:

\(\frac{a^2}{b^3}+\frac{b^2}{c^3}+\frac{c^2}{a^3}\ge\frac{a}{b^2}+\frac{b}{c^2}+\frac{c}{a^2}\)

\(\frac{a}{b^3}+\frac{b}{c^3}+\frac{c}{a^3}\ge\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\)

\(\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9 0 TT Tuyển Trần Thị 5 tháng 11 2017 - olm

cho a+b+c=3

cmr \(\frac{a}{ab+1}\) \(+\frac{b}{bc+1}+\frac{c}{ca+1}\ge\frac{3}{2}\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9 0 Xếp hạng Tất cả Toán Vật lý Hóa học Sinh học Ngữ văn Tiếng anh Lịch sử Địa lý Tin học Công nghệ Giáo dục công dân Âm nhạc Mỹ thuật Tiếng anh thí điểm Lịch sử và Địa lý Thể dục Khoa học Tự nhiên và xã hội Đạo đức Thủ công Quốc phòng an ninh Tiếng việt Khoa học tự nhiên

• Tuần
• Tháng
• Năm

• PD Phạm Duy Kiên 2 GP
• HN Hiền Nguyễn Thị 2 GP
• HA Hải Anh ^_^ 0 GP
• VD vu duc anh 0 GP
• TQ Trương Quang Đạt 0 GP
• TT Trần Thị Hồng Giang 0 GP
• NV Nguyễn Vũ Thu Hương 0 GP
• OT ♑ ঔღ❣ ๖ۣۜThư ღ❣ঔ ♑ 0 GP
• VT Vũ Thành Nam 0 GP
• AA admin ([email protected]) 0 GP

Học liệu Hỏi đáp Link rút gọn Link rút gọn Để sau Đăng ký

Các khóa học có thể bạn quan tâm

× Mua khóa học Tổng thanh toán: 0đ (Tiết kiệm: 0đ) Tới giỏ hàng Đóng ×

Yêu cầu VIP

×

Học liệu này đang bị hạn chế, chỉ dành cho tài khoản VIP cá nhân, vui lòng nhấn vào đây để nâng cấp tài khoản.