Cho A B C 0 Và A+b+c=3 CMR A/1+b^2 +b/1+c^2 +c/1+a^2 >=3/2 - Olm

Học liệu Hỏi đáp Đăng nhập Đăng ký

• Học bài
• Hỏi bài
• Kiểm tra
• ĐGNL
• Thi đấu
• Thư viện số
• Bài viết Cuộc thi Tin tức Blog học tập
• Trợ giúp
• Về OLM

Chính thức mở đề thi thử tốt nghiệp THPT trên máy tính từ 27/12/2025, xem ngay.

OLM Class tuyển sinh lớp bứt phá học kỳ II! Đăng ký ngay

• Mẫu giáo
• Lớp 1
• Lớp 2
• Lớp 3
• Lớp 4
• Lớp 5
• Lớp 6
• Lớp 7
• Lớp 8
• Lớp 9
• Lớp 10
• Lớp 11
• Lớp 12
• ĐH - CĐ

K Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

Xác nhận câu hỏi phù hợp

×

Chọn môn học Tất cả Toán Vật lý Hóa học Sinh học Ngữ văn Tiếng anh Lịch sử Địa lý Tin học Công nghệ Giáo dục công dân Âm nhạc Mỹ thuật Tiếng anh thí điểm Lịch sử và Địa lý Thể dục Khoa học Tự nhiên và xã hội Đạo đức Thủ công Quốc phòng an ninh Tiếng việt Khoa học tự nhiên Mua vip

• Tất cả
• Mới nhất
• Câu hỏi hay
• Chưa trả lời
• Câu hỏi vip

LH le hong tuan duy 7 tháng 4 2020 - olm

cho a b c 0 và a+b+c=3 CMR a/1+b^2 +b/1+c^2 +c/1+a^2 >=3/2

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 8 4 S ✰๖ۣۜŠɦαɗøω✰ 10 tháng 4 2020

Ta có : \(\frac{a}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}\)

Đánh giá tương tự , ta cũng có :

\(\frac{b}{1+c^2}\ge b-\frac{bc}{2},\frac{c}{1+a^2}\ge c-\frac{ab}{2}\)

Từ đó suy ra :

\(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge a+b+c-\frac{ab+bc+c}{2}=3-\frac{ab+bc+ca}{2}\)

Mặt khác ,ta biết rằng \(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=3.\)Từ đây ,kết hợp với đánh giá ở trên ,ta có kết quả cần chứng minh.

Đúng(0) MT Mai Thị Thanh Hoa 13 tháng 4 2020

\(Ta\)\(có\) \(\frac{a}{1+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{1+b^2}\)

Áp dụng bất đẳng thức \(a^2+b^2\ge2ab\)ta có

\(a-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}\)

Chứng minh tương tụ với \(\frac{b}{1+c^2};\frac{c}{1+a^2}\)ta được

\(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge a+b+c-\frac{ab+bc+ac}{2}\) \(\left(1\right)\)

Mặt khác ta có :

\(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ac\right)\)

\(Hay\)\(3^2\ge3\left(ab+bc+ac\right)\)

\(\Rightarrow ab+bc+ca\le3\)\(\left(2\right)\)\(Từ\)\(\left(1\right)\)\(\left(2\right)\)\(\Rightarrow\)\(a+b+c-\frac{ab+bc+ac}{2}\)\(\ge3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)\(\left(3\right)\)

\(Từ\)\(\left(1\right)\)\(\left(3\right)\)\(\Rightarrow\)\(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge\frac{3}{2}\)

                                                                                                       \(\left(đpcm\right)\)

Đúng(0) S shitbo 25 tháng 4 2020

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:\(\frac{a}{1+b^2}=\frac{a\left(1+b^2\right)-ab^2}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}\)

Tương tự \(\frac{b}{1+c^2}\ge b-\frac{bc}{2};\frac{c}{1+a^2}\ge c-\frac{ca}{2}\)

Kết hợp giả thiết và \(\left(ab+bc+ca\right)\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\) ta có:

\(LHS\ge a+b+c-\frac{ab+bc+ca}{2}\ge a+b+c-\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{2}=\frac{3}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1

Đúng(0) LH le hong tuan duy 15 tháng 7 2020

thanks

Đúng(0) Xem thêm câu trả lời Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên HK Hamg Khach 3 tháng 3 2018 - olm

cho a>b>c>0 và a^2+b^2+c^2=1. cmr a^3/(b+c)+b^3/(a+c)+c^3/(a+b)>=1/2

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 8 0 LL Linh Le 16 tháng 6 2016 - olm   Bài5: cho a,b,c>0.CMR1, 2/a+1/b >= 4/a+b2, 1/a+1/b+1/c>= a/a+b+cBài 6: cho a,b>=0 cmr1, a^3+b^4>=ab(a+b)2, a^4+b^4>=ab(a^2+b^2)3, a5+b5>=ab(a^3+b^3)Bài 7 cho a,b,c>0 cmr1/a^3+b^3+abc +1/b^3+c^3+abc+1/c^3+a^3+2 <1/abcBài 8cho a,b,c>0;abc=11, 1/a^3+b^3+2 +1/b^3+c^3+2 +1/c^3+a^3+2  =< 12,ab/a^5+b^5+ab +bc/b^5+c^5+bc + ca/c^5+a^5+ca...Đọc tiếp

 

 

Bài5: cho a,b,c>0.CMR

1, 2/a+1/b >= 4/a+b

2, 1/a+1/b+1/c>= a/a+b+c

Bài 6: cho a,b>=0 cmr

1, a^3+b^4>=ab(a+b)

2, a^4+b^4>=ab(a^2+b^2)

3, a5+b5>=ab(a^3+b^3)

Bài 7 cho a,b,c>0 cmr

1/a^3+b^3+abc +1/b^3+c^3+abc+1/c^3+a^3+2 <1/abc

Bài 8cho a,b,c>0;abc=1

1, 1/a^3+b^3+2 +1/b^3+c^3+2 +1/c^3+a^3+2  =< 1

2,ab/a^5+b^5+ab +bc/b^5+c^5+bc + ca/c^5+a^5+ca =<1

 

 

 

 

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 8 0 PT Phạm Trần Hương Giang 26 tháng 9 2017 - olm toàn bộ dùng bất đẳng thức svac-xơ hoặc bunhiacopskibài 1: cho x,y,z>0. CMR:a,1/x+1/y>=4/x+yb,1/x+1/y+1/z>=9/x+y+zbài 2: cho a,b,c>0. CMR:a,a^2/(b+c)+b^2/(c+a)+c^2/(a+b)>=(a+b+c)/2b, a^2/(2b+5c)+b^2/(2c+5a)+c^2/(2a+5b)>=(a+b+c)/7bài 3: cho a,b,c>0. CMR a/(b+c)+b/(c+a)+c/(b+a)>=3/2bài 4: cho a,b,c>0. CMR:1/(b+2c)+b/(c+2a)+c/(a+2b)>=1bài 5: cho a+b+c=1. Tìm mina, P=1/a+4/b+9/cb, Q+a^2/(b+3c)+b^2/(c+3a)+c^2/(a+3b)bài 6: cho 3x^2+5y^2=3/79tìm max, min A=x+4ybài 7: tìm min...Đọc tiếp

toàn bộ dùng bất đẳng thức svac-xơ hoặc bunhiacopski

bài 1: cho x,y,z>0. CMR:

a,1/x+1/y>=4/x+y

b,1/x+1/y+1/z>=9/x+y+z

bài 2: cho a,b,c>0. CMR:

a,a^2/(b+c)+b^2/(c+a)+c^2/(a+b)>=(a+b+c)/2

b, a^2/(2b+5c)+b^2/(2c+5a)+c^2/(2a+5b)>=(a+b+c)/7

bài 3: cho a,b,c>0. CMR a/(b+c)+b/(c+a)+c/(b+a)>=3/2

bài 4: cho a,b,c>0. CMR:

1/(b+2c)+b/(c+2a)+c/(a+2b)>=1

bài 5: cho a+b+c=1. Tìm min

a, P=1/a+4/b+9/c

b, Q+a^2/(b+3c)+b^2/(c+3a)+c^2/(a+3b)

bài 6: cho 3x^2+5y^2=3/79

tìm max, min A=x+4y

bài 7: tìm min P,Q,R

a, P=1/x+1/x;x>0

b, Q=x+1/x;x>=3

c, R=1/x+4/(1-x);0<x<1

bài 8: cho a,b,c là 3 cạnh một tam giác. CMR

a, a/(b+c-a)+b/(c+a-b)+c/(a+b-c)>=3

b, tìm min P

P=a/(b+c-a)+4b/(c+a-b)+9c/(a+b-c)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 8 0 HI Hoshymya Ichigo 21 tháng 5 2019

Bài 1: Cho a, b, c thõa mãn 0<a<=b<=c. CMR:

a/b+b/c+c/a>=b/a+c/b+a/c

Bài 2: Cho a, b, c>0 CMR

a/bc+b/ca+c/ab>=2(1/a+1/b+1/c)

Bài 3: CMR với mọi x, y ta có

x^3/x^2+xy+y^2>=(2x-y)/3

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 8 1 NV Nguyễn Việt Lâm 25 tháng 5 2019

a/ Biến đổi tương đương:

\(\Leftrightarrow a^2c+ab^2+bc^2\ge b^2c+ac^2+a^2b\)

\(\Leftrightarrow a^2c-a^2b+ab^2-ac^2+bc^2-b^2c\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2\left(c-b\right)-\left(ab+ac\right)\left(c-b\right)+bc\left(c-b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(c-b\right)\left(a^2+bc-ab-ac\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(c-b\right)\left(a\left(a-b\right)-c\left(a-b\right)\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(c-b\right)\left(a-c\right)\left(a-b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(c-b\right)\left(c-a\right)\left(b-a\right)\ge0\) luôn đúng do \(a\le b\le c\)

Vậy BĐT ban đầu đúng

Câu 2: Đề sai, cho \(a=b=c=1\Rightarrow3\ge6\) (sai)

Đề đúng phải là \(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

\(VT=\frac{a^2}{abc}+\frac{b^2}{abc}+\frac{c^2}{abc}=\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}\ge\frac{ab+ac+bc}{abc}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

Câu 3: Không phải với mọi x; y với mọi \(x;y\) dương

Biến đổi tương đương do mẫu số vế phải dương nên ta được quyền nhân chéo:

\(\Leftrightarrow3x^3\ge\left(2x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\)

\(\Leftrightarrow3x^3\ge2x^3+x^2y+xy^2-y^3\)

\(\Leftrightarrow x^3+y^3-x^2y-xy^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(x-y\right)-y^2\left(x-y\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2-y^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\) (luôn đúng)

Đúng(0) PT Phạm Trần Hương Giang 30 tháng 9 2017 toàn bộ dùng bất đẳng thức svac-xơ hoặc bunhiacopski bài 1: cho x,y,z>0. CMR: a,1/x+1/y>=4/x+y b,1/x+1/y+1/z>=9/x+y+z bài 2: cho a,b,c>0. CMR: a,a^2/(b+c)+b^2/(c+a)+c^2/(a+b)>=(a+b+c)/2 b, a^2/(2b+5c)+b^2/(2c+5a)+c^2/(2a+5b)>=(a+b+c)/7 bài 3: cho a,b,c>0. CMR a/(b+c)+b/(c+a)+c/(b+a)>=3/2 bài 4: cho a,b,c>0. CMR: 1/(b+2c)+b/(c+2a)+c/(a+2b)>=1 bài 5: cho a+b+c=1. Tìm min a, P=1/a+4/b+9/c b, Q+a^2/(b+3c)+b^2/(c+3a)+c^2/(a+3b) bài 6: cho 3x^2+5y^2=3/79 tìm max,...Đọc tiếp

toàn bộ dùng bất đẳng thức svac-xơ hoặc bunhiacopski

bài 1: cho x,y,z>0. CMR:

a,1/x+1/y>=4/x+y

b,1/x+1/y+1/z>=9/x+y+z

bài 2: cho a,b,c>0. CMR:

a,a^2/(b+c)+b^2/(c+a)+c^2/(a+b)>=(a+b+c)/2

b, a^2/(2b+5c)+b^2/(2c+5a)+c^2/(2a+5b)>=(a+b+c)/7

bài 3: cho a,b,c>0. CMR a/(b+c)+b/(c+a)+c/(b+a)>=3/2

bài 4: cho a,b,c>0. CMR:

1/(b+2c)+b/(c+2a)+c/(a+2b)>=1

bài 5: cho a+b+c=1. Tìm min

a, P=1/a+4/b+9/c

b, Q+a^2/(b+3c)+b^2/(c+3a)+c^2/(a+3b)

bài 6: cho 3x^2+5y^2=3/79

tìm max, min A=x+4y

bài 7: tìm min P,Q,R

a, P=1/x+1/x;x>0

b, Q=x+1/x;x>=3

c, R=1/x+4/(1-x);0<x<1

bài 8: cho a,b,c là 3 cạnh một tam giác. CMR

a, a/(b+c-a)+b/(c+a-b)+c/(a+b-c)>=3

b, tìm min P

P=a/(b+c-a)+4b/(c+a-b)+9c/(a+b-c)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 8 0 VH Vương Hải Băng 31 tháng 12 2015 - olm

Cho a,b,c > 0. a+b+c=3. CMR: a/(1+b^2) + b/(1+c^2) + c/(1+a^2) > hoặc = 3/2

 

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 8 1 LP Lê Phương Thảo 31 tháng 12 2015

 ta co:  a/(1+b²)=(a+ba²-ab²)/(1+b²)=(a(1+b²)-a...  

Tuong tu: b/(1+c²)>=b-bc/2; c/(1+a²)>=c-ac/2.  

=> a/(1+b²)+b/(1+c²)+c/(1+a²)>=a+b+c-1/2(ab...  

Ma: 3(ab+bc+ca)<=(a+b+c)²=9=> ab+bc+ca <=3  

=>-1/2(ab+bc+ca)>=-3/2  

=> a+b+c-1/2(ab+bc+ca) >=3-3/2=3/2  

=> a/(1+b²)+b/(1+c²)+c/(1+a²)>= 3/2(dpcm)  

Dau "=" say ra <=> a=b=c=1

Đúng(0) EC Edogawa Conan 6 tháng 10 2020 - olm Câu hỏi hay 1. CHo \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{2}{b}\)(a,b ,c >0 )CMR: \(\frac{a+b}{2a-b}+\frac{c+b}{2c-b}\ge4\)2. CHo a,b,c > 0 và a2 + b2 + c2 = 3. CMR: a2b + b2c + c2a  < = 33. CHo a,b,c thõa mãn a + b + c = 3. CM: \(\frac{a^2}{a+2b^3}+\frac{b^2}{b+2c^3}+\frac{c^2}{c+2a^3}\le1\)4. CHo a,b,c > 0 thõa mãn a + b + c < =...Đọc tiếp

1. CHo \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{2}{b}\)(a,b ,c >0 )

CMR: \(\frac{a+b}{2a-b}+\frac{c+b}{2c-b}\ge4\)

2. CHo a,b,c > 0 và a2 + b2 + c2 = 3. CMR: a2b + b2c + c2a  < = 3

3. CHo a,b,c thõa mãn a + b + c = 3. CM: \(\frac{a^2}{a+2b^3}+\frac{b^2}{b+2c^3}+\frac{c^2}{c+2a^3}\le1\)

4. CHo a,b,c > 0 thõa mãn a + b + c < = 3/2

CM: \(P=\left(3+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(3+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\left(3+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\ge343\)

 

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 8 1 NL Nguyễn Linh Chi 6 tháng 10 2020

Mình xem phép làm câu 1 ạ. 

Đề là?

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{2}{b}\)(1)

Chứng minh tương đương 

\(\frac{a+b}{2a-b}+\frac{c+b}{2c-b}\ge4\)<=> 12ac - 9bc  - 9ab + 6b2 \(\le\)0 ( quy đồng )  (2)

Từ (1) <=> 2ac = ab + bc  Thay vào (2) <=> 6ab + 6bc - 9bc  - 9ab + 6b2  \(\le\)0 

<=> a + c \(\ge\)2b 

Từ (1) => \(\frac{2}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\ge\frac{4}{a+c}\)

=> a + c \(\ge\)2b đúng => BĐT ban đầu đúng

Dấu "=" xảy ra <=> a = c = b

  Đúng(0) QT Quyết Tâm Chiến Thắng 5 tháng 9 2019 - olm

Bài 1:Cho \(a+b+c=3\) \(CMR\) \(a^4+b^4+c^4\ge a^3+b^3+c^3\)

Bài 2:Cho \(a>0;b>0;c>0\) thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=1\)

\(CMR\)\(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{b^2+c^2}+\frac{1}{a^2+c^2}\le\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}+3\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 8 6 T tth_new 6 tháng 9 2019

Bài 1:Cách thông thường nhất là sos hoặc cauchy-Schwarz nhưng thôi ko làm:v Thử cách này cho nó mới dù rằng ko chắc

Giả sử \(a\ge b\ge c\Rightarrow c\le1\Rightarrow a+b=3-c\ge2\) và \(a\ge1\)

Ta có \(LHS=a^3.a+b^3.b+c^3.c\) 

\(=\left(a^3-b^3\right)a+\left(b^3-c^3\right)\left(a+b\right)+c^3\left(a+b+c\right)\)

\(\ge\left(a^3-b^3\right).1+\left(b^3-c^3\right).2+3c^3\)

\(=a^3+b^3+c^3=RHS\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1

Đúng(0) T tth_new 6 tháng 9 2019

Bài 2:

\(BĐT\Leftrightarrow\frac{c^2}{a^2+b^2}+\frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{c^2+a^2}\le\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}\)

Đến đây bớt 3/2 ở mỗi vế rồi dùng sos xem sao? Giờ phải ăn cơm đi học rồi, chiều về làm, ko được sẽ nghĩ cách khác.

Đúng(0) Xem thêm câu trả lời D doremon 14 tháng 2 2018 - olm

1> cho a,b,c là các số hữu tủ khác 0 thoả mãn a+b+c=0. CMR: M= 1/a^2+ 1/b^2 + 1/c^2

2> rút gọn biểu thức sau và tìm giá trị nguyên của x để biểu thức có giá trị nguyên

M = ( x^2-2x / 2x^2+8 - 2x^2 / 8-4x+2x^2-x^3   ).( 1 - 1/x - 2/x^2 )

3> cho a,b,c là các số không âm và không lớn hơn 2 thoả mãn a+b+c=0. CMR a^2 + b^2 + c^2 <_ 5

 

 

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 8 1 LN Lê Nhật Khôi 15 tháng 2 2018

Câu 1) ngộ thế

Đúng(1) Xếp hạng Tất cả Toán Vật lý Hóa học Sinh học Ngữ văn Tiếng anh Lịch sử Địa lý Tin học Công nghệ Giáo dục công dân Âm nhạc Mỹ thuật Tiếng anh thí điểm Lịch sử và Địa lý Thể dục Khoa học Tự nhiên và xã hội Đạo đức Thủ công Quốc phòng an ninh Tiếng việt Khoa học tự nhiên

• Tuần
• Tháng
• Năm

• SV Sinh Viên NEU 14 GP
• O ◥◣︿◢◤𝓷𝓪𝓶𝓴𝓱ô𝓷𝓰𝓷𝓱â𝔂╰(*°▽°*)╯ 4 GP
• PT Phạm Thị Minh Phương 4 GP
• NL Nguyễn Lê Phước Thịnh 2 GP
• A 𐙚⋆°.ＣＨâＵ~Ｎè𐙚 2 GP
• QT Quoc Tran Anh Le 2 GP
• NT Nguyễn Thị Minh Hằng 2 GP
• NQ Nguyễn Quỳnh Chi 2 GP
• HN Hiền Nguyễn Thị 2 GP
• PD Phạm Duy Kiên 2 GP

Học liệu Hỏi đáp Link rút gọn Link rút gọn Để sau Đăng ký

Các khóa học có thể bạn quan tâm

× Mua khóa học Tổng thanh toán: 0đ (Tiết kiệm: 0đ) Tới giỏ hàng Đóng ×

Yêu cầu VIP

×

Học liệu này đang bị hạn chế, chỉ dành cho tài khoản VIP cá nhân, vui lòng nhấn vào đây để nâng cấp tài khoản.